Desafio de Fisica
Ola Pessoal, O problema abaixo, com uma pequena modificacao que eu fiz, apareceu como um desafio em uma lista de fisica. Valia um Livro e a inclusao do nome em uma "Galeria de Campeoes". Apenas dois estudantes apresentaram solucoes. PROBLEMA : De uma altura "H" - em relacao ao solo - larga-se uma esfera pontual, homogenea, que choca-se elasticamente com um plano inclinado situado abaixo. 1) A inclinacao do plano em relacao ao solo e "G". 2) A distancia - medida ao longo do plano inclinado - entre o ponto onde ocorre o primeiro choque e o ponto de contado do plano com o solo e "L". Que relacao deve existir entre "H", "G" e "L" para que o ultimo contado entre entre a esfera e o plano seja justamente no ponto de contado do plano com o solo ? A solucao se aproxima A solucao se aproxima A solucao se aproxima CHEGOU ... SOLUCAO : Quando a esfera pontual toca o plano pela primeira vez - ponto que designaremos por "A" - ela ja percorreu uma distancia claramente igual a "H - L*sen(G)". Ela percorre esta distancia em queda livre, partindo do repouso. Assim, sua velocidade em "A" e : (Va)^2 = 0^2 + 2*g*( H - L*sen(G) ) = Va = RAIZ_2( 2*g*( H - L*sen(G) ) ) Ate chegar ao plano a esfera cai verticalmente. EM RELACAO AO PLANO, ela incide com um angulo de "G" graus. Este e tambem o angulo com o qual ela o abandona, pois os choques sao elasticos. Apos abandonar o plano, atuara na esfera exclusivamente a forca peso, vertical. Isto implica uma aceleracao "g". Todavia, se ... Imaginarmos um referencial cuja origem esteja no ponto "A" e cujo eixo das abscissas coincida com o plano inclinado, EM RELACAO A ESTE REFERENCIAL, a esfera pontual possui : 1) uma "aceleracao vertical" - perpendicular ao plano - igual a "g*cos(G)" 2) uma "aceleracao horizontal" - paralela ao plano - de "g*sen(G)" A velocidade e angulo iniciais ja calculamos acima e, portanto, as equacoes de lancamento de projeteis aplicaveis sao : Y(t) = Va*cos(G)*t - (1/2)*(g*cos(G))*(t^2) X(t) = Va*sen(G)*t + (1/2)*(g*sen(G))*(t^2) Nestas equacoes, "t" e o tempo. Claramente que o segundo choque da esfera com o plano ocorrera quando : t 0 e Y(t) = 0. Resolvendo a equcao, achamos : T = 2*RAIZ_2( ( 2*( H - L*sen(G) ) ) / g ). Isto ocorrera no ponto de abscissa X(T) = 8*sen(G)*( H - L*sen(G) ), que e tambem o alcance da primeira "corcova". EM RELACAO AO REFERENCIAL QUE ADOTAMOS, as forcas atuantes, responsaveis pelas aceleracoes ja descritas, sao perpediculares entre si e, portanto, uma nao interfere na outra. Assim, o valor T = 2*RAIZ_2( ( 2*( H - L*sen(G) ) ) / g ) sera, doravante, o intervalo de tempo, constante, entre dois choques sucessivos. E portanto o periodo do Fenomeno. As abscissas dos pontos onde ocorrem os sucessivos choques serao : X(T) , X( 2*T ), X( 3*T ), X( 4*T ), X( 5*T ), ..., X( N*T ), ... E os alcances ( larguras das sucessivas "corcovas" = diferenca entre duas "abscissas de choque" sucessivas ) respectivos serao : A(1) = X( 2*T ) - X( T ) = 8*sen(G)*( H - L*sen(G) ) A(2) = X( 3*T ) - X( 2*T ) = 16*sen(G)*( H - L*sen(G) ) A(3) = X( 4*T ) - X( 3*T ) = 24*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ... A(p) = X( (p+1)*T ) - X( p*T ) = 8*p*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ou : A(1) = 8*sen(G)*( H - L*sen(G) ) A(p) = p*A(1) O DesafiO da "Lista de Fisica" consistia em encontrar as duas ultimas equacoes. Valia um livro e ter o nome registrado em uma "Galeria de Campeoes", conforme ja falei. Dois estudantes, de estados distintos, conseguiram a "facanha". A solucao deles, entretanto - bastante grande - foi por um caminho diferente ... Para cumprir a condicao de simetria de nosso problema, devemos impor que a abscissa do N-esimo choque seja L, isto e: X(N*T) = L, ( N um natural positivo qualquer = o numero de saltos ), isto fornece : N^2 + N = L / ( 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ). Assim, a relacao que buscamos e que L / ( 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ) ). seja um natural da forma N^2 + N, onde N e o numero de saltos ( "corcovas" ). Ve-se que a equacao encontrada e consistente, pois nao havera solucao se : 1) Se sen(G) = 0, isto e, G = 0 ou G = pi.. Fisicamente isso significa que o plano estara na horizontal e, portanto, nao pode haver saltos. 2) Se H - L*sen(G) = 0, isto e, sen(G) = H/L. Fisicamente isso significa que estamos soltando a esfera de uma altura igual ao cateto oposto ao angulo G e, portanto, a esfera vai rolar sobre o plano : nao pode pular, consequentemente. 3) Se H - L*sen(G) 0. Fisicamente, isto significa soltar a esfera de um ponto abaixo do plano. Em geral, uma equacao da Fisica bem formulada costuma conhecer os fenomenos sob investigacao melhor que o Cientista que a formulou. Na nossa equacao, se sen(G)=1, ela admite solucoes. Ora, neste caso, o plano "inclinado" estara "em pe", na vertical ... Como interpretar fisicamente isso ? Bom, continuando. Como A(1) = 4*sen(G)*( H - L*sen(G) ), a relacao que obtemos pode ser colocada como segue : 2*L /
Olimpiada Iberoamericana.
Caros amigos da lista: Envio para alegria de todos copia do e-mail enviado pelos Lideres da delegacao Brasileira na XV OIM... :) :) :) Oi, Nelly. Aqui estao as noticias EXCLUSIVAS, direto de Caracas, sobre a participacao brasileira na olimpiada. Daniel Yamamoto 33 pontos Humberto Silva Naves 29 pontos Fabricio Siqueira Benevides 27 pontos Daniel Nobuo Uno 22 pontos Notas de corte: Ouro 25 ou mais Prata 18 ou mais Bronze 9 ou mais Em outras palavras, ganhamos 3 medalhas de ouro e uma de prata (foram 7 de ouro total, 14 de prata e 24 de bronze, de um total de 83 participantes). Mais ainda: nossa pontuacao foi boa o suficiente para conseguir a Copa Porto Rico (!), isto eh , segundo os criterios oficiais, fomos a equipe que mais melhorou dos ultimos dois anos ateh este. A proposito, a melhor nota individual foi 35 (aluno mexicano). Apesar de ser uma competicao individual e nao haver uma soma de pontuacoes e blah blah blah, o Brasil ficou em primeiro com 111 pontos, em segundo Mexico com 92 e entao Argentina com 87. Bom, eh isso aih. Um abraco a todos, Ralph e Eduardo P.S.: Nao sei como foram as provas por equipes ainda Quando a gente chegar a gente conta.
problemas de treinamento para o Putnam (solu,c~oes)
Sauda,c~oes,
Mando as solu,c~oes para os dois problemas que mandei
para a lista na semana passada.
[ ]'s
Lu'is
1) We use the ratio test. The $n$-th term of the series (starting
with $n = 0$) is $n! (19/7)^n /(n+1)^n$. By a simple calculation,
\[
\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{19/7}{(1 + 1/n)^n} \rightarrow
\frac{19}{7e} \quad \text{as} \quad n \rightarrow \infty.
\]
Since $19/7 = 2.\overline{714285} 2.71828182846\ldots = e$, the
series converges by the ratio test.
2) Let $c_n = a_n -a_{n+1}$ so $b_n = c_n - c_{n+1}$.
By the given conditions, both $(a_n)$ and $(c_n)$ decrease to zero.
By telescoping sums,
\[
\sum_{k=m}^n c_k = a_m - a_{n+1} \qquad \text{and} \qquad
\sum_{k=m}^n b_k = c_m - c_{n+1}
\]
so
\[
\sum_{k=m}^{\infty} c_k = a_m \qquad \text{and} \qquad
\sum_{k=m}^{\infty} b_k = c_m.
\]
Since the series in question have nonnegative terms, we may
reverse the order of summation to obtain
\[
\sum_{n=1}^{\infty} n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sum_{k=1}^n 1
= \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} b_n =
\sum_{k=1}^{\infty} c_k = a_1.
\]
-Mensagem Original-
De: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Sexta-feira, 15 de Setembro de 2000 15:27
Assunto: problemas de treinamento para o Putnam
Sauda,c~oes,
O professor Cecil Rousseau me mandou uma lista de
problemas de treinamento para o Putnam. Minha
inten,c~ao e' colocar 2 problemas/semana na lista
e na semana seguinte suas solu,c~oes.
Os problemas est~ao escritos em ingl^es e em
LaTeX.
Ai' v~ao os dois primeiros:
1) Is the following series convergent or divergent?
\[
1 + \frac{1}{2} \left( \frac{19}{7} \right) + \frac{2!}{3^2}
\left( \frac{19}{7} \right)^2 + \frac{3!}{4^3} \left( \frac{19}{7}
\right)^3 + \frac{4!}{5^4} \left( \frac{19}{7} \right)^4 + \cdots \; .
\]
\hspace*{\fill} (A-3, 1942)
2) Let $\{a_n\}$ be a decreasing sequence of positive numbers
with limit 0 such that
\[
b_n = a_n - 2a_{n+1} + a_{n+2} \geq 0
\]
for all $n$. Prove that
\[
\sum_{n=1}^{\infty} n b_n = a_1.
\]
\hspace*{\fill} (A-3, 1948)
N~ao sei o significado de (A-3, 1942) e (A-3, 1948). Vou me
informar.
[ ]'s
Lu'is
Re: Mas que vergonha...
Que isso, cara. no pra ter vergonha no.. Eu t na terceira srie do ensino mdio e ainda no sei muita coisa ou melhor, no sei quase nada... Quando eu entrei pra lista, ficava meio que com medo de mandar minhas dvidas e resolues pra c mas agora, vejo que a lista serve pra isso : nos ajudar !!! Ok ??? Mande sempre comentrios achei legal voc estar na oitava e mandar mensagens de fsica... mande mais !!!Abraos, Villard ! -Mensagem original-De: Jorge Peixoto Morais [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quinta-feira, 21 de Setembro de 2000 23:11Assunto: Mas que vergonha... Eu falei uma grande besteira na mensagem em que respondi o Villard... que eu ainda estou na oitava e no estudei essas coisas. Eu comecei a pouco tempo a estudar fsica alm da matria da escola, e por isso ainda sabia muito pouco alm da matria da oitava... Ento logo depois de perguntar se o fato era devido deformao da bola de basquete eu vi no livro que se no houvesse deformao o corpo nem ricochetearia (o que, alis, lgico). Mas eu j havia escrito besteira. Mas que vergonha...
Re: Duvida
David Pereira wrote: Como se calcula a distancia entre retas no R3??? E como isso pode ser provado? []s David Tome dois pontos A e B na primeira reta e dois pontos C e D na segunda reta. O produto vetorial de AB por CD da como resultado um vetor V que tem a direçao da perpendicular as duas retas. A distancia procurada eh simplesmente o modulo da projeçao de AC sobre V, ou seja, o modulo do produto esalar de AC por V, dividido pelo modulo de V.
Alguém sabe me informar???
Pessoal, como posso obter informações sobre as equações do movimento da água? Só sei que dois cientistas o fizeram, logo gostaria de saber mais sobre o assunto. Ats, Marcos Eike
