Re soma
Acredito que este problema já tenha sido discutido nesta lista. No entanto, lá vai: Usaremos a seguinte propriedade: (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 1^3 = 1 2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 ... (n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 Somando-se membro a membro temos: (n+1)^3 = 3*S + 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n Resolvendo esta equação em S temos: S = n(n+1)(2n+1)/6
Soma
Saudações. Alguém poderia me ajudar com a seguinte soma? S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 Obrigado
Re: Livros de Geometria do Wagner
Eu conheco o liro do Luis (em frances) e posso garantir que eh excelente. Jose Paulo -Mensagem original- De: Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 20:50 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner >Sauda,c~oes, > >Considerando que o assunto geometria e tri^angulos interessa a muita >gente na lista, gostaria de dizer que escrevi um livro em franc^es sobre >constru,c~oes com r'egua e compasso de tri^angulos envolvendo todos >os casos poss'iveis com ^angulos, lados, cevianas (alturas, bissetrizes e >medianas) e raios (inscrito, circunscrito e exinscritos). S~ao 371 (se n~ao >estou enganado) problemas, todos resolvidos e com figuras. >Os dados do primeiro s~ao os tr^es ^angulos (\alpha,\beta,\gamma) e os >do 'ultimo, os tr^es raios exinscritos (r_a,r_b,r_c). > >A m'edio prazo estou pensando em coloc'a-lo em portugu^es tamb'em, assim >como fazer o Volume 2 envolvendo combina,c~oes daqueles elementos. Em >particular, os problemas (\alpha,a+b,a+c) e (\alpha,a+c,b+c) s~ao muito >interessantes e deixo como exerc'icios para os membros. > >Pe,co aos interessados em ter mais detalhes que escrevam diretamente para >mim. >Obrigado. > >[ ]'s >Lu'is > >-Mensagem Original- >De: Eduardo Wagner <[EMAIL PROTECTED]> >Para: <[EMAIL PROTECTED]> >Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 02:26 >Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner > > >Caros amigos: >Fico feliz em saber que algo que publiquei ainda jovem, influenciou pessoas >e ainda hoje se procura. Na verdade, nada se publicou de forma séria em >geometria desde então. O livro Geometria II será inteiramente refeito em >2001, com erros corrigidos e ampliado. O espírito não será modificado, ou >seja, o livro não será dedicado ao currículo normal das escolas mas sim >àqueles que desejam conhecer mais sobre a geometria. O trabalho será grande >e vai demandar algum tempo. >Abraços, >Wagner. > > > >
Artigo sobre os "puzzles"
Luis, eu gostaria que vc mandasse o artigo em .jpg mencionado. Agradeço pelos esclarecimentos. até mais
Re: Cicloide...
> Esta curva e bem conhecida e foi exaustivamente estudada nos > primordios do Calculo. Huygens mostrou que com dois arcos de > cicloide iguais podemos fazer um pendulo verdadeiramente > isocrono, vale dizer, um pendulo cujo periodo seja > independente da amplitude das oscilacoes. Sobre o pendulo cicloidal. Tenho uma duvida: Fixados os arcos de cicloide, qualquer que seja o comprimento do fio, a trajetória do pendulo será uma cicloide? Qual a forma mais fácil de se provar que o pendulo limitado pelos arcos de cicloide forma uma trajetoria de cicloide? Até a mais... [EMAIL PROTECTED] UIN-77325094
Re: "Jigsaws puzzles"
Gostaria de obter essas fotos. Caso mais ninguém da lista se interesse, pode
me enviar...
Muito Obrigado
[]' Pedro
-Mensagem original-
De: Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 21:11
Assunto: Re: "Jigsaws puzzles"
>Sauda,c~oes,
>
>A relação do "puzzle" com os números de
>Fibonacci 'e a seguinte:
>
>Os n'umeros de Fib (F_n) satisfazem muitas
>identidades. Uma das mais citadas 'e:
>
>F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n,
>
>onde F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3,
>F_5=5, F_6=8, F_7=13 etc
>
>Pela identidade acima, vemos que a área de
>um quadrado 'e maior ou menor que a de um
>ret^angulo, dependendo do valor de $n$. E se
>$n$ for muito grande, esta diferen,ca fica
>impercept'ivel ao olho. Com os n'umeros 5, 8 e
>13 j'a d'a para aplicar a ilus~ao: um quadrado de
>'area 64 'e "equivalente" a um ret^angulo de 'area
>65 unidades. Aqui some (ou aparece) uma 'area
>de uma unidade. E com 8, 13 e 21, aparece (ou
>some) uma 'area de uma unidade.
>
>A explica,c~ao geom'etrica da ilus~ao j'a foi tema
>de um artigo numa Superinteressante. Eu tenho o
>arquivo jpg do artigo. Se quiserem, posso coloc'a-lo
>na lista. Suas figuras s~ao muito esclarecedoras.
>
>[ ]'s
>Lu'is
>
>-Mensagem Original-
>De: Biscoito <[EMAIL PROTECTED]>
>Para: <[EMAIL PROTECTED]>
>Enviada em: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 12:19
>Assunto: Re: "Jigsaws puzzles"
>
>
>Também não sou especialista nisso mas sempre me
>interessei muito neste tipo de problemas. No entanto,
>este problema do triângulo é bem conhecido e, como o
>Morgado disse, ele não constitui como sendo um dos
>tais "Puzzles". O problema é pura ilusão de ótica,
>onde envolve-se o cálculo da tangente. No problema do
>triângulo onde há 4 partes, há dois triângulos
>retângulos distintos, um de 2x3 e outro de 3x5. Como
>se vê, a tangente de um é 0,... (ou melhor, 2/3) e
>a tangente do outro é 0,6, ou seja, números
>demasiadamente próximas. Esta semelhança de resultados
>aliada com um desenho bem feito dá a impressão da
>"aparição" do tal buraco, pois num triângulo (5x8) há
>a "hipotenusa" abaulada pra cima e no outro ela é
>abaulada pra baixo. Onde ela é abaulada pra cima,
>"cria-se" a área de 1 (uma) unidade a mais, formando o
>buraco. Portanto, não há explicaçao matemática pra
>isso, apenas um caso de ilusão de ótica bem bolado por
>um professor alemão da Academia de Ciências do
>renomado país.
>
>Espero ter ajudado em algo.
>
>Victor.
>
>
>--- Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>>
>>
>> > Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
>> >
>> > Qual é a explicação matemática para os chamados
>> "Jigsaws Puzzles" (em
>> > especial aquele do triangulo dividido em quatro
>> partes onde quando as
>> > rearanjamos um buraco aparece) ? Qual a relação
>> dela com os números de
>> > Fibonacci?
>> Embora não seja um especialista nesse tipo de
>> puzzles, o que está
>> circulando a internet (o do triângulo) tem uma
>> explicação muito simples.
>> Certos pontos no primeiro desenho não estão
>> alinhados e por sutilissimas
>> deformações de escala sao desenhados como
>> colineares. No segundo
>> desenho, a mesma coisa, forçando ao contrário é
>> claro, para que apareça
>> o buraco.
>> Morgado
>
>
>=
>"Bom de briga é aquele que cai fora"
>
> Adoniran Barbosa
>
>__
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>
Re: Seqüência de Fibonnaci
- Original Message - From: Dr. Rodrigo Viecilli <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, October 16, 2000 3:02 AM Subject: RES: Seqüência de Fibonnaci > Eu sou cirurgião dentista e ex aluno do Instituto Tecnologico de > Aeronautica. Me interesso particularmente há alguns anos pela espiral e > pelos numeros em proporçao aurea. Na area que atuo atualmente, a ortodontia, > podemos verificar uma série de segmentos faciais que se encontram dentro > destas proporções. Utilizamos inclusive um compasso áureo, preconizado pelo > Dr. Robert Ricketts, para avaliação facial e cefalométrica (em > telerradiografia de norma lateral). Há uma série de estudos em celebridades > e faces belas desde a mona lisa (que tem o rosto respeitando uma série de > proporcóes aureas) até a Brooke Shields. Há algumas relações específicas na > estrutura do crânio , da mesma forma. > A espiral tem uma aplicação fantástica. Em estudos do Dr. Ricketts sobre > previsão de crescimento foi constatado que a mandíbula cresce da mesma forma > que esta "concha" , dentro da espiral logarítmica, o que nos permite ter um > caminho muito preciso para determinar ao longo de onde a mandíbula crescerá, > embora não possamos ainda determinar o quanto ela vai crescer. > Há algumas curiosidades quanto a isto. Um bom exemplo é a existência da > proporçao 1:1,618 no retangulo do cartao de crédito, como estratégia de > marketing. Há esta relação em muitas flores no diâmetro da circunferencia > petalas- região polinizadora. Há também em posicionamento de galhos e em uma > série de estruturas em animais. > Há uma série de trabalhos na área de ortodontia e ortopedia facial > abrangendo estas proporções. Para verificá-los, em seus resumos, recomendo o > site: > > www.healthgate.com > > Com procura na seção MEDLINE. Se alguém quiser mais informações, específicas > sobre isto, posso ajudar. > > Abraços > > Dr. Rodrigo Viecilli > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em > nome de Marcelo Souza > Enviada em: Sunday, October 15, 2000 1:30 PM > Para: [EMAIL PROTECTED] > Assunto: Re: Seqüência de Fibonnaci > > > OI > Será que vc viu o canal discovery Domingo??? Não sei pq tudo que vi no > Discovery spobre os números da natureza se encaixam perfeitamente ao que vc > perguntou. Sei a definição de todos somente por ter visto o programa (por > favor, qualquer coisa que eu disser errado, que me corrijam) > A sequencia de fibonnaci é a sequecia tal que cada termo a_n é igual a soma > dos dois anteriores (a_n-1 + a_n-2). É uma sequencia observada a partir da > reprodução de coelhos. > Número Phi? Não savbia que tinha esse nome, mas sei que quer dizer a > proporçãomelhor! Peguemos um sgmento AB e marquemos um ponto P nele. > se a razão PA/PB=PB/PA se cumprir temos que essa razão é igual a 1,618... > (acho que é algo mais ou menos assim) > Segmentos Aureos...sei que ouvi isso no programa, mas não lembro direito... > Divina proporção é aquela que está de 5 para 3 (5/3), pois os números 3 e 5 > são sagrados. 3 é um ´númeor que simboliza Deus (santissima trindade-Pai, > Filho, e espirito ssanto) e 5 é o número da humanidade... De acordo com o > programa, várias coisas estão a essa razão, um bom exemplo é Notre-Dame. > Espiral logaritmica: sei que li o conceito, mas não sei ao certo...naum vou > ficar explicando coisas que não sei direito (mas se pode pbservar a espiral > logaritmica no símbolo da SBM e nas conchas de caracois). > Espero ter ajudado... > ~Como não gravei o programa, esqueci alguns detalhes...to tentando lembrar, > mas não consigo...(queria ter gravado!) > Abraços > Marcelo > > >From: "Pedro" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: Seqüência de Fibonnaci > >Date: Sun, 15 Oct 2000 17:15:04 +0100 > > > > Alguém teria maiores informações sobre a Seqüência de Fibonnaci, o > >número Phi ( 1,618...), Seguimentos Áureos, a espiral logarítmica e a > >Divina Proporção?? > > Se tiverem ou souberem algo sobre estes tópicos me enviem... Muito > >Obrigado. > > > >[]' Pedro > > _ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. > > Share information about yourself, create your own public profile at > http://profiles.msn.com. > >
Re: Livros de Geometria do Wagner
Sauda,c~oes, Considerando que o assunto geometria e tri^angulos interessa a muita gente na lista, gostaria de dizer que escrevi um livro em franc^es sobre constru,c~oes com r'egua e compasso de tri^angulos envolvendo todos os casos poss'iveis com ^angulos, lados, cevianas (alturas, bissetrizes e medianas) e raios (inscrito, circunscrito e exinscritos). S~ao 371 (se n~ao estou enganado) problemas, todos resolvidos e com figuras. Os dados do primeiro s~ao os tr^es ^angulos (\alpha,\beta,\gamma) e os do 'ultimo, os tr^es raios exinscritos (r_a,r_b,r_c). A m'edio prazo estou pensando em coloc'a-lo em portugu^es tamb'em, assim como fazer o Volume 2 envolvendo combina,c~oes daqueles elementos. Em particular, os problemas (\alpha,a+b,a+c) e (\alpha,a+c,b+c) s~ao muito interessantes e deixo como exerc'icios para os membros. Pe,co aos interessados em ter mais detalhes que escrevam diretamente para mim. Obrigado. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: Eduardo Wagner <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 02:26 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Caros amigos: Fico feliz em saber que algo que publiquei ainda jovem, influenciou pessoas e ainda hoje se procura. Na verdade, nada se publicou de forma séria em geometria desde então. O livro Geometria II será inteiramente refeito em 2001, com erros corrigidos e ampliado. O espírito não será modificado, ou seja, o livro não será dedicado ao currículo normal das escolas mas sim àqueles que desejam conhecer mais sobre a geometria. O trabalho será grande e vai demandar algum tempo. Abraços, Wagner.
Re: "Jigsaws puzzles"
Sauda,c~oes,
A relação do "puzzle" com os números de
Fibonacci 'e a seguinte:
Os n'umeros de Fib (F_n) satisfazem muitas
identidades. Uma das mais citadas 'e:
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n,
onde F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3,
F_5=5, F_6=8, F_7=13 etc
Pela identidade acima, vemos que a área de
um quadrado 'e maior ou menor que a de um
ret^angulo, dependendo do valor de $n$. E se
$n$ for muito grande, esta diferen,ca fica
impercept'ivel ao olho. Com os n'umeros 5, 8 e
13 j'a d'a para aplicar a ilus~ao: um quadrado de
'area 64 'e "equivalente" a um ret^angulo de 'area
65 unidades. Aqui some (ou aparece) uma 'area
de uma unidade. E com 8, 13 e 21, aparece (ou
some) uma 'area de uma unidade.
A explica,c~ao geom'etrica da ilus~ao j'a foi tema
de um artigo numa Superinteressante. Eu tenho o
arquivo jpg do artigo. Se quiserem, posso coloc'a-lo
na lista. Suas figuras s~ao muito esclarecedoras.
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Biscoito <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 12:19
Assunto: Re: "Jigsaws puzzles"
Também não sou especialista nisso mas sempre me
interessei muito neste tipo de problemas. No entanto,
este problema do triângulo é bem conhecido e, como o
Morgado disse, ele não constitui como sendo um dos
tais "Puzzles". O problema é pura ilusão de ótica,
onde envolve-se o cálculo da tangente. No problema do
triângulo onde há 4 partes, há dois triângulos
retângulos distintos, um de 2x3 e outro de 3x5. Como
se vê, a tangente de um é 0,... (ou melhor, 2/3) e
a tangente do outro é 0,6, ou seja, números
demasiadamente próximas. Esta semelhança de resultados
aliada com um desenho bem feito dá a impressão da
"aparição" do tal buraco, pois num triângulo (5x8) há
a "hipotenusa" abaulada pra cima e no outro ela é
abaulada pra baixo. Onde ela é abaulada pra cima,
"cria-se" a área de 1 (uma) unidade a mais, formando o
buraco. Portanto, não há explicaçao matemática pra
isso, apenas um caso de ilusão de ótica bem bolado por
um professor alemão da Academia de Ciências do
renomado país.
Espero ter ajudado em algo.
Victor.
--- Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>
> > Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
> >
> > Qual é a explicação matemática para os chamados
> "Jigsaws Puzzles" (em
> > especial aquele do triangulo dividido em quatro
> partes onde quando as
> > rearanjamos um buraco aparece) ? Qual a relação
> dela com os números de
> > Fibonacci?
> Embora não seja um especialista nesse tipo de
> puzzles, o que está
> circulando a internet (o do triângulo) tem uma
> explicação muito simples.
> Certos pontos no primeiro desenho não estão
> alinhados e por sutilissimas
> deformações de escala sao desenhados como
> colineares. No segundo
> desenho, a mesma coisa, forçando ao contrário é
> claro, para que apareça
> o buraco.
> Morgado
=
"Bom de briga é aquele que cai fora"
Adoniran Barbosa
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Re: "Jigsaws puzzles"
Também não sou especialista nisso mas sempre me interessei muito neste tipo de problemas. No entanto, este problema do triângulo é bem conhecido e, como o Morgado disse, ele não constitui como sendo um dos tais "Puzzles". O problema é pura ilusão de ótica, onde envolve-se o cálculo da tangente. No problema do triângulo onde há 4 partes, há dois triângulos retângulos distintos, um de 2x3 e outro de 3x5. Como se vê, a tangente de um é 0,... (ou melhor, 2/3) e a tangente do outro é 0,6, ou seja, números demasiadamente próximas. Esta semelhança de resultados aliada com um desenho bem feito dá a impressão da "aparição" do tal buraco, pois num triângulo (5x8) há a "hipotenusa" abaulada pra cima e no outro ela é abaulada pra baixo. Onde ela é abaulada pra cima, "cria-se" a área de 1 (uma) unidade a mais, formando o buraco. Portanto, não há explicaçao matemática pra isso, apenas um caso de ilusão de ótica bem bolado por um professor alemão da Academia de Ciências do renomado país. Espero ter ajudado em algo. Victor. --- Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: > > > > Qual é a explicação matemática para os chamados > "Jigsaws Puzzles" (em > > especial aquele do triangulo dividido em quatro > partes onde quando as > > rearanjamos um buraco aparece) ? Qual a relação > dela com os números de > > Fibonacci? > Embora não seja um especialista nesse tipo de > puzzles, o que está > circulando a internet (o do triângulo) tem uma > explicação muito simples. > Certos pontos no primeiro desenho não estão > alinhados e por sutilissimas > deformações de escala sao desenhados como > colineares. No segundo > desenho, a mesma coisa, forçando ao contrário é > claro, para que apareça > o buraco. > Morgado = "Bom de briga é aquele que cai fora" Adoniran Barbosa __ Do You Yahoo!? Yahoo! Messenger - Talk while you surf! It's FREE. http://im.yahoo.com/
Re: "Jigsaws puzzles"
> Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: > > Qual é a explicação matemática para os chamados "Jigsaws Puzzles" (em > especial aquele do triangulo dividido em quatro partes onde quando as > rearanjamos um buraco aparece) ? Qual a relação dela com os números de > Fibonacci? Embora não seja um especialista nesse tipo de puzzles, o que está circulando a internet (o do triângulo) tem uma explicação muito simples. Certos pontos no primeiro desenho não estão alinhados e por sutilissimas deformações de escala sao desenhados como colineares. No segundo desenho, a mesma coisa, forçando ao contrário é claro, para que apareça o buraco. Morgado
Re: a parabola eh legal
Ola Rui Viana, A "curva de descida" cujo tempo de percurso e independente da posicao inicial na qual voce coloca o corpo e o arco de cicloide. Este arco e chamado : 1) Baquistocrona - Por ser o arco que ligando dois pontos "A" e "B" faz com que a descida por ele seja em tempo minimo. 2) Tautocrona - Por ser o arco cujo tempo de descida independe da posicao inicial na qual voce larga o corpo. Esta curva e bem conhecida e foi exaustivamente estudada nos primordios do Calculo. Huygens mostrou que com dois arcos de cicloide iguais podemos fazer um pendulo verdadeiramente isocrono, vale dizer, um pendulo cujo periodo seja independente da amplitude das oscilacoes. Por outro lado, se a curva que voce considera for y=F(x), bem comportada, entao voce pode dizer que a velocidade num pondo e funcao de X: E cinetica + E potencial = E potencial no ponto mais alto m*([v(y)]^2)/2 + m*g*y = m*g*h ( h= ordenada do ponto mais alto ) daqui voce tira v(y) em funcao de y. como y=F(x) sai portanto v em fncao de X. A curva sendo bem comportada, voce pode por; (ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2 ds/dx = raiz_2( 1 + (dy/dx)^2 ) mas ds = v*dt logo dt/dx = (1/v)*raiz_2( 1 + (dy/dx)^2 ), v=f(x) basta agora integrar. Claramente que a dificuldade vai depender da funcao y=f(x) e de v=F(x). Mas em muitos casos e uma integral trivial. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1140,16102000 On Fri, 13 Oct 2000 21:44:40 EDT "Rui Viana" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >Oi lista da OBM > >Eu tentei resolver a seguinte questão , mas fiquei tive >problemas com o >Calculo... se alguém poder me elucidar por favor > >Você tem uma rampa parábola, como aqueles half de >skate. O que eu quero >saber é : se você soltar uma bola na rampa, o tempo que >ela demora pra >chegar na parte mais baixa da rampa (o vetice da parabola) >é uma função da >posição que você soltou a bola ou não (considere que a >bola é um corpo >qualquer sem considerar momento de inercia, atrito, >bla,bla,bla...) ? >Se não for uma função da posição, ótimo!! >Se for, alguém consegue calcular que tipo de curva (ao >invés de uma >parábola) faria o tempo até o vertice não ser uma função >da posição que você >soltou a bola. ? > >A parte física da questão me parece fácil, mas eu me >embolei com o calculo >mais avançado > >Muito obrigado, > >~~ >Rui L Viana F >[EMAIL PROTECTED] >[EMAIL PROTECTED] >[EMAIL PROTECTED] >~~ >_ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at >http://www.hotmail.com. > >Share information about yourself, create your own public >profile at >http://profiles.msn.com. > Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
