Re: Polinômios
Dos dados, 1, 2, 3, 4 e 5 sao raizes de P(x) - 1. Logo, P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1, e vc determina o valor de a usando P(6). Desculpe nao fazer as contas agora, estou no intervalo de aula. Espero ter sido claro, mas se quiser escreva de novo. Abracos, olavo. From: "João Paulo Paterniani da Silva" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Polinômios Date: Mon, 06 Nov 2000 14:07:21 EDT Olá! Alguém poderia me ahudar nesse problema de Polinômio? Sabendo que P(x) é de quinto grau. I- P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1 II- P(6)=0 III- Calcule P(0) João Paulo Paterniani da Silva _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Desculpe
GRR :) Brincadeira... Para falar a verdade, eu até achei que tinha escrito errado e já estava preparando um `erratum' (é assim mesmo o singular? Aliás, faz sentido o singular?) quando eu vi esta última mensagem. Eu vivo escrevendo "associativo" quando eu quero escrever "distributivo" e vice-versa, e achei que era um desses casos... Mas relendo a minha mensagem vi que evitei os termos escrevendo direto a propriedade (a+b)xc= axc + bxc... He-he... :) Abraço, Ralph Jorge Peixoto Morais wrote: Eu interpretei errado a mensagem do Raplph. Ele não disse em momento algum que o produto era associativo. Tomara que ele não tenha ficado muito bravo...
Re: Desculpe
On Tue, 7 Nov 2000, Ralph Costa Teixeira wrote: GRR :) Brincadeira... Para falar a verdade, eu até achei que tinha escrito errado e já estava preparando um `erratum' (é assim mesmo o singular? Aliás, faz sentido o singular?) quando eu vi esta última mensagem. Eu vivo escrevendo "associativo" quando eu quero escrever "distributivo" e vice-versa, e achei que era um desses casos... Mas relendo a minha mensagem vi que evitei os termos escrevendo direto a propriedade (a+b)xc= axc + bxc... He-he... :) Abraço, Ralph Jorge Peixoto Morais wrote: Eu interpretei errado a mensagem do Raplph. Ele não disse em momento algum que o produto era associativo. Tomara que ele não tenha ficado muito bravo... Bom, legal. Mas para trazer um pouco de matemática ao assunto a propriedade correta e de certa forma correspondente à associatividade para o produto vetorial é (u x v) x w + (v x w) x u + (w x u) x v = 0 para quaisquer vetores u, v e w (x representa, claro, o produto vetorial). Esta identidade é conhecida como identidade de Jacobi. []s, N.
Re: Uma ajuda, por Favor !
Ola Colegas da Lista, Revendo a minha mensagem abaixo percebi que a questao do Alexandre nao aparece. O enunciado e : ENUNCIADO : Mostre que para quaisquer quatro inteiros positivos "a", "b", "c" e "d" o produto P=(b-a)*(c-a)*(c-b)*(d-a)*(d-b)*(d-c) E divisivel por 12. Se nao me falha a memoria esta questao ( ou outra muito parecida ) ja foi publicada e resolvida na lista. Intuitivamente acho que a primeira linha de raciocinio abaixo e "mais forte" por lidar com conceitos mais basicos e primitivos. Sem me deter em uma analise mais exaustiva, acredito que e possivel descobrir o segredo do 12, desta forma : Sejam X1,X2,X3,...,Xn inteiros positivos. Definimos : P(X1,X2,X3,...,Xn)= Produtorio(Xi - Xj) para i J Qual o maior numero natural (em funcao de N ) que divide P, independente da escolha dos Xi ? Ao caracterizar este maior numero natural descobriremos 12 quando N for 4 ? Um abraco saudoso a todos ! Paulo Santa Rita 3,1714,07112000 On Mon, 06 Nov 2000 14:08:22 -0500 "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Alexandre, Obrigado pelas suas palavras elogiosas ! Eu vejo varias maneiras de resolver este problema. Acho mesmo que ele ja apareceu na lista ... Ao inves de resolver vou indicar duas linhas de raciocinio pra voce seguir e ter a alegria de encontrar a solucao. Sejam a,b,c,d inteiros positivos quaisquer e P=(b-a)*(c-b)*(c-a)*(d-c)*(d-b)*(d-a) Como a diferenca entre dois numeros quaisquer e um fator de P entao, claramente, se quaisquer dois numeros forem iguais o produto sera zero e, portanto, divisivel por 12. O que interessa, consequentemente, e considerar o caso no qual dois numeros quaisquer sao distintos ... Sem perda de generalidade podemos por : a b c d. 1 LINHA DE RACIOCINIO : A) Mostre que o Produto P e divisivel por 4 porque ele tem, ao menos, dois fatores pares. Voce pode fazer isso considerando que as possiveis paridades dos numeros e notando que : PAR - PAR = PAR IMPAR - IMPAR = PAR uma outra forma seria por reducao ao absurdo. Notando que : c - a = (c-b) + (b-a) supor que todos os fatores ( diferencas ) sao impares levara a uma contradicao e lhe permitira provar que no produto ha, ao menos, dois fatores ( diferencas ) pares. B) Mostre que o Produto P e divisivel por 3 considerando que alguns deles sao iguais a soma de outros ... exemplo : c - a = (c-b) + (b-a) Se (c-b) e congruo a 2 (modulo 3) e se (b-a) e congruo a 1 (modulo 3 ) entao (c-a) e multiplo de 3. Raciocinado assim voce vai chegar facilmente a demonstracao C) Dado que o Produto e necessariamente divisivel por 4 e por 3 entao ele e divisivel por 12 2 LINHA DE RACIOCINIO Esta linha talvez seja mais a seu gosto, pois nao usa congruencias. Note que o produto em questao e o determinande de uma matriz de Vandermonde, tambem chamada de Matriz das potencias. Claramente que P e o determinante da matriz : linha 1 : 1,1,1,1 linha 2 : a,b,c,d linha 3 : a^2,b^2,c^2,d^2 linha 4 : a^3,b^3,c^3,d^3 Agora, notando que (a+1)^3=a^3 + 3*a^2 + 3*a + 1, fica facil, usando as tradicionais propriedades dos determinantes, mostrar que ele e multiplo de 12. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1650,06112000 Em tempo : escrevendo o e-mail me ocorreu uma terceira ideia, mais simples ainda que a 2 linha de raciocinio. Se voce indexar as primeiras diferencas, tal como (b-a)=X, (c-b)=Y, ... todas as demais podem ser expressas em funcaos destes parametros. O polinomio Produto resultando e claramente divisivel por 12 ! Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/ Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Polinômios
Sauda,c~oes,
Seja $p(x)$ um polin^omio em $x$ de grau $n$. Mostra-se que
(em livros de C'alculo Num'erico, por exemplo) podemos escrever
$p(x)$ como
$$p(x) = p(1) + \Delta p(1) {x-1\choose 1} + \Delta^2 p(1) {x-1\choose 2}
+ \cdots +
\Delta^n p(1) {x-1\choose n},$$
onde ${x-1\choose n} = [(x-1)(x-2)\ldots(x-n)]/n!$.
De posse deste resultado, podemos resolver facilmente dois problemas que
apareceram
recentemente na lista:
i) Sabendo que $p(x)$ é de quinto grau, $p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=1$ e
$p(6)=0$, calcule $p(0)$.
$$p(x) = p(1) + \Delta^5 p(1) {x-1\choose 5}
pois $\Delta p(1)=\Delta^2 p(1)=\Delta^3 p(1)=\Delta^4 p(1)=0$. Como
$\Delta^5 p(1) = -1$, vem:
p(x) = 1 - {x-1\choose 5}
e
p(0) = 1 - (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/5! = 2.$$
ii) calcule $S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$.
$S_n$ 'e um polin^omio de grau 3. Ent~ao,
$$S_n = a_1 + \Delta a_1 {n-1\choose 1} + \Delta^2 a_1 {n-1\choose 2} +
\Delta^3 a_1 {n-1\choose 3}
Como $a_1=1$, $\Delta a_1=4$, $\Delta^2 a_1=5$ e $\Delta^3 a_1=2$, resulta:
S_n = 1 + 4(n-1) + 5(n-1)(n-2)/2 + 2(n-1)(n-2)(n-3)/6
E com alguns c'alculos simples,
S_n = n(n+1)(2n+1)/6.$$
Voc^e agora poderia calcular $S_n = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$. Dica: $S_n$
'e de grau 4.
Obs.: esta j'a 'e uma boa sa'ida para calcular tais somas. Melhor ainda 'e
usar o conceito de
antidiferen,cas.
Temos o seguinte resultado: se $F(i)$ 'e uma antidiferen,ca de $f(i)$,
ent~ao
$$f(1) + f(2) + \cdots + f(n) = F(n+1) - F(1).$$
Assim, se $f(i) = i^2 = i + i(i-1)$, ent~ao $F(i) = [i(i-1)/2] +
i(i-1)(i-2)/3$ e
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = F(n+1) - F(1) = F(n+1) = n(n+1)(2n+1)/6.$$
[ ]'s
Lu'is
-Mensagem Original-
De: Antonio Neto [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 7 de Novembro de 2000 10:46
Assunto: Re: Polinômios
Dos dados, 1, 2, 3, 4 e 5 sao raizes de P(x) - 1. Logo,
P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1, e vc determina o valor de a usando
P(6). Desculpe nao fazer as contas agora, estou no intervalo de aula. Espero
ter sido claro, mas se quiser escreva de novo. Abracos, olavo.
From: "João Paulo Paterniani da Silva" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Polinômios
Date: Mon, 06 Nov 2000 14:07:21 EDT
Olá! Alguém poderia me ahudar nesse problema de Polinômio?
Sabendo que P(x) é de quinto grau.
I- P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1
II- P(6)=0
III- Calcule P(0)
João Paulo Paterniani da Silva
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Sites incrveis
Onde vocês encontram o endereço de sites como aquele indicado por Josimat, sobre Godel? Me passem a relação, por favor. Eles sao extremamente eficientes.
i^i = 0.2078795763 por que?
Sobre números complexos: i^i = 0,2078795763 Por quê? Sds. Luiz
retirar e-mail
gostaria que retirassem meu e-mail da lista Tentei tres vezes pelo site da obm, mas naum conseguia resposta, o e-mail recusava, entaum tive que mandar pela lista. naum tive outra escolha. obrigado.
Re: retirar e-mail
On Tue, 10 Oct 2000, afg3 wrote: gostaria que retirassem meu e-mail da lista Tentei tres vezes pelo site da obm, mas naum conseguia resposta, o e-mail recusava, entaum tive que mandar pela lista. naum tive outra escolha. obrigado. Já que esta informação parece não alcançar alguns membros da lista aqui vai ela de novo. Prestem particular atenção à parte que diz para quem escrever em caso de dúvida (NÃO é para escrever para a lista!). Esta é a lista para discussão de problemas de olimpíadas de matemática. A lista é aberta ao público, e seu público alvo são alunos e professores dos 1o e 2o graus. Vejam também http://www.obm.org.br. O administrador humano desta lista sou eu, Nicolau C. Saldanha, professor de matemática da PUC-Rio [EMAIL PROTECTED]. Em caso de dúvida, por favor escrevam para mim; minha home page é http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau. O administrador eletrônico da lista é o Majordomo. Esta lista já foi moderada e voltará a ser se ocorrerem abusos. As mensagens submetidas a esta lista devem ser: (a) sobre matemática ou sobre olimpíadas de matemática, (b) menores do que 2 caracteres, (c) universalmente legíveis (i.e., sem attachments em formatos que nem todos podem ler; em geral é melhor evitar totalmente attachments e enviar mensagens em texto). Formatos proprietários (e.g., *.doc) são totalmente vetados. Os arquivos desta lista podem ser lidos em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l Para enviar uma mensagem, envie-a para [EMAIL PROTECTED].
Re: Dúvida sobre Resíduos
Ninguém Está querendo ajudar? Enviei minha mensagem a algum tempo, e apena o Sr. JP me respondeu, assim mesmo a segunda questão. Ats, Marcos Eike
