RE: Help Please!
Bom dia, Iolanda, tenho algumas dvidas em alguns exerccios propostos para o ensino mdio. Gostaria que voc me ajudasse a responde esses execcios que com certeza tirarei todas as minhas dvidas. Vou prestar o vestibular e ainda tenho dvidas nesses exerccios que estou estudando. Se voc poder me ajudar, ficarei muito agradecido pode ter certeza. 1 - Encontre o termo geral da PA (1,7, ...) 2 - Qual o dcimo quinto termo da PA (4,10, ...) 3 - Quantos so os nmeros naturais menores que 98 e divisvel por 5? 4 - Interpole 11 meios aritmdicos entre 1 e 37. 5 - Interpole 9 meios aritmticos entre 1 e 49. 6 - Quantos mltiplos de 3 existem entre 10 e 95? 7 - Quantos meios aritmticos podemos inserir entre 7 e 25, de modo que a razo seja 3? 8 - Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento; um no km 3 e o outro no km 88. Entre eles sero colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois consecutivos sempre a mesma distncia. Determine em quantos marcos quilomtricos devero ficar esses novos telefones. 9 - Numa PA, A2 + A6 = 20EA4 + A9 = 35. escrever a PA. 10- Ache 5 nmeros em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos 28 e a soma dos outros trs 24. 11- Ache trs nmeros em PA crescente, sabendo que a soma 15 e o produto 105. 12- Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA (8,2, ...) 13- Determine o 6 termo de uma PG (5,10,20, ...) 14- Sabendo que X-4, 2X-4 E 10X-4 so termos consecutivos de uma PG., calcule X de modo que seja positivo. 15- Insira 4 meios geomtricos entre a e 486, obtm-se um aP.G. de razo igual a 3.Qual o valor de a? 2 2 16- Ache a matriz A=(aij) de ordem 3, em que a, -J + J __ i-j,se.i=j 17- Determine a matriz transposta da matriz A=(aij) 3x2 em que aij = / __ j-i,se.j#j 18- Determine a, b, x e y sabendo que (x+ya+2b) = (3 -1) (-y+2x b-a ) = (0 7) 19- Data a matriz A=(2 0 0) (3 -2 5), Obtenha a matriz X tal que X =A+A (-1 -4 -3) 20- Data as matrizes A=(2 1), B= (0 -1), C= (3 0) (-3 4) (25) (6 1), Calcule: a) A+B+C b) A-B-C c) A-B-C d) A+B-C 21- Calcule cada um dos determinantes a seguir: 3 2 5 -1 2 3 A=4 1 3 B= 0 14 2 3 4 -2 -35 22- Resolva as equaes: 2 4 1x+1 3 x a) 24 x = 0 b)3 x 1 =0 31 2x 2 x-1 23- Calcule os valores de x, y e z no sistema: x+2y+z=1 3x-2y-2z=-1 x+3y-z=-9 24- Resolva a equao Ax3=4Ax2 25- Quantos nmeros distintos de 5 algarismos podem ser formados usando-se os algarismos 1,2 3,5 e 8? 26- Quantas so anagramas da palavra EDITORA, que comea por A? C6.3 27- Calcule:--- C4,1+C5,4 + C11,1 28- Resolva a equao C - C =0 m.3m.2 29- Quantas comisses com 6 membros podemos formar com 10 alunos? (72 4) 30- Determine E, sendo E= (2 + 1 - 2) 31- Desenvolva: 3 a) (x + 1) __ 3 b) (4 - V 2) Desde j agradeo muito. -Original Message- From: Iolanda Brazco [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Friday, January 12, 2001 05:23 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Duas Questoes interessantes ! Ola Colegas; Duas questoes interessantes e que nao consigo resolver podem ser enunciadas como segue : 1) Prove que tangenciando externamente uma esfera fixa, de raio R, so e possivel colocarmos 12 outras esferas de mesmo raio. 2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com todos os demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a derrota nao confere pontos. Qual a quantidade minima de pontos que um clube precisara fazer para ter certeza que ficara entre os 12 primeiros ? Alguem pode me indicar como resolve-los ? Saudacoes. IB - 12 de janeiro de 2001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Duas Questoes interessantes !
Ola Iolanda e Amigos da Lista,
Saudacoes !
Neunhum dos dois problemas e simples e ambos ja apareceram nesta Lista. Para
que voce possa ter uma ideia da dificuldade que eles encerram, saiba que o
primeiro - sobre esferas -, em tempos idos, foi abordado por Newton , que
nao o resolveu ; o segundo - sobre campeonatos - apareceu aqui em uma versao
com oito clubes e nehuma solucao consistente foi apresentada ...
E verdade que se encontrou o numero 16 como "solucao" do segundo problema,
mas este numero nao foi justificado com rigor, sendo antes "encontrado" em
virtude das facilidades de visualizacao e diagramacao que os pequenos
numeros envolvidos ofereciam.
Eu vou apenas direcionar solucoes. Nao percebi nenhuma solucao trivial,
"simples e rapida", destas em que se escreve um monte formulas e numeros.
Voce completa os detalhes.
1 Problema ) Um angulo solido pode ser medido em esfero-radianos. Por
definicao, um esfero-radiano ( srd ) e o angulo solido central de uma esfera
de raio R que subtende uma area igual a R^2. Isso implica, claramente, que
uma esfera qualquer tem exatamente "4*pi esfero-radianos"
A ideia e mostrar que a colocacao de 13 esferas implica num angulo solido
central maior que 4*pi esfero radianos.
Para perceber como e possivel fazer isso, imagine uma esfera fixa de raio R
e, sobre ela, coloque uma outra esfera de mesmo raio. Se do centro da esfera
fixa tracarmos tangentes a "esfera de cima" surgira um cone. Este cone
intercepta a esfera fixa segundo uma calota. Qual a area desta calota ? A
area de uma calota e 2*pi*R*h, onde "R" e o raio da esfera e "h" a altura da
calota.
Se voce tracar um plano que contenha os centros das esferas vai perceber
imediatamente um angulo de 30 graus e calcular com facilidade a area da
calota. Dividindo a area encontrada pelo quadrado do raio, encontrara o
valor do angulo solido do cone em esfero radianos.
Perceba agora que tres esferas posicionadas sobre a esfera fixa, estando o
mais proximo possivel duas a duas, implicam em tres calotas ( ja explicadas
) e uma regiao central "desperdicada". Calcule - facilmente com integral
dupla em coordenadas esfericas - o valor desta area desperdicada. Calcule o
angulo solido que lhe corresponde ( dividindo por R^2 ).
Suponha as treze esferas posicionadas e mostre que isto implica num angulo
solido central maior que 4*pi esfero radianos. Um absurdo !
2 Problema ) Vamos representar uma vitoria por V, um empate por E e uma
derrota por D. Num campeonato com N clubes, apos cada rodada, atribuimos a
cada clube uma letra de acordo com o desempenho que o clube teve.
Isto significa, claramente, que ao fim do campeonato estara associado a cada
clube uma lista, o "Historico" do clube. E este conceito que faltava para
dar rigor as tentativas anteriores.
Para esta investigacao particuloar, eu vou considerar iguais a dois
historicos que se diferenciam tao somente pela ordem das letras.
Imagine um clube com o Historico : VVE. Ele conseguiu 3*6 + 1 = 19
pontos. Qual a colocacao que ele garante ? A segunda ! O clube que empatou
com ele na ultima rodada tambem pode ter ganho todos os jogos anteriores e
algum criterio de desempate coloca-lo como segundo lugar !
Conclucao : a melhor colocacao garantida por um historico e determinada por
1 mais a quantidade maxima de outros historicos que podemos construir
compativeis entre si e com o historico dado e que tenham uma pontuacao igual
ou maior que o historicos dado.
Traduzindo: Seja dado um historico
1) Determine a quantidade de historicos que tem uma pontuacao igual ou maior
que a do historico dado
2) Os historicos obtidos em 1) devem ser compativeis entre si e com o
historico dado
A melhor colocacao garantida pelo historico dado e uma unidade superior ao
numero obtido com os passos 1) e 2). Isso e um problema combinatorio que
voce pode generalizar.
Para um determinado historico H, chamarei de CG(H) ( Colocacao Garantida
pelo historico H ) o numero que descrevemos.
Para uma determinada pontuacao, quantos historicos distintos existem ? Isso
e trivial. Seja N-1 o numero de jogos e P a pontucao. Entao :
3*V + E = P
V + E + D = N-1
Com V, E e D sao inteiros nao negativos.
Com este sistema e as demais informacoes voce obtera todos os dados
significativos sobre o problema.
Exemplo :
Num campeonato com 8 jogos ( 9 clubes ), 0 historico :
(VEEE) corresponde a 10 pontos. mas os historicos abiaxo tambem
correspondem a 10 pontos :
(VVDD) , (VVVE)
Assim existem 3 historicos relativos a 10 pontos ( a menos da ordem das
letras, que nao estou considerando e que nao tem importancia para os efeitos
desta investigacao )
Sejam H1, H2, H3 estes historicos. Entao :
Maximo { CG(H1), CG(H2), CG(H3) }
E A COLOCAO GARANTIDA PARA QUEM FIZER 10 PONTOS.
Um raciocinio semelhante vale para qualquer quantidade de jogos. As
generalizacoes e formulas derivaveis sao simples e evidentes e deixo pra
voce concluir.
NOTA1 : A funcao
re: tô helpando...
Fala Washington... fala a verdade, vc est querendo que a gente faa seu trabalho de escola, no ? :-).. Aqui vo os 10 primeiros... 1) An = a_1 + (n-1)r = An = 6n - 5 2)a_15 = 4 +14.6 = a_15 =88 3)98/5 = 19.5 + 3. portanto, 19 (zero no incluso) (anlogo ao 6) 4)a_1 = 1 e a_13 = 37. a_13 = a1 + 12r = r = 3. S montar.. 5) Do mesmo jeito, r =4.8 6) 95 - 10 = 85. 85/3 = 28.3 + 1. 28, portanto. Ou por justificativa mais formal: seja a_1 =12 (primeiro divisvel por 3 maior que 10) e r=3. 95 = 12 + (n-1)3 = n = 28.6 .Resp: [28.6] = 28 7)a_1 = 7 e a_n+2 = 25, com r=3. 25 =7+ (n+1).3 = n=5. Cinco meios 8)a_1=3 e a_18= 88. a_18 = a_1 +17r = r = 5 9) escreva em funo de a_1 e r... vem um sistema de duas incgnitas e duas equaes.. 10) mesma histria... Abraos, Eduardo -Mensagem original- De: Lopes, Washington [EMAIL PROTECTED] Para: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 15 de Janeiro de 2001 08:48 Assunto: RE: Geometria, correo Bom dia, Caro Eduardo, tenho algumas dvidas em alguns exerccios propostos para o ensino mdio. Gostaria que o senhor me ajudasse a responde esses execcios que com certeza tirarei todas as minhas dvidas. Vou prestar o vestibular e ainda tenho dvidas nesses exerccios que estou estudando. 1 - Encontre o termo geral da PA (1,7, ...) 2 - Qual o dcimo quinto termo da PA (4,10, ...) 3 - Quantos so os nmeros naturais menores que 98 e divisvel por 5? 4 - Interpole 11 meios aritmdicos entre 1 e 37. 5 - Interpole 9 meios aritmticos entre 1 e 49. 6 - Quantos mltiplos de 3 existem entre 10 e 95? 7 - Quantos meios aritmticos podemos inserir entre 7 e 25, de modo que a razo seja 3? 8 - Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento; um no km 3 e o outro no km 88. Entre eles sero colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois consecutivos sempre a mesma distncia. Determine em quantos marcos quilomtricos devero ficar esses novos telefones. 9 - Numa PA, A2 + A6 = 20EA4 + A9 = 35. escrever a PA. 10- Ache 5 nmeros em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos 28 e a soma dos outros trs 24. 11- Ache trs nmeros em PA crescente, sabendo que a soma 15 e o produto 105. 12- Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA (8,2, ...) 13- Determine o 6 termo de uma PG (5,10,20, ...) 14- Sabendo que X-4, 2X-4 E 10X-4 so termos consecutivos de uma PG., calcule X de modo que seja positivo. 15- Insira 4 meios geomtricos entre a e 486, obtm-se um aP.G. de razo igual a 3.Qual o valor de a? 2 2 16- Ache a matriz A=(aij) de ordem 3, em que a, -J + J __ i-j,se.i=j 17- Determine a matriz transposta da matriz A=(aij) 3x2 em que aij = / __ j-i,se.j#j 18- Determine a, b, x e y sabendo que (x+y a+2b) = (3 -1) (-y+2x b-a ) = (0 7) 19- Data a matriz A=(2 0 0) (3 -2 5), Obtenha a matriz X tal que X =A+A (-1 -4 -3) 20- Data as matrizes A=(2 1), B= (0 -1), C= (3 0) (-3 4) (2 5) (6 1), Calcule: a) A+B+C b) A-B-C c) A-B-C d) A+B-C 21- Calcule cada um dos determinantes a seguir: 3 2 5 -1 2 3 A= 4 1 3 B= 0 1 4 2 3 4 -2 -3 5 22- Resolva as equaes: 2 4 1 x+1 3 x a) 2 4 x = 0 b) 3 x 1 =0 3 1 2 x 2 x-1 23- Calcule os valores de x, y e z no sistema: x+2y+z=1 3x-2y-2z=-1 x+3y-z=-9 24- Resolva a equao Ax3=4Ax2 25- Quantos nmeros distintos de 5 algarismos podem ser formados usando-se os algarismos 1,2 3,5 e 8? 26- Quantas so anagramas da palavra EDITORA, que comea por A? C6.3 27- Calcule: --- C4,1+C5,4 + C11,1 28- Resolva a equao C - C =0 m.3 m.2 29- Quantas comisses com 6 membros podemos formar com 10 alunos? (7 2 4) 30- Determine E, sendo E= (2 + 1 - 2) 31- Desenvolva: 3 a) (x + 1) __ 3 b) (4 - V 2) Desde j agradeo muito. -Original Message- From: Eduardo Botelho [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Tuesday, January 12, 1999 08:04 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Geometria, correo Olha eu aqui de novo... Vi que escrevi uma coisa que no est certa: os paralelogramos no so semelhantes na razo 4/3. Os lados do paralelogramo que respeitam essa razo( lado maior sobre lado menor) Do mais, s.. Abraos, Eduardo -Mensagem original- De: josimat [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 12 de Janeiro de 2001 12:26 Assunto: Re: Esclarecimento continua Filho, quase posso garantir que nada foi dito a respeito nas RPMs. Mas posso lhe enviar, anexado e por trs de lista, algo sobre. Para no perder a viagem, veja este que recebi por telefone. mais ou menos assim: Num paralelogramo, no qual uma das dimenses 4m maior que a outra, toma-se um ponto, pertencente sua diagonal maior, de tal sorte que diste 3m e 4m de dois lados consecutivos. d o permetro do paralelogramo. []'s JOSIMAR -Mensagem original- De: filho [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL
probleminha
Prezado Marcelo, Pense no seguinte: Qual a paridade do nmero de mpares de 1 a 100? Voc poderia encontrar como resultado final algum nmero mpar? Benedito Marcelo Ferreira wrote: Para quem quiser pensar, segue o problema abaixo: Escrevemos em um quadro negro os nmeros inteiros de 1 a 100. Depois escolhemos dois nmeros a e b escritos no quadro, apagamos a e b e escrevemos a-b (agora h 99 inteiros escritos no quadro). Repetimos este processo at que haja um nico inteiro escrito no quadro. Prove que este inteiro nunca pode ser igual a 1. begin:vcard n:Freire;Benedito Tadeu tel;fax:55 84 211 92 19 tel;work:55 84 215 38 20 x-mozilla-html:TRUE org:Chefe do Departamento de Matemática;UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte adr:;;Caixa Postal 1214;Natal;Rio Grande do Norte;59075-970;Brasil version:2.1 email;internet:[EMAIL PROTECTED] title:Benedito Tadeu Vasconcelos Freire end:vcard
Re: Duas Questoes interessantes !
Oi, Iolanda. 2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com todos os demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a derrota nao confere pontos. Qual a quantidade minima de pontos que um clube precisara fazer para ter certeza que ficara entre os 12 primeiros ? De fato, a gente j tinha discutido aqui na lista esse problema para um octagonal onde apenas 4 times se classificam... Eu acho que agora consegui generalizar a idia que a gente tinha usado antes para qualquer n par (n o nmero de clubes que se classificam). Mas primeiro, deixa eu dar a idia usando o problema da Iolanda -- 36 times, 12 se classificam. Nota: a idia principal do problema est nos itens (i) e (ii), o resto so detalhes tcnicos necessrios para evitar surpresas. i) Primeiro eu vou mostrar que 87 pontos no so suficientes. De fato, imagine a seguinte situao: h dois tipos de times, sendo 13 fortes e 23 fraquinhos, e os fraquinhos sempre perdem dos fortes. Chame os "fortes" de T1, T2, ..., T13, e imagine que: T1 ganha de T2,T3,...,T7 mas perde de T8,T9,...,T12,T13 T2 ganha de T3,T4,...,T8 mas perde de T9,T10,...,T13,T1 T3 ganha de T4,T5,...,T9 mas perde de T10,T11,...,T1,T2 ... Ti ganha de T(i+1),...,T(i+6) mas perde de T(i+7),...,T(i+12) ... T13 ganha de T1,T2,...,T6 mas perde de T7,T8,...,T12 onde os ndices so calculados mdulo 13. Uma maneira compacta de escrever isto Ti ganha de Tj se (i-j)mod13 = 1,2,3,4,5 ou 6 importante notar que as hipteses acima so coerentes, isto , se a linha i diz que Ti ganha de Tj, ento a linha j diz que Tj perde de Ti (ainda bem -- a notao compacta ajuda a ver isto). Assim, esta uma situao onde esses 13 times ganham 23+6=29 partidas e ainda assim um deles fica de fora das finais (no saldo de gols ou no tapeto, sei l)... Isso prova que 29x3=87 pontos no suficiente para GARANTIR um lugar nas finais. ii) Por outro lado, uma quantia de 88 ou mais pontos suficiente. Se voc olhar para os 13 times melhor classificados, eles esto envolvidos em 13x23+13x12/2=13x29 jogos (a primeira parcela corresponde aos jogos contra os outros 23 e a segunda aos jogos que esses 13 disputam entre si). Assim, esses 13 times disputam 13x29x3=13x87 pontos NO MXIMO. impossvel que esses 13 times tenham 88 ou mais pontos (13x8813x87) assim 88 (ou qualquer quantia maior) garante a 12a colocao (ou melhor) e a sua presena nas finais. De certa maneira, a situao em (i) a situao "limite"... iii) Vale a pena notar que, s porque 87 no suficiente, no quer dizer que 86 no (apesar de a intuio querer gritar isso)! Para provar que 86 tambm no d, comece da situao em (i) acima e modifique-a ligeiramente colocando empates nos seguintes jogos: T1 vs. T2, T2 vs. T3 e T3 vs. T8 O resto mantenha como antes. Assim, h 10 times fortes com os mesmos 87 pontos de antes, e esses 3 citados acima passam a 86 (cada um troca uma vitria e uma derrota por dois empates). Um deles fica de fora... ento 86 no suficiente. iv) No difcil ver que 85 ou menos definitivamente tambm no suficiente (basta modificar a situao de (i) onde o seu time perdeu pontos contra os "fracos" e acabou com n85 pontos, enquanto os confrontos envolvendo os fortes so os mesmos... isso d para fazer com n entre 18 e 85 mantendo a tabela de confrontos entre os fortes; se n18, p, a no d mesmo... precisamente, fcil modificar tambm os jogos contra os fortes e fazer voc perder mais pontos ainda sem piorar a vida dos "fortes"). ==//== Ufa! Isso fecha o problema. Note que o raciocnio acima pode ser facilmente generalizado sempre que o nmero de classificados for par. Em outras palavras, se m times disputam um campeonato, cada um jogando com cada um apenas uma vez, e os n=2k primeiros se classificam (com nm), ento 3(m-k)-2 o menor nmero de pontos necessrio para GARANTIR a vaga... De fato: -- Um grupo qualquer de n+1 times disputa (n+1)(m-n-1)+n(n+1)/2 = (n+1)(2m-n-2)/2 partidas, ou seja, 3(n+1)(2m-n-2)/2 pontos. -- Assim, o pior desses n+1 times ter no mximo 3(2m-n-2)/2 = 3(m-k-1) pontos; isto prova que 3(m-k-1) + 1 = 3m-3k-2 suficiente para passar fase final. -- PARA n PAR, sempre possvel criar uma tabela onde n+1 times fortes ganham de todos os m-n-1 times fracos e ganham exatamente metade (n/2) das partidas jogadas entre si (basta repetir o processo acima, feito para n+1=13 times). Neste caso, cada time alcana exatamente 3m-3k-3 pontos e, portanto, isto no suficiente -- um deles vai ficar de fora. iv) Enfim, a idia de botar trs dos times do grupo forte para empatarem entre si funciona e mostra-se que 3m-3k-4 tambm no d. Para valores ainda menores, fcil ver que voc no garante classificao. S para conferir... No caso m=36 e n=12 (k=6), precisamos de 3(m-k)-2 = 3x30-2 = 88 pontos. Beleza, isso a! Na "querida" copa JH, m=25 e n=12 indica
Polinômio unitário
Por um acaso alguém sabe o que um autor quer dizer quando fala que um polinômio é unitário? Daniel
Re: Polinômio unitário
Pode ser que esteja querendo dizer que o coeficiente do termo de mais alto grau eh 1. Em geral se chama isto de monico. Ou entao que tal polinomio eh uma "unidade", termo usado por alguns em um dominio de integridade (ou seja, um anel sem divisores de zero) para dizer que o polinomio eh invertivel. Por exemplo, se os coeficientes do polinomio estao em um corpo (por exemplo, R ou Q), os invertiveis sao os polinomios de grau zero. JP -Mensagem original-De: Daniel [EMAIL PROTECTED]Para: Lista da OBM [EMAIL PROTECTED]Data: Terça-feira, 16 de Janeiro de 2001 00:15Assunto: Polinômio unitário Por um acaso alguém sabe o que um autor quer dizer quando fala que um polinômio é unitário? Daniel
