Re: fatoracao ( correcao )
Estou corrigindo a mensagem abaixo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: fatoracao Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47 Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : AQUI : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 O CERTO E: T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: fatoracao ( correcao )
Olah Paulo e demais amigos da lista! Na tentativa de dirimir duvidas acerca do enunciado do problema, descrevo abaixo como tudo comecou. O que o problema pede eh uma formula, um algoritmo, uma simpatia ou uma oracao que forneca o numero de modos de escrever um natural como produto de tres naturais. O problema surgiu quando um amigo me pediu para resolver o classico problema: Dois homens estavam conversando num bar, quando um virou para o outro e disse: Tenho tres filhas, a soma de suas idades eh igual ao numero da casa em frente e o produto eh 36. Posso determinar as idades de suas filhas apenas com esses dados? Nao. Dar-lhe-ei um dado fundamental: minha filha mais velha toca piano. Determine as idades das filhas e o numero da casa em frente. Quando da resolucao, escrevi todas as 8 possibilidades de se obter produto 36, com tres numeros naturais: 1 x 1 x 36; 1 x 2 x 18; 1 x 3 x 12; 1 x 4 x 9; 1 x 6 x 6; 2 x 2 x 9; 2 x 3 x 6; 3 x 3 x 4. Eu lhe disse que a as idades seguramente seriam inteiras, jah que a soma e o produto eram inteiros. Entao, ele me perguntou se havia uma maneira de se saber o numero de modos de se escrever um natural por meio do produto de tres naturais. Eu lhe respondi que iria pensar. Depois de examinar alguns casos cheguei (seguindo unicamente meu coracao) a uma conjectura, cuja falside foi verificada pelo Prof. Morgado, apesar de ter funcionado bem para uma grande quantidade de casos. []s, JOSIMAR -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 5 de Maro de 2001 10:38 Assunto: Re: fatoracao ( correcao ) Estou corrigindo a mensagem abaixo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: fatoracao Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47 Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : AQUI : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 O CERTO E: T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres numeros naturais? Exemplo: O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas): 1 x 1 x 8 1 x 2 x 4 2 x 2 x 2 []s Josimar _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: fatoracao ( correcao )
O problema j foi debatido na lista h anos atrs. Foi proposto pelo colega Lucas Mocelim e resolvido pelo Sr. meu pai, sendo que eu passei a resposta lista. No falava de bomios. A discusso era entre Scrates e Plato. E o mais velho, segundo Scrates, era homosexual (tal como ele, ouso dizer). Bem, enfim... bons e velhos tempos. Os problemas geralmente eram mais acessveis... mas isso j foi fogo para muitos desentendimentos e brigas nessa lsita. Um grande abrao, Benjamin Hinrichs josimat wrote: Olah Paulo e demais amigos da lista! Na tentativa de dirimir duvidas acerca do enunciado do problema, descrevo abaixo como tudo comecou. O que o problema pede eh uma formula, um algoritmo, uma simpatia ou uma oracao que forneca o numero de modos de escrever um natural como produto de tres naturais. O problema surgiu quando um amigo me pediu para resolver o classico problema: Dois homens estavam conversando num bar, quando um virou para o outro e disse: Tenho tres filhas, a soma de suas idades eh igual ao numero da casa em frente e o produto eh 36. Posso determinar as idades de suas filhas apenas com esses dados? Nao. Dar-lhe-ei um dado fundamental: minha filha mais velha toca piano. Determine as idades das filhas e o numero da casa em frente. Quando da resolucao, escrevi todas as 8 possibilidades de se obter produto 36, com tres numeros naturais: 1 x 1 x 36; 1 x 2 x 18; 1 x 3 x 12; 1 x 4 x 9; 1 x 6 x 6; 2 x 2 x 9; 2 x 3 x 6; 3 x 3 x 4. Eu lhe disse que a as idades seguramente seriam inteiras, jah que a soma e o produto eram inteiros. Entao, ele me perguntou se havia uma maneira de se saber o numero de modos de se escrever um natural por meio do produto de tres naturais. Eu lhe respondi que iria pensar. Depois de examinar alguns casos cheguei (seguindo unicamente meu coracao) a uma conjectura, cuja falside foi verificada pelo Prof. Morgado, apesar de ter funcionado bem para uma grande quantidade de casos. []s, JOSIMAR -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 5 de Maro de 2001 10:38 Assunto: Re: fatoracao ( correcao ) Estou corrigindo a mensagem abaixo From: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: fatoracao Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47 Ola Josimat e demais Colegas da Lista. A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega chegou truncada ... Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero como um produto de tres fatores. E isso ? O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e irrelevante ... Se for assim : 1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que a unidade a quantidade exata de tres fatores ? Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ... 2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se procura ? Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares parece ser impraticavel ... Para ver isso, note que A) se N for primo entao: "N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto 1 (um) para um numero primo. B) se N for um quadrado perfeito: Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores seria : AQUI : T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1 O CERTO E: T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1 A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL. Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema bem mais simples, talvez trivial. A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em todas as comunicacoes cientificas ... "Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !" Renne Descartes Um Abraco Josimat Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 2,0249,05032001 From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: fatoracao Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300 De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de
O enigma de Dédalos
Estou participando pela primeira vez. Aproveito para trazer um probleminha para a meninada. Uma circunferência de raio qualquer é tangente aos eixos positivos de um par de eixos cartesianos, com origem "O". O ponto de contato com o eixoX nós chamaremos de "P". De "O" tracemos a secante OBC, cujo ângulo com o eixo x é alfa. Qual o valor de alfa, para que o arco CP seja o dobro de BP? Será que existe alguma regra para o triplo, quádruplo,etc?
