Ola Wsf,
O caminho que voce divisou parece ser bom ... Ele te levara
a uma solucao sintetica e geral da questao. Confesso que nao
consigo ver uma maneira mais elegante de abordar o problema.
Presta bem atencao ao seu raciocinio e voce vera que tem
todos os elementos para provar o belo
LEMA : Se N nao e um quadrado perfeito, entao a quantidade
de maneiras de representa-lo por um produto de ate dois
fatores maiores que a unidade e igual a metade da quantidade
de seus divisores proprios.
Voce ja descobriu (fez o mais importante !). Sem querer
estragar a sua alegria, uma maneira de provar o lema acima
poderia ser :
Seja N=(P1^E1)*(P2^E2)*...*(Pn^En) um natural que nao e
quadrado perfeito. Sabemos que
D=(E1 + 1)*(E2 + 1)*...*(En + 1)
e a quantidade de seus divisores. Neste numero, D, estao
computados os divisores 1 e N. Retirando estes divisores
atraves de "D - 2", teremos a quantidade de seus DIVISORES
PROPRIOS. Seja E este conjunto de divisores proprios.
Agora, chamando raiz_2(N) a raiz quadrada de N, vamos fazer
uma cisao no conjunto E, gerando os conjunto A e B :
A={ X/X pertence a E e X raiz_2(N) }
B={ X/X pertence a E e X raiz_2(N) }
Como N nao e quadrado perfeito, raiz_2(N) nao e racional e,
portanto, nao pertence a A e nem a B. Por outro lado,
claramente que "A uniao B = E".
Agora note que se "Y pertence a A", entao existe um unico
"Z pertencente a B" tal que Y*Z=N. De fato : se supormos
que "Z pertence a A" entao Y*Z raiz_2(N)*raiz_2(N) = N,
um evidente absurdo, pois deve ser Y*Z = N.
A funcao que associa a cada "Y pertence a A" um "Z pertencente
a B" tal Y*Z=N e evidentemente uma bijecao de A em B, vale
dizer, os conjuntos A e B tem a mesma cardinalidade.
Esta cardinalidade e evidentemente a quantidade de maneiras
de se representar N como produto de dois fatores ( sem se
importar com a ordem ). Assim, representando por F(p) o numero
de maneiras de se representar N como produto de P fatores :
F(2) = (D - 2)/2 = (D/2) - 1
Como F(1)=1 para qualquer N, entao :
F(1) + F(2) = D/2. E isto prova o LEMA tal COMO QUERIAMOS
DEMONSTRAR.
Com base no LEMA acima fica facil extender as coisas para o
caso de um N qualquer, mesmo ele sendo quadrado perfeito.
Basta voce observar que se N for quadrado perfeito a cisao
que fizemos no conjunto E ira excluir o fator raiz_2(N), que
corresponde ao produto raiz_2(N)*raiz_2(N).
Use [M] (O maior inteiro que nao supera M) sobre D (ou sobre
uma expressao simples com D) e apresente um TEOREMA
absolutamente geral, para qualquer N natural.
E o caso de tres fatores ?
Neste caso a tecnica e a mesma, vale dizer, existe uma
relacao simples entre a quantidade de divisores e o numero
de maneiras de se representar um numero como produto de
tres fatores. Voce nao podera mais, entretanto, retirar apenas
os divisores 1 e N, trabalhando posteriormente apenas com
os divisores proprios. Vai ter que retirar todo divisor Z tal
que N/Z e um fator primo (elevado a um ) de N, pois estes
divisores nao permitem uma representacao da forma X*Y*Z ( pois
voce nao pode decompor um fator primo !)
Espero ter te ajudado, te motivado, sem ter estragado a alegria
de criar e descobrir... Eu procurei apenas esbocar um caminho
que voce ja descobriu e que me parece sintetico e elegante.
Um Grande Abraco pra Voce
Paulo Santa Rita
4,2048,07032001
So para tirar uma duvida.
ii. Quando o numero de multiplos e impar, fazemos o seguinte calculo:
[n(M)+1]/2, quando for par n(M)/2. Com isso temos todas as possibilidades
para os valores usando apenas 2 dos 3 espacos das questao.
Por isso que estou enviando esse e-mail, existe alguma formula para
determinarmos as possibilidades para o 3 espaco? Caso sim, basta, somar as
possibilidades usando 2 espacos com as possibilidades usando 3 espacos.
E isso ai, espero que alguem me ajude. Obrigado desde ja.
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