Re: Livro de inversões
Tratar inversoes usando numeros complexos (por que "variaveis complexas"?) eh a maneira mais natural de faze-lo, ja que a inversao (tomando o circulo base como o circulo unitario) corresponde a funcao que leva z no inverso do conjugado de z. As propriedades da inversao decorrem entao algebricamente dahi, usando a algebra dos complexos. (Isto nao significa que nao se deva simultaneamente estudar a inversao pela geometria "sintetica" [argh!]). Apenas para efeitos de registro historico cultural (nada de pessoal, eh claro), noto mais uma vez o preconceito que ainda existe no meio matematico "elementar" em relacao a algebra dos complexos, que nada mais eh do que a constataco de que, munindo-se o plano (identificado com R^2) da adicao vetorial e da multiplicacao complexa (multiplicar modulos e somar argumentos), o plano se torna um maravilhoso "corpo", que inclui uma imagem dos reais (o eixo X) como subcorpo. Pode ser que eu seja um utopico, mas ainda sonho com o dia em que o ensino elementar vai compreender isto, vai utiliza-lo abundantemente para resolver problemas de geometria plana (analiticamente, mas so usando coordenadas "no final"). Nesse dia, a dificuldade vai ser alguemse lembrar de que complexos tem alguma coisa a ver com a raiz de -1. JP - Original Message - From: Rodrigo Villard Milet To: Obm Sent: Friday, April 06, 2001 9:44 PM Subject: Livro de inversões Alguém poderia me indicar um livro que contenha algo sobre inversões ( geometria ), mas que não trate o assunto com variáveis complexas ?? Desde já, agradeço. ¡Villard!
Re: Ajuda
Ola Carlos Shine,
Amigos da Lista.
O seu contra-exemplo nao serve porque e justamente isso que o Duda ( Eduardo
Casagrande Stabel ) esta conjeturando : que "1 - (An/An+1)" sempre DIVERGE.
O seu "Contra-Exemplo" apenas reforca as suspeitas do Duda ( Que sem duvida
deve ter percebido a conversao a serie harmonica ).
Nao vou fazer a questao, mas dou uma ideia :
1)Suponha que para alguma sequencia (A1,A2,...), nao decrescente e com Lim
An=+INF
2) a serie {1 - (An/An+1)} converge.
3) entao, necessariamente, Bn=1 - (An/An+1) teve ter limite zero.
4) Ou seja : lim An/An+1=1
3) Mostre que uma tal suposicao conduz a algum absurdo com as hipoteses que
temos que admitir em 1)
Um abraco
Paulo Santa Rita
7,1502,07042001
From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Ajuda
Date: Fri, 6 Apr 2001 20:24:43 -0700 (PDT)
Este fato no verdadeiro. Tome a seqncia a_n=n.
Temos Lim n = +infinito e 1 - n/(n+1) = 1/(n+1).
conhecido que a srie SOMA(1/(n+1)) diverge. Tente
demonstrar isso.
[]'s
Carlos Shine
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolvendo um exercicio do livro Analise Real do E.
L. Lima eu cheguei a um resultado que acho que eh
verdadeiro, mas estou com dificuldades para
analisa-lo, e nao consigo dar contra-exemplos.
Se (a_1, a_2, ...) eh uma sequencia
nao-decrescente e Lim(a_n) = +INFINITO, entao a
serie SOMA{ 1 - (a_n)/(a_n+1) } diverge.
Por favor, se tiverem alguma dica, digam!
Eduardo Casagrande Stabel.
__
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Ajuda no começo
Meu nome é Rodrigo. Estou iniciando minha preparação para olimpíadas. Gostaria de saber por que assuntos começar, quais são os mais impotantes. Gostaria de saber sites bons de pesquisa. Tenho 15 anos e estou no 2º Colegial. Desde já agradeço muito. __ O BOL é Top3 no iBest! Vote já para torná-lo Top1! http://www.bol.com.br/ibest.html
Re: Livro de inversões
Valeu, cara !!! Mas onde eu acho esse da Mir ? -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 6 de Abril de 2001 23:10 Assunto: Re: Livro de inverses Ola Rodrigo, Tudo bem ? O Livro de Geometria do Ilustre Prof Eduardo Wagner trata deste tema, indiretamente. Todavia, parece que o Prof esta apresentando uma nova verso de sua obra, mais ampla e geral. Existe uma edio da revista Eureka ( no sei o numero ) na qual o Prof Paulo Cesar fala sobre isso, inclusive explicando o logotipo da OBM e outras coisas. Tambem parece que o Prof Ralph andou dando aula sobre estas coisas : pode ser que ele tenha publicado ( ou vai publicar ) estas aulas ... Um Livro que trata isto sem usar complexos e de um ponto de vista verdadeira superior e que me parece completo e: Geometria Superior Nikolay Efimov Editora Mir este livro Fantastico ! Um abrao Paulo Santa Rita 6,2232,06042001 From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "Obm" [EMAIL PROTECTED] Subject: Livro de inverses Date: Fri, 6 Apr 2001 21:44:41 -0300 Algum poderia me indicar um livro que contenha algo sobre inverses geometria ), mas que no trate o assunto com variveis complexas ?? Desde j, agradeo. Villard! _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Napoleao...
Sim, j foi provado... eu mandei a soluo h muito tempo atrs...
Para provar o seu problema, o raciocnio totalmente anlogo ao usado no
abaixo !!!
Generalizao do Teorema de Napoleo : Dado um tringulo qualquer ABC,
constroem-se os tringulos APB, QAC e BCR, todos semelhantes ( ao ABC) e
exteriores a ABC( Note que a semelhana deve ser com os vrtices nessa
ordem ). O tringulo formado pelos circunscentros dos tringulos exteriores
semelhante a ABC !
Lema : Os crculos circunscritos a ABP, ACQ e BCR passam por um mesmo ponto.
Prova do lema : Traando os crculos circunscritos a ABP e ACQ, vemos que
so secantes em A e em outro ponto N. Basta, ento, provar que #BCRN
inscritvel, pois B, C e R determinam um crculo. Seja ANxBC=M ,
ang(MNC)=ang(AQC) {pois #AQCN inscrito}... analogamente,
ang(BNM)=ang(APB). Pela contruo da figura, de um modo simtrico, para no
tirar a generalidade do problema, ang(APB)=ang(ABC) e ang(AQC)=ang(BAC)
assim, ang(BNC) = ang(BNM) + ang(CNM) = ang(APB) + ang(AQC) = ang(BNC) =
ang(ABC) + ang(BAC) =180 ang(BCA) = ang(BNC) = 180 ang(BRS) = #BNCR
inscrito. (CQD)
Vamos usar o fato de que a corda comum de dois crculos secantes
perpendicular a reta que une os centros.
Sejam, ento, O1, O2 e O3 os centros dos crculos em ABP, ACQ e BCR,
respectivamente. E sejam tambm, T = O1O2xAN , U = O2O3xCN e V = O1O3x BN .
Assim, #O1TNV inscritvel = ang(BNM) = ang(O2O1O3) = ang(ABC)...
Analogamente, analisando #O2TNU e #O3UNV, vemos que ang(O1O2O3)=ang(BAC) e
ang(O1O3O2)=ang(ACB) = O1O2O3 semelhante a ABC. (CQD)
Villard !
-Mensagem original-
De: Carlos Stein Naves de Brito [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sbado, 7 de Abril de 2001 21:34
Assunto: Napoleao...
Nao sei se ja foi provado aqui antes, mas h uma prova elegante do teorema
de napoleao, em que num triangulo qualquer se monta um triangulo equilatero
externo a cada um dos lados. prove que o centro desses tringulos
equilateros
formam outro equilatero...
Geometrias
Colegas da lista, Apesar de no ter uma definio bonitinha de o que seja a geometria euclidiana, sei que esta a ensinada nos ensinos fundamental e mdio e por isso j tive algum contato com ela. Esta forma de ver, medir e relacionar coisas me parece ser a mais real, quer dizer, ela tem relao com as minhas impresses prvias do mundo. Mesmo tendo uma coisa aqui, outra ali que me atenta para um pr-conceito errado que eu tinha, o grosso equivale razoavelmente quilo que eu j conhecia antes de formalizar o conhecimento. Ouvi dizer que Einstein empregou em certa parte da Teoria da Relatividade uma geometria no-euclidiana. O que isto quer dizer? Se Euclides descreveu bem (creio eu) o nosso mundo em termos geomtricos, por que inventar outras formas de viso do mundo para descrever a natureza, se ela a mesma? Ou melhor: se a natureza uma s, como possvel descrev-la corretamente de duas formas diferentes? Aproveitando o assunto, gostaria de ter uma boa definio do que a geometria euclidiana. E quais as mais importantes geometrias no-euclidianas? Um abrao e muitas dvidas, Bruno Mintz
triângulo com mais de 180o?
considerem a forma esfrica da Terra. tracemos duas linhas de seu extremo superior ou inferior (plo norte ou plo sul) - ponto P - at dois pontos distintos pertencentes linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser considerado um tringulo? se a resposta for afirmativa, este tringulo possuir soma interna de seus ngulos maior que 180o. isto est de acordo com a definio de tringulo?
Re: triângulo com mais de 180o?
A soma dos ngulos internos de um tringulo s 180 graus na geometria euclidiana. Explicanco melhor : Se voc verificar que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180, voc s pode estar trabalhando com a geometria euclidiana. De fato, num tringuo esfrico, a soma dos ngulos internos do tringulo 180 graus. Mas esse tringulo no definido na geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos 180 decorre do axioma das paralelas, que s definido na geo euclidiana. Certamente, se voc considerar uma geometria na superfcie de uma esfera, onde as retas so os grandes crculos, note que PAB ser um tringulo sim. Mas como nessa geometria no vale o axioma das paralelas, no podemos afirmar nada sobre a soma dos ngulos (s q ela180). Abraos, Villard! -Mensagem original- De: vinicius [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55 Assunto: tringulo com mais de 180o? considerem a forma esfrica da Terra. tracemos duas linhas de seu extremo superior ou inferior (plo norte ou plo sul) - ponto P - at dois pontos distintos pertencentes linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser considerado um tringulo? se a resposta for afirmativa, este tringulo possuir soma interna de seus ngulos maior que 180o. isto est de acordo com a definio de tringulo?
