RE: Desligamento/ to stop
All, Peo que no envie mais mensagens para mim, a empresa que eu trabalho est mudando de endereo e eu estarei em outras operaes administrativas, assim que eu me regularizar, volta a me cadastrar. Muito obrigado pelas informaes que todos me passaram durante todo esse tempo. Um forte abrao a todos e at. Washington.
Re: Primos
Certamente essa parte :logo w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1, foi pra economizar tempo... no bvio, necessita desse passo intermedirio sim ! Isso pra mostrar que os complexos so muito teis, ao contrrio do que muitos pensam ( inclusive eu pensAVA assim... ). Abraos, Villard ! -Mensagem original-De: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 17 de Abril de 2001 22:34Assunto: Re: Primos Caro Rodrigo. Onde voce diz: seja w raiz cubica da unidade, eh claro que voce estah subentendo diferente de 1, se nao w^2+w+1 nao poderia dar zero. Ou seja, este w so pode ser complexo nao real, mais precisamente cis(2pi/3) = -1/2 + i RQ(3)/2, ou seu conjugado cis(-2pi/3) = -1/2- i RQ(3)/2. Para mim, nao eh muito claro o seu logo w^2+w+1 eh fator de w^5+w^4+1. Eu preferiria acrescentar o passo intermediario: Analogamente, P(u)=0, onde u = conjugado de w. Logo P(z) eh divisivel por (z-w)(z-u), que eh igual a z^2+z+1. De qualquer forma, o interessante do seu metodo eh como se resolvem problemas de aritmetica dos inteiros usando complexos! O velho Gauss ja fazia isto numa epoca em que os matematicos ainda tinham vergonha de admitir a existencia dos complexos. Foi fatorando a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) que ele resolveu o celebre problema: que inteiros sao somas de dois quadrados?. E ahi nascia o anel dos inteiros de Gauss, o primeiro exemplo natural (alem dos inteiros usuais e dos polinomios com coeficientes em um corpo) de um anel onde vale um algoritmo de Euclides. Vivam os complexos! Abaixo os detratores dos complexos (inventores de palavras como imaginarios)! JP - Original Message - From: Rodrigo Villard Milet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, April 17, 2001 7:15 PM Subject: Re: Primos Note que n^5 + n^4 + 1 no irredutvel. Existe um artifcio bem interessante o qual o Mrcio Cohen ( da lista ) me disse outro dia... Seja P(n) = n^5 + n^4 + 1 . Seja w raiz cbica da unidade. Logo w^3 = 1 ou seja, para w diferente de 1, temos w^2 + w + 1 = 0. Vamos calcular P(w) : P(w) = w^5 + w^4 + 1 = w^2 + w + 1 = 0. Logo, w^2 + w + 1 fator de w^5 + w^4 + 1 . Fazendo a diviso de w^5 + w^4 + 1 por w^2 + w + 1 , achamos exatamente w^3 - w + 1. Logo, P(w) = (w^2 + w + 1)*(w^3 - w + 1), ou seja, temos que P(n) = (n^2 + n + 1)*(n^3 - n + 1), fcil verificar que os dois fatores so maiores que 1, para n1, logo P(n) composto. Abraos, Villard ! -Mensagem original-De: Fbio Arruda de Lima [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 17 de Abril de 2001 01:29Assunto: Primos Ol amigos, Aqui vai problema: 1)Mostre que n^5+n^4+1 no primo para n1. 2)Qual so os primos da forma n^n+1 menores que 10^19? Um abrao Fbio Arruda
Resolucoes de problemas
Olá amigos da lista, Eu ando participando da lista meio ocultamente mas hoje venho pedir um auxílio a todos, é que venho buscado muito algum material relacioando a métodos de prova. Voltando a discussão quanto a livros para o estudo de Cálculo, eu gostaria de obteropniões sobre o livro Introduction to Calculus and Analysis de R. Courant e J. Fritz, é que estou cursando Engenharia Física na UFSCar e gosto bastante do lado matemático da Ciência e encontrei uma forma muito interessante neste livro de como os autores evoluem os conceitos. Abraços, Alexandre H. S. Engenharia Física, UFSCar
Re: Parte inteira - insistente
Ola Luis Lopes, Villard e
demais colegas da Lista :
Saudacoes !
Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento
anterior.
Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
isso.
Antes gostaria de Citar um Livro :
A Divina Proporcao
(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
H.E. Huntley
Editora Universidade de Brasilia.
Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero de
ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para aticar
a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo
!
Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
Fn+2 = Fn+1 + Fn.
A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou
representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
Convencionando que #8220;RZ_2(5)#8221; representa a #8220;raiz quadrada
de cinco#8221;, o numero fi - que muitos chamam de #8220;numero de
ouro#8221; e que aqui sera representado por H #8211; pode ser expresso
como :
H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Da seque que : (#8211;1) / H = ( ( 1 -
RZ_2(5) ) / 2 )
Sabemos que Binet mostrou que :
Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto : LIM
Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H
1.
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +
1/5 + ... + 1/Fn + ... absolutamente convergente. Sendo seus termos
todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para #8220;n#8221; suficientemente
grande, a sequencia :
Gn, Gn+1, Gn+2, ...
Se comporta como uma PG infinita com razo menor que um. A titulo de
visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... (
igualdade at a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
somada como seque :
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto e
:
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 #8211; (1/H) ).
S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H #8211; 1) )*Gk
A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao.
O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
conhecida. Assim, definimos a funcao :
S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H #8211; 1) )*Gk
No adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao infinito,
dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator constante
(H / ( H #8211; 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou
EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
MINHA IDEIA
Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO,
senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao desaparecer,
o que tornara as coisas mais faceis.
Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
coisas e determinar K. E legal !
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1532,18042001
From: "Luis Lopes" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Parte inteira - insistente
Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
Sauda,c~oes,
eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a srie
converge ( que o meu palpite ! ),
Testar a convergncia de uma srie uma coisa, achar a forma fechada (se),
outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por ach-lo
interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam nossa
correspondncia.
===
Dear Luis:
Maybe the proposer had something in mind that I missed.
I would certainly be interested if he had some sort of exact
formula for the sum of the series. What I did to evaluate
\lfloor 50 * sum \rfloor was just based on expediency, so I
am pretty sure that there is a more satisfactory approach.
Cecil
Luis Lopes wrote:
Dear Cecil,
Many thanks. I thought the problem didn't have to resort to this
(Maple,numerical comparison etc) because he insisted on it. I thought it
was a "standard" exam problem. Sorry, it is a little disappointing. I will
forward your answer to the list. I do hope to have a feedback from the
"author" regarding his expectations, origin of this problem etc. Happy to
talk to you. Cheers, Luis
===
Ento foi isso. E a, algum
Re: ajuda
Estou me lembrando de um problema muito legal: uma pessoa escolhe um nmero de 0 a 15, a outra pessoa tem que descobrir que nmero , fazendo perguntas com resposta "sim" ou "no". O detalhe que o cara que pensou no nmero pode mentir 1 vez se quiser. Qual o nmero mnimo de perguntas que so suficientes para descobrir o numero pensado? Bruno -Mensagem original- De: Alek [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 15 de Abril de 2001 08:05 Assunto: Re: ajuda Eu responderia que o menor numero de perguntas sete. Como cheguei a este numero? A primeira coisa foi lembrar de uma aula de digital onde estava aprendendo umas das formas de um circuito quantizar um valor, ou seja, passa-lo para binario, e este era o metodo que gastava menos instruoes, era mais ou menos assim. Pergunta se o numero menor que o numero mediano do universo em que se esta trabalhando no momento No caso sao 100 numeros Umas sequencias possiveis seriam 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9s - 8 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9n - 9 25s = menor que 25? Sim 7n = menor que 7? Nao Alek At 21:01 14/04/01 -0400, you wrote: Pensei num nmero inteiro no intervalo de 1 at 100 e voc deve descobrir qual. Para ajudar, responderei, apenas com sim ou no, a qualquer pergunta. Qual o menor nmero de perguntas que permite descobrir o nmero?
Re: ajuda
Explicando melhor: A pessoa A pensa num nmero de 0 a 15. A pessoa B tem que adivinhar o nmero que A pensou fazendo perguntas cuja resposta seja "sim" ou "no", por exemplo: "o nmero maior que 4?", etc. a)Mostre que com no mximo 4 perguntas, B consegue acertar o nmero. b)Se A puder mentir uma vez no mximo (ele pode mentir se quiser, no obrigado), quantas perguntas so necessrias? Acho que agora est certinho. Bruno -Mensagem original- De: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 22:42 Assunto: Re: ajuda Estou me lembrando de um problema muito legal: uma pessoa escolhe um nmero de 0 a 15, a outra pessoa tem que descobrir que nmero , fazendo perguntas com resposta "sim" ou "no". O detalhe que o cara que pensou no nmero pode mentir 1 vez se quiser. Qual o nmero mnimo de perguntas que so suficientes para descobrir o numero pensado? Bruno -Mensagem original- De: Alek [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 15 de Abril de 2001 08:05 Assunto: Re: ajuda Eu responderia que o menor numero de perguntas sete. Como cheguei a este numero? A primeira coisa foi lembrar de uma aula de digital onde estava aprendendo umas das formas de um circuito quantizar um valor, ou seja, passa-lo para binario, e este era o metodo que gastava menos instruoes, era mais ou menos assim. Pergunta se o numero menor que o numero mediano do universo em que se esta trabalhando no momento No caso sao 100 numeros Umas sequencias possiveis seriam 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9s - 8 50s; 25s; 13s; 7n; 10s; 8n; 9n - 9 25s = menor que 25? Sim 7n = menor que 7? Nao Alek At 21:01 14/04/01 -0400, you wrote: Pensei num nmero inteiro no intervalo de 1 at 100 e voc deve descobrir qual. Para ajudar, responderei, apenas com sim ou no, a qualquer pergunta. Qual o menor nmero de perguntas que permite descobrir o nmero?
Intervalo
Olá Galera, (Olimpíada Britânica/92) Sejam x,y e y números reais positivos, satisfazendo: 1/3 = x*y + y*z + x*z = 3 Lê-se = (menor ou igual) Determine o intervalo dos valores dê: a) x+y+z b) x*y*z Valeu! Fábio
Frações
Olá amigos, (Olimpíada Britânica/87) Ache o par de inteiros r e s, tal que 0s200 e 45/61r/s59/80 Além disso, prove que existe apenas um único par r e s. Um abraço. Fábio
Re: Parte inteira - insistente
Ola Villard e
amigos da Lista !
Cordiais Saudacoes a Todos !
Dando continuidade a nosso papo : ACREDITO QUE SIM. Penso que ha um melhor
valor de K. Vou tentar explicar melhor as coisas
(Nao sei se isso acontece com todo mundo ou e uma infeliz particularidade
minha persolnalidae ... Ter ideias pra resolver questoes dificeis e , em
geral, facil. Dar uma feicao matematica a estas ideias tambem e, em geral,
facil. Mas, EXPLICAR IDEIAS, parece ser algo MUITO DIFICIL ... as vezes
penso que e porque as palavras sao pobres para explicarem aquilo que vemos
... as vezes penso que e porque eu realmente sou ruim nisso ... Eu
francamente e publicamente peco desculpas a todos os colegas, que muito
prezo, se, de alguma forma, fui ou/e estou sendo confuso : nao e intencional
!)
Seja A={A1, A2, A3, ...} uma sequencia de numeros e F={F1, F2, F3, ... } uma
sequencia de fatores. Suponhamos que :
LIM Fn = Q e que Fi Q se i e impar e Fi Q se i e par, isto e, a
sequencia F1, F2, ... converge para Q ( Q 1)mas os seus termos oscilam em
torno de Q, ora sendo maior, ora sendo menor, mas sempre se aproximando mais
e mais de Q.
Vamos agora construir a sequencia Ai*Fi ( * e o sinal de multiplicacao)
que chamaremos de Bi. Assim, Bi=Ai*Fi.
Considere agora a progressao geometrica Cn = Ck*(Q^n), onde Ck e algum dos
Ai ( pode ser A1, A100, A23, etc : nao sabemos ainda!).
A minha ideia e que : escolhendo um Ck conveniente, comparamos a evolucao
dele com os sucessivos Bi, para i = K.
Suponha que seja Ck=A7. Logo K=7. Entao os sucessivos valores da sequencia B
serao A7*F7, A8*F8, A9*F9, ...
Os sucessivos valores da sequencia B sao A7*Q, A7*Q^2, A7*Q^3, ...
Entao, nao obstante os valores da sequencia B sejam diferentes dos valores
da sequencia C, as somas no final se compensam, e teremos que o somatorio
infinito de B e igual ao somatorio infinito de C.
Na serie do colega Villard ocorre isso. A sequencia dos inversos dos numeros
de fibonaci sao gerados multiplicando-se cada termos anterior por um fator
que ora e menor que o numero fi, ora e maior que o numero fi , mas que se
aproximam mais e mais de Fi, convergindo para ele, portanto, se escolhermos
o ponto de partida conveniente e fixarmos o fator ( que e a PG infinita a
que me refiro abaixo ), a soma da PG infinita e a soma do Villard, no final,
serao iguais !
A minha ideia e determinar que condicoes devem satisfazer os fatores
variareis Fi para que exista um ponto de partida que que uma igualdade entre
as duas somas infinitas. A seguir, mostrar que estas condicoes sao
satisfeitas pela sequencia dos inversos dos numeros de fibonaci.
Se ninguem no Mundo nao fez isso e isto e um problema em aberto, este fato
deve ser irrelevante para nos ou mesmo estimulante, pois e uma amostra da
saudavel audacia e qualidade do que se discute em nossa lista ! Por outro
lado, se ninguem fez ou algum cara muito bom nao fez ( por exemplo: Euler,
Gauss, Newton ) isso nao significa que nao seja factivel : a ciencia parece
progredir justamente indo alem daquilo que nossos anteriores fizeram !
Em sintese : Esse papo pode nos levar longe !
Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao, nos termos abstratos que expus
acima e, havendo tempo, oportunamente vou publicar qualquer resultado
generico que conseguir.
Um Grande abrao a todos
Paulo Santa Rita
4,2337,18042001
From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Parte inteira - insistente
Date: Wed, 18 Apr 2001 21:13:33 -0300
Eu tentei achar o valor para o qual a sequncia converge e como no
consegui, fiz algumas contas pelo computador... calculei o somatio at
G(100), depois at G(1000). Os valores so muito parecidos...
aproximadamente 3,5988 Algum se habilita a achar o valor exato ?
E isso que voc falou de achar um "melhor" K, no sei se possvel no
pq para cada aproximao desejada, vai existir um K. Mas existe um desses
que a melhor aproximao de todas ???
Abraos,
Villard !
-Mensagem original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 17:06
Assunto: Re: Parte inteira - insistente
Ola Luis Lopes, Villard e
demais colegas da Lista :
Saudacoes !
Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum
momento
anterior.
Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
isso.
Antes gostaria de Citar um Livro :
A Divina Proporcao
(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
H.E. Huntley
Editora Universidade de Brasilia.
Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero
de
ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para
aticar
Re: Intervalo
a) Pela Desigualdade entre as Médias Aritmética e Geométrica: x^2 + y^2 = 2xy x^2 + z^2 = 2xz y^2 + z^2 = 2yz Somando temos que x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + xz implicando que x^2 + y^2 + z^2 = 1/3 (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz) = 1/3 + 2/3 x + y + z = 1 com igualdade quando x = y = z Também poderíamos chegar ao mesmo resultado usando a Desigualdade de Cauchy Notemos agora que não existe um limite superior para x + y + z, pois podemos fazer (por exemplo) x = y = 1/z. Assim: xy + yz + xz = x^2 + 2 implicando quex^2 + 2 = 3 implicandoque 0 x = 1 Comoz = 1/x temos que z= 1 Assim x + y + z = z pode assumir qualquer valor real, não possuindo x + y + z um limite superior Finalmente x + y + z= 1 b)Pela Desigualdade entre as Médias Aritmética e Geométrica: xyz = [(xy + xz + yz)^3]/27 = 27/27= 1 Assim: xyz = 1, com igualdade quando x = y = z. Como x, y e z são números reais positivos podemos fazer com que algum deles se aproxime o quanto quizermos de zero. Assim, como os outros valores vão ser todos finitos, então a multiplicação xyz também vai ser aproximar de zero o quanto quizermos. Portanto temos que xyz 0. Finalmente 0 xyz = 1 Falou. Marcelo Rufino - Original Message - From: Fábio Arruda de Lima To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, April 18, 2001 9:42 AM Subject: Intervalo Olá Galera, (Olimpíada Britânica/92) Sejam x,y e y números reais positivos, satisfazendo: 1/3 = x*y + y*z + x*z = 3 Lê-se = (menor ou igual) Determine o intervalo dos valores dê: a) x+y+z b) x*y*z Valeu! Fábio
