RE: Parte inteira - insistente (Huntley)
Desculpe entrar na conversa, mas o livro do Huntley não é mais publicado, é? Tive acesso ao livro pela biblioteca do LEM (laboratório de ensino da matemática) da UNICAMP. Amei! Procurei na internet e achei apenas a versão em inglês (não tenho, assim, como apaixonar um aluno que não tem familiaridade com a língua). Alguém sabe como arrumo a versão publicada pela Unb na década de 80? É um dos livros que faz falta na minha biblioteca particular. Eduardo Grasser Campinas SP -- De: Paulo Santa Rita[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 15:35 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: Parte inteira - insistente Ola Luis Lopes, Villard e demais colegas da Lista : Saudacoes ! Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento anterior. Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao, cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a isso. Antes gostaria de Citar um Livro : A Divina Proporcao (Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica) H.E. Huntley Editora Universidade de Brasilia. Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero de ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para aticar a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo ! Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia : Fn+2 = Fn+1 + Fn. A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn. Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso como : H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 - RZ_2(5) ) / 2 ) Sabemos que Binet mostrou que : Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H < 1. O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos todos positivos ... ELA E CONVERGENTE ! Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ? O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n” suficientemente grande, a sequencia : Gn, Gn+1, Gn+2, ... Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... ( igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ). Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser somada como seque : S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto e : S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ). S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao. O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa conhecida. Assim, definimos a funcao : S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao infinito, dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator constante (H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ? MINHA IDEIA Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO, senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao desaparecer, o que tornara as coisas mais faceis. Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega (talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as coisas e determinar K. E legal ! Um abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1532,18042001 >From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Parte inteira - insistente >Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300 > >Sauda,c~oes, > >< eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a série >converge ( que é o meu palpite ! ), > >Testar a convergência de uma série é uma coisa, achar a forma fechada (se), >outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por achá-lo >interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam nossa >correspondência. > >=== >Dear Luis: >Maybe the proposer had something in mind that I missed. >I would certainly be interested if he had some sort of exact
4a lista da IMO
Aí pessoal: O problema 5 da 4a lista da IMO/Ibero diz um monte de coisas e, quando chega no "prove que", acrescenta elementos tirados de não sei donde. Quem é (cj), e por extensão, (Cj)? Existe outra regra de formação de (Kj), além da enunciada, que permita determinar (kj)? O que a seqüência de Fibonacci tem a ver com a questão? Aguardo esclarescimentos(se estes forem possíveis por esta lista) Bernardo ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
Re: 4a lista da IMO
At 09:20 19/04/01 -0300, you wrote: >Aí pessoal: > >O problema 5 da 4a lista da IMO/Ibero diz um monte de coisas e, quando chega >no "prove que", acrescenta elementos tirados de não sei donde. Quem é (cj), >e por extensão, (Cj)? Existe outra regra de formação de (Kj), além da enunciada, >que permita determinar (kj)? O que a seqüência de Fibonacci tem a ver com >a questão? > >Aguardo esclarescimentos(se estes forem possíveis por esta lista) > >Bernardo > Caro Bernardo, As listas de selecao da Cone Sul, Imo e Ibero nao podem ser discutidas nesta lista. Abracos, Nelly.
Re: 4a lista da IMO
Caro Bernardo, Realmente, por um erro de digitação, é definida desnecessariamente a seqüência de Fibonacci no problema (na verdade, isto foi uma dica inconsciente). Já com relação a Cj e cj, faça a analogia com Kj e kj. Abraços, Ed. --- [EMAIL PROTECTED] wrote: > Aí pessoal: > > O problema 5 da 4a lista da IMO/Ibero diz um monte > de coisas e, quando chega > no "prove que", acrescenta elementos tirados de não > sei donde. Quem é (cj), > e por extensão, (Cj)? Existe outra regra de formação > de (Kj), além da enunciada, > que permita determinar (kj)? O que a seqüência de > Fibonacci tem a ver com > a questão? > > Aguardo esclarescimentos(se estes forem possíveis > por esta lista) > > Bernardo > > > > > ___ > > http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde > você está. > > > __ Do You Yahoo!? Yahoo! Auctions - buy the things you want at great prices http://auctions.yahoo.com/
RE: Parte inteira - insistente (Huntley)
Ola, Eu consegui o livro em um Sebo de livros usados. É realmente muito bom. Não sei onde é vendido. Um Abraço Paulo Santa Rita 5,1343,19042001 >From: Eduardo Grasser <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "'[EMAIL PROTECTED]'" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: RE: Parte inteira - insistente (Huntley) >Date: Thu, 19 Apr 2001 08:11:15 -0300 > >Desculpe entrar na conversa, mas o livro do Huntley não é mais publicado, >é? >Tive acesso ao livro pela biblioteca do LEM (laboratório de ensino da >matemática) da UNICAMP. Amei! >Procurei na internet e achei apenas a versão em inglês (não tenho, assim, >como apaixonar um aluno que não tem familiaridade com a língua). Alguém >sabe como arrumo a versão publicada pela Unb na década de 80? É um dos >livros que faz falta na minha biblioteca particular. > >Eduardo Grasser >Campinas SP >-- >De:Paulo Santa Rita[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] >Enviada em:Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 15:35 >Para: [EMAIL PROTECTED] >Assunto: Re: Parte inteira - insistente > >Ola Luis Lopes, Villard e >demais colegas da Lista : > >Saudacoes ! > >Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de >Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento >anterior. > >Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao, >cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a >solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a >isso. > >Antes gostaria de Citar um Livro : > >A Divina Proporcao >(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica) >H.E. Huntley >Editora Universidade de Brasilia. > >Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero >de >ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para >aticar >a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que >seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo >! > >Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos >conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia : > >Fn+2 = Fn+1 + Fn. > >A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou >representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn. > >Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada >de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de >ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso >como : > >H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 - >RZ_2(5) ) / 2 ) > >Sabemos que Binet mostrou que : > >Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM >Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto : >LIM >Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H < >1. > >O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + >1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos >todos positivos ... ELA E CONVERGENTE ! > > >Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ? > > >O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n” >suficientemente >grande, a sequencia : > >Gn, Gn+1, Gn+2, ... > >Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de >visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... ( >igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ). > >Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser >somada como seque : > >S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto >e >: >S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ). >S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk > >A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao. >O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa >conhecida. Assim, definimos a funcao : > >S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk > >Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao >infinito, >dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator >constante >(H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e >intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou >EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ? > >MINHA IDEIA > >Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO, >senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao >desaparecer, >o que tornara as coisas mais faceis. > >Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega >(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as >coisas e determinar K. E legal ! > >Um abraco a todos >Paulo Santa Rita >4,1532,18042001 > > >From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]> > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: Re: Parte inteira - insistente > >Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300 > > > >Sauda,c~oes, > > > >< eu queria uma resposta fechad
Re: Frações
Note que dado a/b < c/d, temos a/b < (a+b)/(c+d) < c/d ( Verifique !) Daí, temos r = 45 + 59 = 104 e s = 80 + 61 = 141 < 200. Suponha q existe outro par r,s, ou seja, suponha que existam r` e s`, tais que 45/61>r`/s`>59/80. Daí, existem duas possibilidades : r'/s' entre 59/80 e 104/200 ou entre 45/61 e 104/200 após fazer algumas contas, vc chega a um absurdo ! Se ninguém mandar a solução, eu escrevo... Abraços, ¡Villard! -Mensagem original-De: Fábio Arruda de Lima <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 23:47Assunto: Frações Olá amigos, (Olimpíada Britânica/87) Ache o par de inteiros r e s, tal que 0 45/61>r/s>59/80 Além disso, prove que existe apenas um único par r e s. Um abraço. Fábio
Como fazer?!
Caros colegas, não estou conseguindo resolver o seguinte desafio: Uma mulher tem três filhos. Descubra a idade de cada um deles seguindo essas três pistas: Primeira pista: O produto da idade deles é 36; Segunda pista: A soma da idade deles é um número da casa da frente; Terceira pista: O mais velho toca piano. Por favor, vocês podem me ajudar ? Davidson
Somatório
Ola colegas, alguem pode me ajudar na questao abaixo? Explicando o raciocinio da resolucao. Lá vai. Dada a matriz |1 2 3 -2| |4 -1 05| |6 -4 31| Calcular: a) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de xij. (Esse caso eh um somatorio duplo caso nao tenham entendido bem o que eu fiz) b) somatorio j=2 a 4 xj c) somatorio i=2 a 3 xi d) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de (xij+1)^2 PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. obrigado a todos wfs007
Re: Topologia
> > Um problema que comumente dizem ser de topologia é o famoso problemas >das > > sete pontes. > >Proposto pelo genial Henri Poincaré! http://yakumo72.tripod.com/ eh meu >site >totalmente dedicado ao Poincaré. > Receio que haja um entusiasmo exagerado nesta afirmativa. Nao quanto a genialidade de Poincare, mas a autoria do problema. Estou citando de memoria, pois estou no trabalho, mas as sete pontes ficavam em Koenigsberg, hoje Kaliningrado, e ao que eu saiba era um problema popular saber se o passeio podia ser realizado. Foi primeiramente resolvido por Euler, ate onde estou informado. Agradeço correcoes a alguma besteira. Abracos, olavo. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Primos
Sauda,c~oes (e para o Eduardo Grasser em particular), Sobre a conclusão do problema n^n + 1, vejam um email do prof. Rousseau. [ ]'s Lu'is === Perhaps it is worth a mention that there might be larger value of n for which n^n + 1 is prime, but this requires the existence of appropriate Fermat primes. Unfortunately, no one knows for sure. The nth Fermat number 2^{2^n}+1 is prime for n=0,1,2,3,4 and composite for n = 5,6,,21 and some larger values of n, so I think the current betting is that you have found ALL the n such that n^n + 1 is prime. === De: Titular Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 20:08 Assunto: Re: Primos 1) Note que n^5 + n^4 + 1 = (n^2 + n + 1)(n^3 - n + 1), e ambos os fatores são maiores que 1 para n > 1. 2) Inicialmente temos que n < 16 pois 16^16 + 1 > 10^19 + 1 (tente provar isto!!) Seja n = (2^m).k, onde k é ímpar. Assim, caso k > 1: n^n + 1 = n^[(2^m).k] + 1 = [n^(2^m)]^k + 1^k = [n^(2^m) + 1][n^(2^m)^(k - 1) - n^(2^m)^(k - 2) + ... + 1] Assim, para que n^n + 1 seja primo então teremos k = 1, implicando que n seja uma potência de 2. Conferindo: 1^1 + 1 = 2 (confere), 2^2 + 1 = 5 (confere), 4^4 + 1 = 257 (confere), 8^8 + 1 = (2^8)^3 + 1 que é divisível por 2^8 + 1 = 257, implicando que 8^8 + 1 não é primo. Portanto, as soluçõe são 2, 5 e 257. Falou, Marcelo Rufino
Re: Como fazer?!
Esse é um problema *clássico* Tente imaginar o que o fato do mais velho tocar piano influencia na resposta. Além disso, faltam "dados" para a solução do problema como vc enviou. O fator principal que falta é dizer que SOMENTE com as 3 pistas se pode resolver o problema. - Original Message - From: Davidson Estanislau To: obm Sent: Quinta-feira, 19 de Abril de 2001 15:54 Subject: Como fazer?! Caros colegas, não estou conseguindo resolver o seguinte desafio: Uma mulher tem três filhos. Descubra a idade de cada um deles seguindo essas três pistas: Primeira pista: O produto da idade deles é 36; Segunda pista: A soma da idade deles é um número da casa da frente; Terceira pista: O mais velho toca piano. Por favor, vocês podem me ajudar ? Davidson
PROBLEMA SIMPLES
OLÁ COLEGAS DA LISTA, VENHO PROPOR UM PROBLEMA SIMPLES: UM BANCO EFETUOU OS SEGUINTES EMPRÉTIMOS COM JUROS SIMPLES, CONFORME ABAIXO: PRINCIPAL (R$)=10.000; TAXA=20% A.M; TEMPO=2MESES PRINCIPAL (R$)=20.000; TAXA=10%A.M; TEMPO=4 MESES CALCULE A TAXA MÉDIA MENSAL DESSAS OPERAÇÕES: a) 10% a.m b) 11% a.m c) 13,33% a.m d) 12% a.m e)n.d.a Alguns dos meus alunos me deixaram em dúvida... Há duas soluções que me propuseram: uma argumentando do procedimento analógico para problemas de "prazo médio" que me pareceu razoável e não eu não soube explicar a razão do erro! E outra por proporcionalidade de juros na composição de montante...Essa a solução que eu esperava... Bom, quero ver o que vcs me apresentam. Agradecido, Fui, LMF
Re: Topologia
Contribuindo para o site, informo um site que tem alguns de seus livros: http://gallica.bnf.fr/ (a maioria em francês) Agora, espero resposta as minhas perguntas, que foram despresadas. :( Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Quinta-feira, 19 de Abril de 2001 16:59 Assunto: Re: Topologia > > > > Um problema que comumente dizem ser de topologia é o famoso problemas > >das > > > sete pontes. > > > >Proposto pelo genial Henri Poincaré! http://yakumo72.tripod.com/ eh meu > >site > >totalmente dedicado ao Poincaré. > > > >Receio que haja um entusiasmo exagerado nesta afirmativa. Nao quanto a > genialidade de Poincare, mas a autoria do problema. Estou citando de > memoria, pois estou no trabalho, mas as sete pontes ficavam em Koenigsberg, > hoje Kaliningrado, e ao que eu saiba era um problema popular saber se o > passeio podia ser realizado. Foi primeiramente resolvido por Euler, ate onde > estou informado. Agradeço correcoes a alguma besteira. Abracos, olavo. > _ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. > >
Re: Problema de Geometria
Ficarei grato em conversar com vc. Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Edson Ricardo de Andrade Silva <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 14:43 Assunto: Re: Problema de Geometria > > Antes de mais nada, vamos a uma breve apresentacao. Sou > participante desta lista ha uns meses e nao tenho tido muito tempo para > debater com vcs aqui da lista pois estou condenado a terminar de escrever > minha tese de mestrado aqui na UFC (Na Area de Computacao Grafica, > precisamente na area de Modelagem Digital de Terrenos) e o tempo me > falta... no entanto, acompanho ativamente essa lista como ouvinte. > Bem, esse problema de geometria me eh particularmente > interessante. Lembro-me que no tempo do 2 grau, quando eu participava das > Olimpiadas de Matematica, havia me deparado com esse problema. O ataquei > com todas as ferramentas que eu dispunha na epoca (geom. plana, > analitica,transformacoes geometricas...) e nao consegui resolve-lo. Talvez > a minha decepcao maior foi nao ter encontrado uma solucao atraves de > geometria plana simples... > Hoje, porem, quase que num reflexo (apesar de eu estar um pouco > enferrujado em resolver problemas de olimpiadas), encontrei uma solucao > bem simples para o problema. Ai vai: > > > - Considere um novo triangulo B'C'D' como a rotacao de 90 graus do > triangulo BCD em torno de D e no sentido horario (considerando o pentagono > ABCDE descrito non sentido anti-horario). Tal rotacao faz o lado C'D' > coincidir com o lado ED, pois o angulo CDE eh reto e C'D' = CD = ED. Alem > disso, BD = B'D' e o angulo BDB' eh reto.(***) > > - Nao eh dificil observar que o quadrilatero ABEB' eh um > paralelogramo: > Observe que EB'= BC = BA. Entao falta provar que EB'// BA. Chame o > angulo BCD = B'ED = x. Chame a intersecao do prolongamento de EB' com BC > (ou com o possivel prolongamento de BC) de G. O quadrilatero GCDE eh > inscritivel, pois B'ED = GCD = x. Como EDC eh reto, temos que ter o angulo > EGC tambem reto. Logo, os lados EB' e BA sao paralelos, pois fazem os > mesmo angulos (retos) com BC. > > - Agora eh simples. As diagonais B'B e AE do paralelogramo ABEB' se > cruzam, obviamente, em M, com BM = MB'. Acontece que, como vimos > anteriormente, o triangulo BDB' eh retangulo em D e isosceles (***), logo > a altura relativa ao vertice D, ou seja DM, eh igual a metade da > hipotenusa BB', ou seja BM. E obviamente o angulo DMB eh reto, pois DM > eh altura. > CQD. > > > Eh isso ai gente, espero poder ter ajudado. > > PS : Se algum participante da lista tiver interesse na area de Computacao > Grafica, precisamente nas areas de Geometria Computacional, Modelagem > Digital de Terrenos, Visualizacao 3D e quiser manter contato, sinta-se > livre! :) > > Abracos, > Edson Ricardo > > > On Fri, 13 Apr 2001, Marcio A. A. Cohen wrote: > > > Como se falou um pouco de complexos aqui, segue abaixo um problema > > interessante de geometria. Interessante no sentido de ser um problema > > conhecido, que eu acho bem dificil de se resolver por geometria plana > > simples, e bem facil de se resolver com auxilio de numeros complexos (e o > > melhor, eh desses que com geometria analitica convencional continuam > > dificeis!): > > > > Eh dado um pentagono convexo ABCDE. Sabe-se que AB=BC, CD=DE, e os angulos > > internos B e D do pentagono sao de 90 graus. Seja M o ponto medio do lado > > AE. Demonstre que os segmentos DM e BM sao iguais, e que o triangulo DBM eh > > retangulo. > > > > Abracos, > > Marcio > > > > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu > > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos, > > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por > > > > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu > > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos, > > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por > > cis^(90) = i, e desenhar o pentagono no plano.. o resto sao soh poucas > > linhas de conta. > > > > > >
Re: Somatório
Oi, quando vc for escrever um somatório para mandar pra lista, graficamente seria: Supomos uma série qquer a_1, a_2, a_3, ... , a_n, escrevendo o somatório dela seria: n Sum a_i i = 1 Assim que nós escrevemos somatórios aqui pela lista. Essa convenção sua fica complicada pra entender ainda mais pra quem está super cansado =) abraços Marcelo >From: "wfs007"<[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "lista OBM"<[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Somatório >Date: Thu, 19 Apr 2001 16:33:34 -0300 > >Ola colegas, alguem pode me ajudar na questao abaixo? Explicando o >raciocinio da resolucao. > >Lá vai. >Dada a matriz |1 2 3 -2| > |4 -1 0 5| > |6 -4 3 1| >Calcular: >a) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de xij. (Esse caso eh um somatorio >duplo caso nao tenham entendido bem o que eu fiz) > >b) somatorio j=2 a 4 xj > >c) somatorio i=2 a 3 xi > >d) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de (xij+1)^2 > > >PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso >de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer >outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. > >obrigado a todos >wfs007 > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.