RE: Parte inteira - insistente (Huntley)
Desculpe entrar na conversa, mas o livro do Huntley não é mais publicado, é?
Tive acesso ao livro pela biblioteca do LEM (laboratório de ensino da matemática) da
UNICAMP. Amei!
Procurei na internet e achei apenas a versão em inglês (não tenho, assim, como
apaixonar um aluno que não tem familiaridade com a língua). Alguém sabe como arrumo a
versão publicada pela Unb na década de 80? É um dos livros que faz falta na minha
biblioteca particular.
Eduardo Grasser
Campinas SP
--
De: Paulo Santa Rita[SMTP:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 15:35
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto:Re: Parte inteira - insistente
Ola Luis Lopes, Villard e
demais colegas da Lista :
Saudacoes !
Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento
anterior.
Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
isso.
Antes gostaria de Citar um Livro :
A Divina Proporcao
(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
H.E. Huntley
Editora Universidade de Brasilia.
Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero de
ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para aticar
a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo
!
Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
Fn+2 = Fn+1 + Fn.
A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou
representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada
de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de
ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso
como :
H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 -
RZ_2(5) ) / 2 )
Sabemos que Binet mostrou que :
Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto : LIM
Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H <
1.
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +
1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos
todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n” suficientemente
grande, a sequencia :
Gn, Gn+1, Gn+2, ...
Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de
visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... (
igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
somada como seque :
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto e
:
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ).
S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao.
O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
conhecida. Assim, definimos a funcao :
S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao infinito,
dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator constante
(H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou
EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
MINHA IDEIA
Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO,
senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao desaparecer,
o que tornara as coisas mais faceis.
Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
coisas e determinar K. E legal !
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1532,18042001
>From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: Re: Parte inteira - insistente
>Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
>
>Sauda,c~oes,
>
>< eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a série
>converge ( que é o meu palpite ! ),
>
>Testar a convergência de uma série é uma coisa, achar a forma fechada (se),
>outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por achá-lo
>interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam nossa
>correspondência.
>
>===
>Dear Luis:
>Maybe the proposer had something in mind that I missed.
>I would certainly be interested if he had some sort of exact
4a lista da IMO
Aí pessoal: O problema 5 da 4a lista da IMO/Ibero diz um monte de coisas e, quando chega no "prove que", acrescenta elementos tirados de não sei donde. Quem é (cj), e por extensão, (Cj)? Existe outra regra de formação de (Kj), além da enunciada, que permita determinar (kj)? O que a seqüência de Fibonacci tem a ver com a questão? Aguardo esclarescimentos(se estes forem possíveis por esta lista) Bernardo ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
Re: 4a lista da IMO
At 09:20 19/04/01 -0300, you wrote: >Aí pessoal: > >O problema 5 da 4a lista da IMO/Ibero diz um monte de coisas e, quando chega >no "prove que", acrescenta elementos tirados de não sei donde. Quem é (cj), >e por extensão, (Cj)? Existe outra regra de formação de (Kj), além da enunciada, >que permita determinar (kj)? O que a seqüência de Fibonacci tem a ver com >a questão? > >Aguardo esclarescimentos(se estes forem possíveis por esta lista) > >Bernardo > Caro Bernardo, As listas de selecao da Cone Sul, Imo e Ibero nao podem ser discutidas nesta lista. Abracos, Nelly.
Re: 4a lista da IMO
Caro Bernardo, Realmente, por um erro de digitação, é definida desnecessariamente a seqüência de Fibonacci no problema (na verdade, isto foi uma dica inconsciente). Já com relação a Cj e cj, faça a analogia com Kj e kj. Abraços, Ed. --- [EMAIL PROTECTED] wrote: > Aí pessoal: > > O problema 5 da 4a lista da IMO/Ibero diz um monte > de coisas e, quando chega > no "prove que", acrescenta elementos tirados de não > sei donde. Quem é (cj), > e por extensão, (Cj)? Existe outra regra de formação > de (Kj), além da enunciada, > que permita determinar (kj)? O que a seqüência de > Fibonacci tem a ver com > a questão? > > Aguardo esclarescimentos(se estes forem possíveis > por esta lista) > > Bernardo > > > > > ___ > > http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde > você está. > > > __ Do You Yahoo!? Yahoo! Auctions - buy the things you want at great prices http://auctions.yahoo.com/
RE: Parte inteira - insistente (Huntley)
Ola,
Eu consegui o livro em um Sebo de livros usados. É realmente muito bom. Não
sei onde é vendido.
Um Abraço
Paulo Santa Rita
5,1343,19042001
>From: Eduardo Grasser <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: "'[EMAIL PROTECTED]'" <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: RE: Parte inteira - insistente (Huntley)
>Date: Thu, 19 Apr 2001 08:11:15 -0300
>
>Desculpe entrar na conversa, mas o livro do Huntley não é mais publicado,
>é?
>Tive acesso ao livro pela biblioteca do LEM (laboratório de ensino da
>matemática) da UNICAMP. Amei!
>Procurei na internet e achei apenas a versão em inglês (não tenho, assim,
>como apaixonar um aluno que não tem familiaridade com a língua). Alguém
>sabe como arrumo a versão publicada pela Unb na década de 80? É um dos
>livros que faz falta na minha biblioteca particular.
>
>Eduardo Grasser
>Campinas SP
>--
>De:Paulo Santa Rita[SMTP:[EMAIL PROTECTED]]
>Enviada em:Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 15:35
>Para: [EMAIL PROTECTED]
>Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>
>Ola Luis Lopes, Villard e
>demais colegas da Lista :
>
>Saudacoes !
>
>Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
>Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento
>anterior.
>
>Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
>cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
>solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
>isso.
>
>Antes gostaria de Citar um Livro :
>
>A Divina Proporcao
>(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
>H.E. Huntley
>Editora Universidade de Brasilia.
>
>Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero
>de
>ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para
>aticar
>a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
>seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo
>!
>
>Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
>conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
>
>Fn+2 = Fn+1 + Fn.
>
>A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou
>representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
>
>Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada
>de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de
>ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso
>como :
>
>H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 -
>RZ_2(5) ) / 2 )
>
>Sabemos que Binet mostrou que :
>
>Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
>Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto :
>LIM
>Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H <
>1.
>
>O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +
>1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos
>todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
>
>
>Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
>
>
>O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n”
>suficientemente
>grande, a sequencia :
>
>Gn, Gn+1, Gn+2, ...
>
>Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de
>visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... (
>igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
>
>Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
>somada como seque :
>
>S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto
>e
>:
>S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ).
>S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
>
>A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao.
>O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
>conhecida. Assim, definimos a funcao :
>
>S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
>
>Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao
>infinito,
>dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator
>constante
>(H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
>intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou
>EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
>
>MINHA IDEIA
>
>Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO,
>senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao
>desaparecer,
>o que tornara as coisas mais faceis.
>
>Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
>(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
>coisas e determinar K. E legal !
>
>Um abraco a todos
>Paulo Santa Rita
>4,1532,18042001
>
> >From: "Luis Lopes" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: <[EMAIL PROTECTED]>
> >Subject: Re: Parte inteira - insistente
> >Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
> >
> >Sauda,c~oes,
> >
> >< eu queria uma resposta fechad
Re: Frações
Note que dado a/b < c/d, temos a/b < (a+b)/(c+d) < c/d ( Verifique !) Daí, temos r = 45 + 59 = 104 e s = 80 + 61 = 141 < 200. Suponha q existe outro par r,s, ou seja, suponha que existam r` e s`, tais que 45/61>r`/s`>59/80. Daí, existem duas possibilidades : r'/s' entre 59/80 e 104/200 ou entre 45/61 e 104/200 após fazer algumas contas, vc chega a um absurdo ! Se ninguém mandar a solução, eu escrevo... Abraços, ¡Villard! -Mensagem original-De: Fábio Arruda de Lima <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 23:47Assunto: Frações Olá amigos, (Olimpíada Britânica/87) Ache o par de inteiros r e s, tal que 0 45/61>r/s>59/80 Além disso, prove que existe apenas um único par r e s. Um abraço. Fábio
Como fazer?!
Caros colegas, não estou conseguindo resolver o seguinte desafio: Uma mulher tem três filhos. Descubra a idade de cada um deles seguindo essas três pistas: Primeira pista: O produto da idade deles é 36; Segunda pista: A soma da idade deles é um número da casa da frente; Terceira pista: O mais velho toca piano. Por favor, vocês podem me ajudar ? Davidson
Somatório
Ola colegas, alguem pode me ajudar na questao abaixo? Explicando o raciocinio da resolucao. Lá vai. Dada a matriz |1 2 3 -2| |4 -1 05| |6 -4 31| Calcular: a) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de xij. (Esse caso eh um somatorio duplo caso nao tenham entendido bem o que eu fiz) b) somatorio j=2 a 4 xj c) somatorio i=2 a 3 xi d) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de (xij+1)^2 PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. obrigado a todos wfs007
Re: Topologia
> > Um problema que comumente dizem ser de topologia é o famoso problemas >das > > sete pontes. > >Proposto pelo genial Henri Poincaré! http://yakumo72.tripod.com/ eh meu >site >totalmente dedicado ao Poincaré. > Receio que haja um entusiasmo exagerado nesta afirmativa. Nao quanto a genialidade de Poincare, mas a autoria do problema. Estou citando de memoria, pois estou no trabalho, mas as sete pontes ficavam em Koenigsberg, hoje Kaliningrado, e ao que eu saiba era um problema popular saber se o passeio podia ser realizado. Foi primeiramente resolvido por Euler, ate onde estou informado. Agradeço correcoes a alguma besteira. Abracos, olavo. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Primos
Sauda,c~oes (e para o Eduardo Grasser em
particular),
Sobre a conclusão do problema n^n + 1, vejam um email
do
prof. Rousseau.
[ ]'s
Lu'is
===
Perhaps it is worth a mention that there might be larger
value of n for which n^n + 1 is prime, but this requires the existence of
appropriate Fermat primes. Unfortunately, no one knows for sure.
The nth Fermat number 2^{2^n}+1 is prime for n=0,1,2,3,4 and composite for n
= 5,6,,21 and some larger values of n, so I think the current betting
is that you have found ALL the n such that n^n + 1 is prime.
===
De: Titular
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 17 de Abril de
2001 20:08
Assunto: Re: Primos
1) Note que n^5 + n^4 + 1 = (n^2 + n + 1)(n^3 - n +
1), e ambos os fatores são maiores que 1 para n > 1.
2) Inicialmente temos que n < 16 pois 16^16 + 1 >
10^19 + 1 (tente provar isto!!)
Seja n = (2^m).k, onde k é ímpar.
Assim, caso k > 1: n^n + 1 = n^[(2^m).k] + 1 =
[n^(2^m)]^k + 1^k = [n^(2^m) + 1][n^(2^m)^(k - 1) - n^(2^m)^(k - 2) + ... +
1]
Assim, para que n^n + 1 seja primo então
teremos k = 1, implicando que n seja uma potência de 2.
Conferindo: 1^1 + 1 = 2 (confere), 2^2 + 1 = 5
(confere), 4^4 + 1 = 257 (confere), 8^8 + 1 = (2^8)^3 + 1
que é divisível por 2^8 + 1 = 257, implicando que 8^8 + 1
não é primo.
Portanto, as soluçõe são 2, 5 e 257.
Falou,
Marcelo Rufino
Re: Como fazer?!
Esse é um problema *clássico* Tente imaginar o que o fato do mais velho tocar piano influencia na resposta. Além disso, faltam "dados" para a solução do problema como vc enviou. O fator principal que falta é dizer que SOMENTE com as 3 pistas se pode resolver o problema. - Original Message - From: Davidson Estanislau To: obm Sent: Quinta-feira, 19 de Abril de 2001 15:54 Subject: Como fazer?! Caros colegas, não estou conseguindo resolver o seguinte desafio: Uma mulher tem três filhos. Descubra a idade de cada um deles seguindo essas três pistas: Primeira pista: O produto da idade deles é 36; Segunda pista: A soma da idade deles é um número da casa da frente; Terceira pista: O mais velho toca piano. Por favor, vocês podem me ajudar ? Davidson
PROBLEMA SIMPLES
OLÁ COLEGAS DA LISTA, VENHO PROPOR UM PROBLEMA SIMPLES: UM BANCO EFETUOU OS SEGUINTES EMPRÉTIMOS COM JUROS SIMPLES, CONFORME ABAIXO: PRINCIPAL (R$)=10.000; TAXA=20% A.M; TEMPO=2MESES PRINCIPAL (R$)=20.000; TAXA=10%A.M; TEMPO=4 MESES CALCULE A TAXA MÉDIA MENSAL DESSAS OPERAÇÕES: a) 10% a.m b) 11% a.m c) 13,33% a.m d) 12% a.m e)n.d.a Alguns dos meus alunos me deixaram em dúvida... Há duas soluções que me propuseram: uma argumentando do procedimento analógico para problemas de "prazo médio" que me pareceu razoável e não eu não soube explicar a razão do erro! E outra por proporcionalidade de juros na composição de montante...Essa a solução que eu esperava... Bom, quero ver o que vcs me apresentam. Agradecido, Fui, LMF
Re: Topologia
Contribuindo para o site, informo um site que tem alguns de seus livros: http://gallica.bnf.fr/ (a maioria em francês) Agora, espero resposta as minhas perguntas, que foram despresadas. :( Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Quinta-feira, 19 de Abril de 2001 16:59 Assunto: Re: Topologia > > > > Um problema que comumente dizem ser de topologia é o famoso problemas > >das > > > sete pontes. > > > >Proposto pelo genial Henri Poincaré! http://yakumo72.tripod.com/ eh meu > >site > >totalmente dedicado ao Poincaré. > > > >Receio que haja um entusiasmo exagerado nesta afirmativa. Nao quanto a > genialidade de Poincare, mas a autoria do problema. Estou citando de > memoria, pois estou no trabalho, mas as sete pontes ficavam em Koenigsberg, > hoje Kaliningrado, e ao que eu saiba era um problema popular saber se o > passeio podia ser realizado. Foi primeiramente resolvido por Euler, ate onde > estou informado. Agradeço correcoes a alguma besteira. Abracos, olavo. > _ > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. > >
Re: Problema de Geometria
Ficarei grato em conversar com vc. Ats, Marcos Eike -Mensagem Original- De: Edson Ricardo de Andrade Silva <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Terça-feira, 17 de Abril de 2001 14:43 Assunto: Re: Problema de Geometria > > Antes de mais nada, vamos a uma breve apresentacao. Sou > participante desta lista ha uns meses e nao tenho tido muito tempo para > debater com vcs aqui da lista pois estou condenado a terminar de escrever > minha tese de mestrado aqui na UFC (Na Area de Computacao Grafica, > precisamente na area de Modelagem Digital de Terrenos) e o tempo me > falta... no entanto, acompanho ativamente essa lista como ouvinte. > Bem, esse problema de geometria me eh particularmente > interessante. Lembro-me que no tempo do 2 grau, quando eu participava das > Olimpiadas de Matematica, havia me deparado com esse problema. O ataquei > com todas as ferramentas que eu dispunha na epoca (geom. plana, > analitica,transformacoes geometricas...) e nao consegui resolve-lo. Talvez > a minha decepcao maior foi nao ter encontrado uma solucao atraves de > geometria plana simples... > Hoje, porem, quase que num reflexo (apesar de eu estar um pouco > enferrujado em resolver problemas de olimpiadas), encontrei uma solucao > bem simples para o problema. Ai vai: > > > - Considere um novo triangulo B'C'D' como a rotacao de 90 graus do > triangulo BCD em torno de D e no sentido horario (considerando o pentagono > ABCDE descrito non sentido anti-horario). Tal rotacao faz o lado C'D' > coincidir com o lado ED, pois o angulo CDE eh reto e C'D' = CD = ED. Alem > disso, BD = B'D' e o angulo BDB' eh reto.(***) > > - Nao eh dificil observar que o quadrilatero ABEB' eh um > paralelogramo: > Observe que EB'= BC = BA. Entao falta provar que EB'// BA. Chame o > angulo BCD = B'ED = x. Chame a intersecao do prolongamento de EB' com BC > (ou com o possivel prolongamento de BC) de G. O quadrilatero GCDE eh > inscritivel, pois B'ED = GCD = x. Como EDC eh reto, temos que ter o angulo > EGC tambem reto. Logo, os lados EB' e BA sao paralelos, pois fazem os > mesmo angulos (retos) com BC. > > - Agora eh simples. As diagonais B'B e AE do paralelogramo ABEB' se > cruzam, obviamente, em M, com BM = MB'. Acontece que, como vimos > anteriormente, o triangulo BDB' eh retangulo em D e isosceles (***), logo > a altura relativa ao vertice D, ou seja DM, eh igual a metade da > hipotenusa BB', ou seja BM. E obviamente o angulo DMB eh reto, pois DM > eh altura. > CQD. > > > Eh isso ai gente, espero poder ter ajudado. > > PS : Se algum participante da lista tiver interesse na area de Computacao > Grafica, precisamente nas areas de Geometria Computacional, Modelagem > Digital de Terrenos, Visualizacao 3D e quiser manter contato, sinta-se > livre! :) > > Abracos, > Edson Ricardo > > > On Fri, 13 Apr 2001, Marcio A. A. Cohen wrote: > > > Como se falou um pouco de complexos aqui, segue abaixo um problema > > interessante de geometria. Interessante no sentido de ser um problema > > conhecido, que eu acho bem dificil de se resolver por geometria plana > > simples, e bem facil de se resolver com auxilio de numeros complexos (e o > > melhor, eh desses que com geometria analitica convencional continuam > > dificeis!): > > > > Eh dado um pentagono convexo ABCDE. Sabe-se que AB=BC, CD=DE, e os angulos > > internos B e D do pentagono sao de 90 graus. Seja M o ponto medio do lado > > AE. Demonstre que os segmentos DM e BM sao iguais, e que o triangulo DBM eh > > retangulo. > > > > Abracos, > > Marcio > > > > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu > > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos, > > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por > > > > PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu > > "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos, > > eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por > > cis^(90) = i, e desenhar o pentagono no plano.. o resto sao soh poucas > > linhas de conta. > > > > > >
Re: Somatório
Oi, quando vc for escrever um somatório para mandar pra lista, graficamente seria: Supomos uma série qquer a_1, a_2, a_3, ... , a_n, escrevendo o somatório dela seria: n Sum a_i i = 1 Assim que nós escrevemos somatórios aqui pela lista. Essa convenção sua fica complicada pra entender ainda mais pra quem está super cansado =) abraços Marcelo >From: "wfs007"<[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "lista OBM"<[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Somatório >Date: Thu, 19 Apr 2001 16:33:34 -0300 > >Ola colegas, alguem pode me ajudar na questao abaixo? Explicando o >raciocinio da resolucao. > >Lá vai. >Dada a matriz |1 2 3 -2| > |4 -1 0 5| > |6 -4 3 1| >Calcular: >a) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de xij. (Esse caso eh um somatorio >duplo caso nao tenham entendido bem o que eu fiz) > >b) somatorio j=2 a 4 xj > >c) somatorio i=2 a 3 xi > >d) somatorio i=1 a 3 somatorio j=1 4 de (xij+1)^2 > > >PS. gostaria que alguem me indicasse um livro sobre estatistica para o curso >de bacharelado em matematica. Ou ainda que indicasse algum site ou qualquer >outra fonte que eu possa encontrar algo sobre o assunto. > >obrigado a todos >wfs007 > Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
