Oi, Yuri.
Note que as ternas do tipo (a,a,b), (a,b,a) ou (b,a,a) para quaisquer a e b
reais satisfazem as equacoes. (Isto eh, x=y OU z=x OU y=z satisfazem a
equacao dada).
--//--
Agora, o que eu vou fazer aqui a seguir serve se n eh par OU voce assumir
que x,y,z sao positivos.
Se x=y, x=z ou y=z, coom jah dissemos, a equacao vale. Caso contrario, posso
supor que y>z sem perda de generalidade. Considere:
f(x)= y*x^n + z*y^n + x*z^n - (x*y^n + y*z^n + z*x^n) =
= x^n (y-z) -x (y^n-z^n) + (z*y^n-y*z^n)
O truque eh mostrar que as unicas raizes reais deste polinomio em x sao de
fato x=y e x=z.
Se voce quer soh solucoes positivas, um jeito de mostrar isso eh dividir
f(x) por (x-y)(x-z)(y-z) e notar que o polinomio (HORRIVEL) que fica tem
todos os coeficientes positivos Assim, nao ha como ter raizes positivas
dele. Deve ter um jeito mais facil de mostrar que f(x) eh (crescente e)
positivo para x>y sem calculo, mas eu nao achei ainda.
Usando calculo, eu termino a questao um pouco mais facil. Repito, a solucao
a seguir serve se n eh par OU se limitamo-nos a x,y,z>0.
f'(x) = n*x^(n-1)(y-z)-(y^n-z^n)
f''(x)=n(n-1)x^(n-2)(y-z)
Se n=1, eh claro que f(x)=0 e qualquer terna (x,y,z) satisfaz a equacao
dada.
Senao, se n for par OU se a gente olhar apenas no intervalo x \in (0,+INF)
dah para ver entao que f''>0 e portanto a funcao f eh convexa! Assim, f tem
no maximo duas raizes (voce podia tambem usar o Teorema de Rolle direto de
notar que f'(x)=0 soh tem uma raiz, dah no mesmo). Como x=y e x=z sao duas
raizes de f(x), concluimos que sao as unicas. Assim, as unicas raizes reais
de f sao as dadas acima.
---///---
Este raciocinio todo fura se n for impar E a gente tiver que achar raizes
reais onde uma ou mais variaveis possam ser negativas! Neste caso, o
problema eh nao trivial; creio eu que o enunciado original deveria ter algo
mais a esse respeito. Soh para ter uma ideia de como a coisa complica se
voce permitir n impar E respostas negativas:
i) Para n=3, eh facil fatorar f(x)=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z); assim, alem das
raizes x=y, x=z ou y=z, tambem temos qualquer terna que satisfaca x+y+z=0 (e
aqui pelo menos um dentre x, y ou z tem de ser nao positivo).
ii) Para n=5, fatore f em
(x-y)(y-z)(z-x)((x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+xyz)
Os tres primeiros termos sao os esperados, e o terceiro nao tem raizes se x,
y e z forem nao negativos. Mas se eles podem ser negativos bom, a
equacao
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+xyz=0
define uma superficie muito doida no R^3, que eu ateh plotei aqui no meu
Maple da vida Assim, HA solucoes sim, e nao dah para escreve-las dum
jeito bonitinho (que eu saiba).
iii) Para n=7,9,11, etc... com solucoes negativas a coisa piora, entao eu
nem fiz. :)
Ajudou?
Abraco,
Ralph
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: 11/22/01 12:02 AM
Subject: Ternas (x,y,z)
Alguém pode resolver ou dar dicas para a seguinte questão???
Dado um inteiro positivo n, achar todas as ternas (x,y,z) de números
reais
tais que
y*x^n + z*y^n + x*z^n = x*y^n + y*z^n + z*x^n
[]'s, Yuri
ICQ: 64992515
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-Original Message-
From: Paulo Santa Rita
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: 11/22/01 2:29 PM
Subject: Re: Ternas (x,y,z)
Ola Yuri e demais
colegas desta lista,
Se N=1, evidentemente qualquer terna (x,y,z) de numeros reais satisfaz a
equacao. Se N > 1, a equacao pode ser colocada como um produto escalar,
da
seguinte forma :
(y,z,x).(x^N,y^N,z^N)=(x,y,z).(y^N,z^N,x^N)
Agora, note o seguinte :
1) Como todos os modulos ( norma euclidiana ) sao iguais, segue portanto
que
o produto sera igual se os angulos entre os vetores que estao sendo
multiplicados forem iguais ou somarem 360 graus.
2) A funcao que e aplicada de um membro para o outro e :
T(y,z,x)=(x,y,z).
Esta funcao, alem de ser biunivoca e portanto admitir uma inversa
corresponde a uma operacao geometrica ( com os eixos coordenados ) bem
definida.
Salvo por um melhor juizo dos demais colegas e Professores, EU ACHO que
com
estas dicas a questao fica resolvida.
Um abraco pra voce
Paulo Santa Rita
5,1526,221101
>From: [EMAIL PROTECTED]
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Ternas (x,y,z)
>Date: Thu, 22 Nov 2001 01:02:21 -0200
>
> Alguém pode resolver ou dar dicas para a seguinte questão???
>
> Dado um inteiro positivo n, achar todas as ternas (x,y,z) de números
>reais
>tais que
> y*x^n + z*y^n + x*z^n = x*y^n + y*z^n + z*x^n
>
>[]'s, Yuri
>ICQ: 64992515
>
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