Re: 2 de geometria
A primeira parece um problema da olimpiada estadual do RJ antiga..mas acho que ela pedia para determinar o comprimento da paralela compreendida entre os lados. É fácil ver que os três triangulos formados são semelhantes ao inicial...acho que sai por aí...vou entar. abraços M. From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: 2 de geometria Date: Wed, 28 Nov 2001 01:50:14 -0200 Aqueles que quiserem uma figurinha, podem me pedir, eu tenho aqui. Pela recente mesngame do volume de óleo já vi q é possível mandar anexos, mas antes gostaria de saber qual a política oficial da lista com respeito a anexos. Nicolau, por favor... Alexandre Tessarollo wrote: Ao povo q gosta de gemetria, seguem duas. A primeira foi um aluno que me passou, tirada de um livro de segundo grau das antigas (Exercícios de Gemetria Plana, do Edgar de Alencar Filho). A outra acho q até já postei aqui, não tenho certeza. Mas tirei de outra lista. Vamos a elas: 1) Por um ponto P interno a um triângulo ABC traçam-se a rretas paralelas aos seus lados, que o decompõem em seis partes, três das quais triângulos de área S[1], S[2] e S[3]. Achar a área do triângulo ABC. Eu até tenho a respoata, mas ainda não sei como chegar nela. 2) Tome um pentágomno qualquer ABCDE e as retas suportes dos lados. Note que elas detrminam um triângulo em cima de cada lado do pentágono. Construa as circunferências circunscritas a esse triângulos. Note que as circunferências de lados adjacentes se interceptam duas a duas em dois pontos: um dos vértices do pentágono e outro. Chamemos esses outros pontos convenietemente de A', B', C', D' e E'. Prove que A', B', C', D' e E' pertencem a uma mesma circunferência. Não lembro de qual das n! listas que tirei esta questão, mas lembro q mencionava uma relação não confirmada a algum político chinês recente. Não sei se teria sido este chinês a formular ou se foi devido a ele que o prob ficou conhecido. Seria uma caso similar ao problema do cavalo do presidente, né Nicolau? :0))) []'s Alexandre Tessarollo _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Não deveria existir multiplicação por 0
On Tue, Nov 27, 2001 at 06:30:54PM -0200, Felipe Pina wrote: cuidado, 0^0 nao eh igual a 1 ! isso eh uma indeterminacao! ( assim como 0/0 tbm o é ) A definição usual é 0^0 = 1. Uma operação pode estar definida ou não, não faz sentido dizer que o resultado de uma operação é uma indeterminação. O que o Felipe parece ter em mente é o seguinte resultado de cálculo: Sejam a_n e b_n duas seqüencias de números reais; suponha ainda a_n 0 para todo n. Se lim a_n = A 0 e lim b_n = B então lim (a_n ^ b_n) = A^B Se lim a_n = A = 0 e lim b_n = B 0 então lim (a_n ^ b_n) = A^B = 0^B Se lim a_n = A = 0 e lim b_n = B 0 então lim (a_n ^ b_n) = (+ infinito) Se lim a_n = A = 0 e lim b_n = B = 0 então tudo pode acontecer com a seqüência c_n = (a_n ^ b_n): * pode acontecer que lim c_n = 0 * pode acontecer que lim c_n = (+ infinito) * pode acontecer que lim c_n = (qualquer número real positivo) * pode acontecer que a seqüência c_n não tenha limite (sequer +infinito), ou seja, pode acontecer lim sup c_n = C+ e lim inf c_n = C- para quaiquer 0 = C- = C+ = (+ infinito). Note a semelhança com a situação em que dividimos duas seqs que tendem para 0. Apesar disso, repetindo, a definição usual é 0^0 = 1. Já 0/0 usualmente é considerado não definido. []s, N.
Fase Regional Bahia.
Caros(as) amigos(as) da lista, Ja esta publicado na nossa home-page o resultado da 15a. Olimpiada de Matematica - Fase Regional Bahia. Abracos, Nelly.
Re: Não deveria existir multiplicação por 0
queria saber pq a definição de algo infinito é dado por 0/0, que todos falam que é um 8 deitado e cortado. Nicolau C. Saldanha wrote: On Tue, Nov 27, 2001 at 06:30:54PM -0200, Felipe Pina wrote: cuidado, 0^0 nao eh igual a 1 ! isso eh uma indeterminacao! ( assim como 0/0 tbm o é ) A definição usual é 0^0 = 1. Uma operação pode estar definida ou não, não faz sentido dizer que o resultado de uma operação é uma indeterminação. O que o Felipe parece ter em mente é o seguinte resultado de cálculo: Sejam a_n e b_n duas seqüencias de números reais; suponha ainda a_n 0 para todo n. Se lim a_n = A 0 e lim b_n = B então lim (a_n ^ b_n) = A^B Se lim a_n = A = 0 e lim b_n = B 0 então lim (a_n ^ b_n) = A^B = 0^B Se lim a_n = A = 0 e lim b_n = B 0 então lim (a_n ^ b_n) = (+ infinito) Se lim a_n = A = 0 e lim b_n = B = 0 então tudo pode acontecer com a seqüência c_n = (a_n ^ b_n): * pode acontecer que lim c_n = 0 * pode acontecer que lim c_n = (+ infinito) * pode acontecer que lim c_n = (qualquer número real positivo) * pode acontecer que a seqüência c_n não tenha limite (sequer +infinito), ou seja, pode acontecer lim sup c_n = C+ e lim inf c_n = C- para quaiquer 0 = C- = C+ = (+ infinito). Note a semelhança com a situação em que dividimos duas seqs que tendem para 0. Apesar disso, repetindo, a definição usual é 0^0 = 1. Já 0/0 usualmente é considerado não definido. []s, N.
Um quadrado repartido
Olá. Alguem pode me ajudar a encontrar a área do triângulo formado interno ao quadrado na figura anexa? E quanto à medida das semi-retas que cortam o quadrado (as bases menores dos trapézios formados, que sao iguais aos lados do triângulo)? Agradeço a ajuda, Ricardo Miranda M [EMAIL PROTECTED] attachment: triang.jpg
Problema do quadrado
Sobre o problema do quadrado que eu mandei a pouco, eu encontrei uma possivel solucao logo depois que enviei o email. Chamamos as remi retas que seccionam o quadrado de M. A que divide o quadrado ao meio (paralela aos lados), vale M, e o resto, até completar a base média, chamei de X. Entao faco pitagoras em: M^2 = (1/2)^2 + X^2 . Como M pode ser chamado de (1 - x), entao: (1-x)^2 = 1/4 + x^2 1 - 2x + x^2 = 1/4 + x^2 2x = 3/4 x = 3/8 Entao, M (semi-retas que seccionam o triangulo) vale 5/8 . Portanto a área do triangulo é 3/16, mas nao tenho certeza. Alguem pode confirmar para mim?
Re: Um quadrado repartido
| /| | x/ |1/2 | x/ | |--| | \ | |\ | | \| Espero que a figura satisfaça. Faça Pitágoras no triângulo retângulo da direita acima.Daí, x^2= (1/2)^2 + (1-x)^2 ... x=5/8 Aih a área fica fácil -- Mensagem original -- Olá. Alguem pode me ajudar a encontrar a área do triângulo formado interno ao quadrado na figura anexa? E quanto à medida das semi-retas que cortam o quadrado (as bases menores dos trapézios formados, que sao iguais aos lados do triângulo)? Agradeço a ajuda, Ricardo Miranda M [EMAIL PROTECTED] []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Um quadrado repartido
Ricardo Miranda wrote: Olá. Alguem pode me ajudar a encontrar a área do triângulo formado interno ao quadrado na figura anexa? E quanto à medida das semi-retas que cortam o quadrado (as bases menores dos trapézios formados, que sao iguais aos lados do triângulo)? Agradeço a ajuda, Ricardo Miranda M [EMAIL PROTECTED] Hum, na sua figura eu vou começar chamando de A o vértice superior esquerdo, B C e D os vértices seguintes. M é o ponto médio de AB e P é o ponto dentro de ABCD. Fazendo Pitágoras em AMD e BMC temos q MD=MC=sqrt(5)/2. Prolongue MP até o lado CD e determine um ponto Q em CD. Olhando para o triângulo retângulo MQC temo MQ=1, QC=1/2 e MC=sqrt(5)/2. Logo, cos(QMC)=2/sqrt(5). Seja MP=PC=x. Aplicando lei dos cossenos em M no triângulo MPC, temos x=5/8, se eu não errei conta alguma. Agora, com tudo isso na mão, fica fácil. A segunda questão já foi respondida, é x=5/8. A primeira, basta aplicar Heron ou o seu método preferido e pronto: área de PCD = 3sqrt(2)/32. Afora ewventuais erros de conta, acredito q tudo esteja certo... Comentem... []'s Alexandre Tessarollo
