Re: RES: soma....
Chame S=x+x^2+ x^3+...+x^(k+1). Entao xS= x^2+ x^3+...+x^(k+1)+x^(k+2). Subtraindo: S-xS=(1-x)S=x-x^(k+2)=x(1-x^(k+1)). Logo: S =x(1-x^(k+1)) / (1-x) JP 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k eh a derivada de x+x^2+ x^3+...+x^(k+1) = x(1-x^(k+1)) / (1-x), Poderia me explicar esta última passagem? para x diferente de 1. Basta entao derivar o resultado. JP Valeu! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 30, 2001 10:55 PM Subject: soma Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar um insigth?? 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k Obrigado Ruy
Fw: Putnam 2001
Aqui estao as questoes do Putnam 2001. Ainda nao tive tempo para pensar em
todas. O autor desse email parece ser muito bom, mas mesmo assim ele disse
que ainda nao conseguiu fazer 3 questoes, como vcs podem ver ai em baixo.
Eu ja tentei fazer as questoes desde a A1 ateh A5. A A5 ainda me restam 6
valores de x para considerar, nao estou conseguindo elimina-los. As solucoes
para os problemas A eu achei na internet em algum lugar, nao me lembro
exatamente onde (putnam 2001 problems no google deve mostrar o site).
Descobri que eu deixei de considerar um caso importante na solucao do A3. A
minha solucao do A4 ficou meio grande, e deu resposta diferente da desse
site. Com certeza a minha esta errada, mas ainda nao achei aonde (eu fiz por
vetores, deu uma conta grande, mas diferente da que ta la).
O A5 eu ainda nao li a solucao. O A6 eu vou tentar agora, mas eh improvavel
eu obter algum avanco, haja vista que o autor do email ainda nao conseguiu
fazer. Se eu descobrir algo mando pra lista! Os 3 primeiros sao bem mais
faceis..
Tentem fazer tmb!
Os problemas B's eu tento outro dia :)
Eu nao estou cronometrando, mas acho que um dos principais obstaculos dessa
prova eh o tempo. Vc tem que pensar em 6 questoes no curto periodo de 3
horas.
Como curiosidade, um dos americanos que fecharam a IMO esse ano, ja foi
(antes de entrar para a universidade!) um fellow putnam, o q significa que
ele conseguiu ficar entre as 5 melhores pontuacoes individuais do putnam
(nao sei em q ano foi isso).
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, December 02, 2001 1:19 PM
Subject: Re: Putnam 2001
Here are the questions to the 62nd annual Putnam exam, held today
(Dec 1 2001). You have 6 hours; good luck :-)
I will post the answers I have as soon as I can type them up.
(Right now I lack answers to A6, B5, B6 .)
There are links to Putnam problems and solutions at
http://www.math.niu.edu/~rusin/problems-math/
A1. Consider a set S and a binary operation * on S (that is, for
each a, b in S, a*b is in S). Assume that (a*b)*a = b for all
a, b in S. Prove that a*(b*a) =b for all a, b in S.
A2. You have coins C1, C2, ..., C_n. For each k, coin C_k is biased
so that, when tossed, it has probability 1/(2k+1) of falling heads.
If the n coins are tossed, what is the probability that the
number of heads is odd? Express the answer as a rational function of n.
A3. For each integer m, consider the polynomial
P_m(x) = x^4 - (2m+4) x^2 + (m-2)^2
For what values of m is P_m(x) the product of two nonconstant
polynomials with integer coefficients?
A4. Triangle ABC has area 1. Points E,F,G lie, respectively, on
sides BC, CA, AB such that AE bisects BF at point R,
BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T.
Find the area of triangle RST.
[Illustration deleted.]
A5. Prove that there are unique positive integers a, n such that
a^(n+1) - (a+1)^n = 2001.
A6. Can an arc of a parabola inside a circle of radius 1 have length
greater than 4 ?
B1. Let n be an even positive integer. Write the numbers 1, 2, ..., n^2
in the squares of an n x n grid so that the k-th row, from left to
right, is
(k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ..., (k-1)n + n.
Color the squares of the grid so that half of the squares in each row
and in each column are red and the other half are black (a checkerboard
coloring is one possibility). Prove that for each such coloring, the
sum of the numbers on the red squares is equal to the sum of the numbers
on the black squares.
B2. Find all pairs of real numbers (x,y) satisfying the system of
equations
1/x + 1/(2y) = (x^2 + 3 y^2) ( 3 x^2 + y^2 )
1/x - 1/(2y) = 2(y^4 - x^4)
B3. For any positive integer n let n denote the closest integer
to sqrt(n). Evaluate
\sum_{n=1}^{\infty} ( 2^{n} + 2^{-n} ) / 2^n
B4. Let S denote the set of rational numbers different from -1, 0, and
1.
Define f : S -- S by f(x) = x - 1/x . Prove or disprove that
\intersect_{n=1}^{\infty} f^(n) (S) = \emptyset,
where f^(n) = f o f o ... o f (n times).
(Note: f(S) denotes the set of all values f(s) for s \in S. )
B5. Let a and b be real numbers in the interval (0, 1/2) and
let g be a continuous real-valued function such that
g(g(x)) = a g(x) + b x for all real x. Prove that g(x) = c x for
some constant c.
B6. Assume that (a_n)_{n = 1} is an increasing sequence of positive
real numbers such that lim_{n-\infty} a_n / n = 0. Must there
exist infinitely many positive integers n such that
a_{n-i} + a_{n+i} 2 a_n for i = 1, 2, ..., n-1 ?
Re: RES: soma....
Usando essa mesma tática da multiplicação, eu resolveria o problema sem derivada (o que pode parecer meio burro, mas é bom mostrar que cálculo ajuda muito mas há uma saída diferente por meios mais fáceis para o Ensino Médio) Fica assim: S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... + (k+1)x^k xS = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + kx^k.Daí: (S-xS) = (1-x)S = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^k Teremos : (1-x)Sx = x + x^2 + x^3 + ... + x^k + x^(k+1) Teremos, subtraindo novamente: (1-x)S - (1-x)Sx = (1-x)S(1-x) = 1 - x^(k+1) E então teremos S = (1 - x^k+1) / ((1-x)(1-x)) -- Mensagem original -- Chame S=x+x^2+ x^3+...+x^(k+1). Entao xS= x^2+ x^3+...+x^(k+1)+x^(k+2). Subtraindo: S-xS=(1-x)S=x-x^(k+2)=x(1-x^(k+1)). Logo: S =x(1-x^(k+1)) / (1-x) JP 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k eh a derivada de x+x^2+ x^3+...+x^(k+1) = x(1-x^(k+1)) / (1-x), Poderia me explicar esta última passagem? para x diferente de 1. Basta entao derivar o resultado. JP Valeu! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 30, 2001 10:55 PM Subject: soma Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar um insigth?? 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k Obrigado Ruy -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Programa para achar nºs primos ...
Alguem sabe em q site posso baixar o prog q ''caça'' nº primos ? []s
Re: Re: RES: soma....
Faltou uma parcela no xS. [EMAIL PROTECTED] wrote: [EMAIL PROTECTED]"> Usando essa mesma ttica da multiplicao, eu resolveria o problema semderivada (o que pode parecer meio burro, mas bom mostrar que clculo ajudamuito mas h uma sada diferente por meios mais fceis para o Ensino Mdio)Fica assim:S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... + (k+1)x^kxS = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + kx^k.Da:(S-xS) = (1-x)S = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^kTeremos : (1-x)Sx = x + x^2 + x^3 + ... + x^k + x^(k+1)Teremos, subtraindo novamente:(1-x)S - (1-x)Sx = (1-x)S(1-x) = 1 - x^(k+1)E ento teremos S = (1 - x^k+1) / ((1-x)(1-x))-- Mensagem original -- Chame S=x+x^2+ x^3+...+x^(k+1). Entao xS= x^2+ x^3+...+x^(k+1)+x^(k+2).Subtraindo:S-xS=(1-x)S=x-x^(k+2)=x(1-x^(k+1)).Logo: S =x(1-x^(k+1)) / (1-x)JP 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^keh a derivada dex+x^2+ x^3+...+x^(k+1) = x(1-x^(k+1)) / (1-x), Poderia me explicar esta ltima passagem? para x diferente de 1.Basta entao derivar o resultado. JP Valeu!- Original Message -From: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Friday, November 30, 2001 10:55 PMSubject: somaFiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia meemprestar um insigth??1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k ObrigadoRuy --Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Fw: Putnam 2001
Oi,
O que é Putnam? É tipo uma imo?
From: Marcio [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Fw: Putnam 2001
Date: Sun, 2 Dec 2001 15:26:30 -0200
Aqui estao as questoes do Putnam 2001. Ainda nao tive tempo para pensar em
todas. O autor desse email parece ser muito bom, mas mesmo assim ele disse
que ainda nao conseguiu fazer 3 questoes, como vcs podem ver ai em baixo.
Eu ja tentei fazer as questoes desde a A1 ateh A5. A A5 ainda me restam 6
valores de x para considerar, nao estou conseguindo elimina-los. As
solucoes
para os problemas A eu achei na internet em algum lugar, nao me lembro
exatamente onde (putnam 2001 problems no google deve mostrar o site).
Descobri que eu deixei de considerar um caso importante na solucao do A3. A
minha solucao do A4 ficou meio grande, e deu resposta diferente da desse
site. Com certeza a minha esta errada, mas ainda nao achei aonde (eu fiz
por
vetores, deu uma conta grande, mas diferente da que ta la).
O A5 eu ainda nao li a solucao. O A6 eu vou tentar agora, mas eh improvavel
eu obter algum avanco, haja vista que o autor do email ainda nao conseguiu
fazer. Se eu descobrir algo mando pra lista! Os 3 primeiros sao bem mais
faceis..
Tentem fazer tmb!
Os problemas B's eu tento outro dia :)
Eu nao estou cronometrando, mas acho que um dos principais obstaculos dessa
prova eh o tempo. Vc tem que pensar em 6 questoes no curto periodo de 3
horas.
Como curiosidade, um dos americanos que fecharam a IMO esse ano, ja foi
(antes de entrar para a universidade!) um fellow putnam, o q significa que
ele conseguiu ficar entre as 5 melhores pontuacoes individuais do putnam
(nao sei em q ano foi isso).
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, December 02, 2001 1:19 PM
Subject: Re: Putnam 2001
Here are the questions to the 62nd annual Putnam exam, held today
(Dec 1 2001). You have 6 hours; good luck :-)
I will post the answers I have as soon as I can type them up.
(Right now I lack answers to A6, B5, B6 .)
There are links to Putnam problems and solutions at
http://www.math.niu.edu/~rusin/problems-math/
A1. Consider a set S and a binary operation * on S (that is, for
each a, b in S, a*b is in S). Assume that (a*b)*a = b for all
a, b in S. Prove that a*(b*a) =b for all a, b in S.
A2. You have coins C1, C2, ..., C_n. For each k, coin C_k is
biased
so that, when tossed, it has probability 1/(2k+1) of falling heads.
If the n coins are tossed, what is the probability that the
number of heads is odd? Express the answer as a rational function of n.
A3. For each integer m, consider the polynomial
P_m(x) = x^4 - (2m+4) x^2 + (m-2)^2
For what values of m is P_m(x) the product of two nonconstant
polynomials with integer coefficients?
A4. Triangle ABC has area 1. Points E,F,G lie, respectively, on
sides BC, CA, AB such that AE bisects BF at point R,
BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T.
Find the area of triangle RST.
[Illustration deleted.]
A5. Prove that there are unique positive integers a, n such that
a^(n+1) - (a+1)^n = 2001.
A6. Can an arc of a parabola inside a circle of radius 1 have length
greater than 4 ?
B1. Let n be an even positive integer. Write the numbers 1, 2, ...,
n^2
in the squares of an n x n grid so that the k-th row, from left to
right, is
(k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ..., (k-1)n + n.
Color the squares of the grid so that half of the squares in each row
and in each column are red and the other half are black (a checkerboard
coloring is one possibility). Prove that for each such coloring, the
sum of the numbers on the red squares is equal to the sum of the numbers
on the black squares.
B2. Find all pairs of real numbers (x,y) satisfying the system of
equations
1/x + 1/(2y) = (x^2 + 3 y^2) ( 3 x^2 + y^2 )
1/x - 1/(2y) = 2(y^4 - x^4)
B3. For any positive integer n let n denote the closest integer
to sqrt(n). Evaluate
\sum_{n=1}^{\infty} ( 2^{n} + 2^{-n} ) / 2^n
B4. Let S denote the set of rational numbers different from -1, 0, and
1.
Define f : S -- S by f(x) = x - 1/x . Prove or disprove that
\intersect_{n=1}^{\infty} f^(n) (S) = \emptyset,
where f^(n) = f o f o ... o f (n times).
(Note: f(S) denotes the set of all values f(s) for s \in S. )
B5. Let a and b be real numbers in the interval (0, 1/2) and
let g be a continuous real-valued function such that
g(g(x)) = a g(x) + b x for all real x. Prove that g(x) = c x for
some constant c.
B6. Assume that (a_n)_{n = 1} is an increasing sequence of positive
real numbers such that lim_{n-\infty} a_n / n = 0. Must there
exist infinitely many positive integers n such that
a_{n-i} + a_{n+i} 2 a_n for i = 1, 2, ..., n-1 ?
Re: Fw: Putnam 2001
E uma competiçao para alunos do ciclo basico de universidades dos EUA e
Canada. Para vergonha dos matematicos, em geral os vencedores se tornam
medicos ou advogados.
Fernanda Medeiros wrote:
Oi,
O que é Putnam? É tipo uma imo?
From: Marcio [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Fw: Putnam 2001
Date: Sun, 2 Dec 2001 15:26:30 -0200
Aqui estao as questoes do Putnam 2001. Ainda nao tive tempo para
pensar em
todas. O autor desse email parece ser muito bom, mas mesmo assim ele
disse
que ainda nao conseguiu fazer 3 questoes, como vcs podem ver ai em
baixo.
Eu ja tentei fazer as questoes desde a A1 ateh A5. A A5 ainda me
restam 6
valores de x para considerar, nao estou conseguindo elimina-los. As
solucoes
para os problemas A eu achei na internet em algum lugar, nao me lembro
exatamente onde (putnam 2001 problems no google deve mostrar o site).
Descobri que eu deixei de considerar um caso importante na solucao do
A3. A
minha solucao do A4 ficou meio grande, e deu resposta diferente da desse
site. Com certeza a minha esta errada, mas ainda nao achei aonde (eu
fiz por
vetores, deu uma conta grande, mas diferente da que ta la).
O A5 eu ainda nao li a solucao. O A6 eu vou tentar agora, mas eh
improvavel
eu obter algum avanco, haja vista que o autor do email ainda nao
conseguiu
fazer. Se eu descobrir algo mando pra lista! Os 3 primeiros sao bem mais
faceis..
Tentem fazer tmb!
Os problemas B's eu tento outro dia :)
Eu nao estou cronometrando, mas acho que um dos principais obstaculos
dessa
prova eh o tempo. Vc tem que pensar em 6 questoes no curto periodo de 3
horas.
Como curiosidade, um dos americanos que fecharam a IMO esse ano, ja foi
(antes de entrar para a universidade!) um fellow putnam, o q
significa que
ele conseguiu ficar entre as 5 melhores pontuacoes individuais do putnam
(nao sei em q ano foi isso).
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, December 02, 2001 1:19 PM
Subject: Re: Putnam 2001
Here are the questions to the 62nd annual Putnam exam, held today
(Dec 1 2001). You have 6 hours; good luck :-)
I will post the answers I have as soon as I can type them up.
(Right now I lack answers to A6, B5, B6 .)
There are links to Putnam problems and solutions at
http://www.math.niu.edu/~rusin/problems-math/
A1. Consider a set S and a binary operation * on S (that is, for
each a, b in S, a*b is in S). Assume that (a*b)*a = b for all
a, b in S. Prove that a*(b*a) =b for all a, b in S.
A2. You have coins C1, C2, ..., C_n. For each k, coin C_k is
biased
so that, when tossed, it has probability 1/(2k+1) of falling heads.
If the n coins are tossed, what is the probability that the
number of heads is odd? Express the answer as a rational function
of n.
A3. For each integer m, consider the polynomial
P_m(x) = x^4 - (2m+4) x^2 + (m-2)^2
For what values of m is P_m(x) the product of two nonconstant
polynomials with integer coefficients?
A4. Triangle ABC has area 1. Points E,F,G lie, respectively, on
sides BC, CA, AB such that AE bisects BF at point R,
BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T.
Find the area of triangle RST.
[Illustration deleted.]
A5. Prove that there are unique positive integers a, n such that
a^(n+1) - (a+1)^n = 2001.
A6. Can an arc of a parabola inside a circle of radius 1 have length
greater than 4 ?
B1. Let n be an even positive integer. Write the numbers 1, 2,
..., n^2
in the squares of an n x n grid so that the k-th row, from left to
right, is
(k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ..., (k-1)n + n.
Color the squares of the grid so that half of the squares in each row
and in each column are red and the other half are black (a
checkerboard
coloring is one possibility). Prove that for each such coloring, the
sum of the numbers on the red squares is equal to the sum of the
numbers
on the black squares.
B2. Find all pairs of real numbers (x,y) satisfying the system of
equations
1/x + 1/(2y) = (x^2 + 3 y^2) ( 3 x^2 + y^2 )
1/x - 1/(2y) = 2(y^4 - x^4)
B3. For any positive integer n let n denote the closest integer
to sqrt(n). Evaluate
\sum_{n=1}^{\infty} ( 2^{n} + 2^{-n} ) / 2^n
B4. Let S denote the set of rational numbers different from -1,
0, and
1.
Define f : S -- S by f(x) = x - 1/x . Prove or disprove that
\intersect_{n=1}^{\infty} f^(n) (S) = \emptyset,
where f^(n) = f o f o ... o f (n times).
(Note: f(S) denotes the set of all values f(s) for s \in S. )
B5. Let a and b be real numbers in the interval (0, 1/2) and
let g be a continuous real-valued function such that
g(g(x)) = a g(x) + b x for all real x. Prove that g(x) = c x for
some constant c.
B6. Assume that
Re: Re: RES: soma....
Ih. tá certo... na pressa esqueci de botar este último fator, o que fez com que a resposta ficasse diferente... (eu só notei isso depois de mandar... mas não achei o erro e fiquei por isso mesmo) Acho que foi o costume de se lidar com séries infinitas que fez isso, pois se fosse infinita com -1x1 estava certo... Agradeço a correção e até mais -- Mensagem original -- Faltou uma parcela no xS. [EMAIL PROTECTED] wrote: Usando essa mesma tática da multiplicação, eu resolveria o problema sem derivada (o que pode parecer meio burro, mas é bom mostrar que cálculo ajuda muito mas há uma saída diferente por meios mais fáceis para o Ensino Médio) Fica assim: S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... + (k+1)x^k xS = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + kx^k.Daí: (S-xS) = (1-x)S = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^k Teremos : (1-x)Sx = x + x^2 + x^3 + ... + x^k + x^(k+1) Teremos, subtraindo novamente: (1-x)S - (1-x)Sx = (1-x)S(1-x) = 1 - x^(k+1) E então teremos S = (1 - x^k+1) / ((1-x)(1-x)) -- Mensagem original -- Chame S=x+x^2+ x^3+...+x^(k+1). Entao xS= x^2+ x^3+...+x^(k+1)+x^(k+2). Subtraindo: S-xS=(1-x)S=x-x^(k+2)=x(1-x^(k+1)). Logo: S =x(1-x^(k+1)) / (1-x) JP 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k eh a derivada de x+x^2+ x^3+...+x^(k+1) = x(1-x^(k+1)) / (1-x), Poderia me explicar esta última passagem? para x diferente de 1. Basta entao derivar o resultado. JP Valeu! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 30, 2001 10:55 PM Subject: soma Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar um insigth?? 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k Obrigado Ruy -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: RES: soma....
A sua observacao eh excelente! Faltou uma parcela, como o Morgado ja observou. (S-xS) = (1-x)S = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^k -(k+1)x^(k+1). Eh so fazer este conserto e seguir o seu raciocinio. JP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 02, 2001 4:38 PM Subject: Re: RES: soma Usando essa mesma tática da multiplicação, eu resolveria o problema sem derivada (o que pode parecer meio burro, mas é bom mostrar que cálculo ajuda muito mas há uma saída diferente por meios mais fáceis para o Ensino Médio) Fica assim: S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... + (k+1)x^k xS = x + 2x^2 + 3x^3 + ... + kx^k.Daí: (S-xS) = (1-x)S = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^k Teremos : (1-x)Sx = x + x^2 + x^3 + ... + x^k + x^(k+1) Teremos, subtraindo novamente: (1-x)S - (1-x)Sx = (1-x)S(1-x) = 1 - x^(k+1) E então teremos S = (1 - x^k+1) / ((1-x)(1-x)) -- Mensagem original -- Chame S=x+x^2+ x^3+...+x^(k+1). Entao xS= x^2+ x^3+...+x^(k+1)+x^(k+2). Subtraindo: S-xS=(1-x)S=x-x^(k+2)=x(1-x^(k+1)). Logo: S =x(1-x^(k+1)) / (1-x) JP 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k eh a derivada de x+x^2+ x^3+...+x^(k+1) = x(1-x^(k+1)) / (1-x), Poderia me explicar esta última passagem? para x diferente de 1. Basta entao derivar o resultado. JP Valeu! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 30, 2001 10:55 PM Subject: soma Fiz esse exercicio mas ficou muito grandealguem ai poderia me emprestar um insigth?? 1+ 2x + 3x^2+4x^3++ (k+1)x^k Obrigado Ruy -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Fw: Putnam 2001
Voce poderah encontrar tudo sobre o Putnam (o cara) e a Putnam (a
competicao) em:
http://www.math.ufl.edu/dept_news_events/honors/putnam.html
- Original Message -
From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, December 02, 2001 5:43 PM
Subject: Re: Fw: Putnam 2001
Oi,
O que é Putnam? É tipo uma imo?
From: Marcio [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Fw: Putnam 2001
Date: Sun, 2 Dec 2001 15:26:30 -0200
Aqui estao as questoes do Putnam 2001. Ainda nao tive tempo para pensar em
todas. O autor desse email parece ser muito bom, mas mesmo assim ele disse
que ainda nao conseguiu fazer 3 questoes, como vcs podem ver ai em baixo.
Eu ja tentei fazer as questoes desde a A1 ateh A5. A A5 ainda me restam 6
valores de x para considerar, nao estou conseguindo elimina-los. As
solucoes
para os problemas A eu achei na internet em algum lugar, nao me lembro
exatamente onde (putnam 2001 problems no google deve mostrar o site).
Descobri que eu deixei de considerar um caso importante na solucao do A3. A
minha solucao do A4 ficou meio grande, e deu resposta diferente da desse
site. Com certeza a minha esta errada, mas ainda nao achei aonde (eu fiz
por
vetores, deu uma conta grande, mas diferente da que ta la).
O A5 eu ainda nao li a solucao. O A6 eu vou tentar agora, mas eh improvavel
eu obter algum avanco, haja vista que o autor do email ainda nao conseguiu
fazer. Se eu descobrir algo mando pra lista! Os 3 primeiros sao bem mais
faceis..
Tentem fazer tmb!
Os problemas B's eu tento outro dia :)
Eu nao estou cronometrando, mas acho que um dos principais obstaculos dessa
prova eh o tempo. Vc tem que pensar em 6 questoes no curto periodo de 3
horas.
Como curiosidade, um dos americanos que fecharam a IMO esse ano, ja foi
(antes de entrar para a universidade!) um fellow putnam, o q significa que
ele conseguiu ficar entre as 5 melhores pontuacoes individuais do putnam
(nao sei em q ano foi isso).
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, December 02, 2001 1:19 PM
Subject: Re: Putnam 2001
Here are the questions to the 62nd annual Putnam exam, held today
(Dec 1 2001). You have 6 hours; good luck :-)
I will post the answers I have as soon as I can type them up.
(Right now I lack answers to A6, B5, B6 .)
There are links to Putnam problems and solutions at
http://www.math.niu.edu/~rusin/problems-math/
A1. Consider a set S and a binary operation * on S (that is, for
each a, b in S, a*b is in S). Assume that (a*b)*a = b for all
a, b in S. Prove that a*(b*a) =b for all a, b in S.
A2. You have coins C1, C2, ..., C_n. For each k, coin C_k is
biased
so that, when tossed, it has probability 1/(2k+1) of falling heads.
If the n coins are tossed, what is the probability that the
number of heads is odd? Express the answer as a rational function of n.
A3. For each integer m, consider the polynomial
P_m(x) = x^4 - (2m+4) x^2 + (m-2)^2
For what values of m is P_m(x) the product of two nonconstant
polynomials with integer coefficients?
A4. Triangle ABC has area 1. Points E,F,G lie, respectively, on
sides BC, CA, AB such that AE bisects BF at point R,
BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T.
Find the area of triangle RST.
[Illustration deleted.]
A5. Prove that there are unique positive integers a, n such that
a^(n+1) - (a+1)^n = 2001.
A6. Can an arc of a parabola inside a circle of radius 1 have length
greater than 4 ?
B1. Let n be an even positive integer. Write the numbers 1, 2, ...,
n^2
in the squares of an n x n grid so that the k-th row, from left to
right, is
(k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ..., (k-1)n + n.
Color the squares of the grid so that half of the squares in each row
and in each column are red and the other half are black (a checkerboard
coloring is one possibility). Prove that for each such coloring, the
sum of the numbers on the red squares is equal to the sum of the numbers
on the black squares.
B2. Find all pairs of real numbers (x,y) satisfying the system of
equations
1/x + 1/(2y) = (x^2 + 3 y^2) ( 3 x^2 + y^2 )
1/x - 1/(2y) = 2(y^4 - x^4)
B3. For any positive integer n let n denote the closest integer
to sqrt(n). Evaluate
\sum_{n=1}^{\infty} ( 2^{n} + 2^{-n} ) / 2^n
B4. Let S denote the set of rational numbers different from -1, 0, and
1.
Define f : S -- S by f(x) = x - 1/x . Prove or disprove that
\intersect_{n=1}^{\infty} f^(n) (S) = \emptyset,
where f^(n) = f o f o ... o f (n times).
(Note: f(S) denotes the set of all values f(s) for s \in S. )
B5. Let a and b be real numbers in the interval (0, 1/2) and
let g be a continuous real-valued function such that
g(g(x)) = a g(x) + b x for all real x. Prove that g(x) = c x for
