Re: limites - so na geometria e teorema do confronto
Vejo que, de fato, nao fui bem claro. A questao eh a seguinte: O caminho usual do ensino medio (e ateh dos cursos de graduacao) eh 1) Deduzir que lim senx / x = 1 quando x tende a 0, por um argumento do tipo deste abaixo, do Eduardo. Este argumento eh usado (acertadamente) porque a nossa definicao usual de seno, no ensino medio, eh uma definicao visual: dado um numero real x, marca-se este ponto na reta numerica; enrola-se esta reta no circulo unitario, de modo que o 0 da reta coincida com ponto (1;0) do circulo, e o pi da reta coincida com o ponto (-1;0). Feito isto, o ponto x da reta vai coincidir com um certo (a;b); entao cos x=a e sen x=b. Naturalmente, com este tipo de definicao, so podemos usar argumentos geometrico-visuais. (Ja sei que alguem vai falar em seno de angulo, em medidas de angulo em unidades babilonicas , etc. Tudo isto eh redutivel a definicao apresentada acima.) 2) A partir dahi, deduz-se a derivada do seno (nao estava me referindo so a derivada em x=0): [sen(x+h)-sen x ]/h = 2 sen(h/2) cos(x+ h/2) /h - cos x (quando h-0), porque admite-se que a funcao cosseno eh continua em x (em geral chutado ou esquecido), e que sen(h/2)/(h/2) tende a 0, pela deducao anterior. 3) Agora posso aplicar L'Hopital quando for valido e quando envolver seno. 4) Em particular, utilizando a formula de Taylor (ou melhor, o Teorema de Taylor), pode-se deduzir a serie de potencias usual para seno. Claro que existem outros caminhos. Um deles eh definir seno por serie de potencias. Lembro que, neste caso, temos que esquecer a definicao do ensino medio de seno, temos que redefinir pi, em seguida manter a respiracao presa ateh que, por uma serie de argumentos posteriores, se mostre que tudo isto equivale a definicao tradicional, para ser digno de ser chamado de seno. Outro caminho eh por integral. Pode-se por exemplo, partir da integral de 1 sobre raiz de 1-t^2 entre 0 e x, depois tomar a inversa, estender por periodicidade, etc. (isto eh feito no livro de calculo do Spivak). Ou entao, partir da integral de 1/ 1+t^2, e comecar pela tangente (isto eh um exercicio do livro de calculo do Kitchen). Outro caminho ainda eh por equacoes diferenciais de segunda ordem. Definem-se duas funcoes c e s como as solucoes dos problemas y+y=0 com y(0)=1, y'(0)=0 e y+y=0 com y(0)=0, y'(0)=1 (naturalmente, usando teoremas de existencia de solucoes para estes problemas), e dai por diante (isto tem em variuos livros de Eq.Dif.). A todas estas solucoes alternativas aplica-se o que disse sobre a primeira: tem que esquecer a definicao classica, e comecar tudo de novo. Alias, sao exercicioos muito interessantes. Resumindo, eu estava me referindo ao caminho usual. Com a definicao (correta) usual de seno no ensino medio (veja Matematica do Ensino Medio, de Elon, Morgado, Wagner, Paulo Cezar), para saber que a derivada de seno eh cosseno, preciso saber antes que lim sen x / x =1, quando x tende a 0. JP Post-Scriptum: eu nao disse que so uso o que demonstro. Eu disse que so gosto de usar o que eu demonstro. As vezes sou obrigado a fazer o que eu nao gosto, como, por exemplo, usar o teorema de Stokes. JP - Original Message - From: Eduardo Azevedo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 11, 2001 3:08 AM Subject: Re: limites - so na geometria e teorema do confronto Da pra fazer esse limite, (sen x)/x, com x tende a zero so com geometria e o teorema do confronto. Fazendo a figura, em um ângulo pequeno, você vê que: sen x = x = tg x logo, dividindo tudo por sen x: 1 = x/senx = sec x lim 1 = lim(x/sen x) = lim(sec x) 1 = lim(x/sen x) = 1 logo lim(x/sen x) =1 - Original Message - From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 11, 2001 1:01 AM Subject: Re: limites From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de calcular o limite de sen(x)/x, qd x -0. Acho que basta usar a série para sen(x) : sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! - que para x -0, vai pra 1. Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas não deixa de não usar l`hôspital. Periga eu dizer besteiras. Eu acho que em grande parte dos livros, voce nao precisa de derivadas para definir series de potencias. Voce so precisa da definicao de limite e esclarecer o que significa a soma infinita. Um jeito eh: (a_1 + a_2 + a_3 + ... ) = lim(n-infinito) (a_1 + a_2 + ... + a_n) Para definir uma soma infinita de funcoes (como eh o caso do sen(x)) voce poe para cada x a soma infinita das funcoes naquele ponto x, e interessa a ordem das funcoes. Acho que o Jose Paulo quis dizer que para calcular lim(x-0) (sen(x)/x) utilizando a regra de L´Hopital, voce precisa saber calcular a derivada de sen(x) no ponto x=0. Por definicao: sen ' (0) = lim(h-0) (sen(0+h) - sen(h))/h) = lim(h-0) (sen(h)/h) Ou seja, voce ja precisa saber calcular
Re: limites
valeu Morgado e J. Paulo pelas respostas... já me ajudou bastante.
Se nao for pedir demais eu pediria q alguém pensasse numa soluçao pro
primeiro limite que nao usasse cálculo, pois ambos foram questões de ensino
médio...
- Original Message -
From: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 10, 2001 10:57 PM
Subject: Re: limites
cotg ^(1/log) eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x).
Quando x-0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos
a -infinito.
vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh
(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x - 1.
Logo o limite eh: 1/e
(se nao houver erro de conta)
Quanto ao segundo, uma variante, para variar:
a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1.
Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h- 0.
Substituindo h por 2x (por que vale?):
e^(2x)-1 / 2x tende a 1.
Logo e^(2x)-1 / x tende a 2.
[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos:
1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao de
derivada. exemplo:
sen x / x quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas como
voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x tende
a 1? alguem conhece um jeito?
2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que algum
dia demonstrei.
Ih, ja sei que vai dar polemica...]
JP
- Original Message -
From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM
Subject: Re: limites
confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana
e quanto à primeira vcs encontraram algo?
- Original Message -
From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PM
Subject: Re: limites
On Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
qual o limite das seguintes funções?
lim (cotgx)^(1/lnx)
x- 0
lim (e^2x -1)/x
x-0
Essa eu acho que sei:
lim{x-0} (e^2x - 1)/x =
lim{x-0} (e^2x)/x - 1/x =
lim{x-0} (e^2x)/x
Por L'Hopital (é assim que se escreve?)
= lim{x-0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) =
= 2
Confere?
Até mais
Vinciius
Re: ajuda
No h dvida de que foi linda. Mas, supondo o "sabemos que", bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED]"> Vou tentar uma sem usar clculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembrode 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra adesigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: limites
Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
004801c18246$1e23aa60$9b34f1c8@iver39ur48uh1m">
valeu Morgado e J. Paulo pelas respostas... j me ajudou bastante.Se nao for pedir demais eu pediria q algum pensasse numa soluao proprimeiro limite que nao usasse clculo, pois ambos foram questes de ensinomdio...- Original Message -From: "Jose Paulo Carneiro" [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Monday, December 10, 2001 10:57 PMSubject: Re: limitescotg ^(1/log) eh o inverso de tg^(1/log) = e^ln tg x / ln x.
VAMOS APROVEITAR A SOLUO DO JP. INTUITIVAMENTE, TEMOS A IMPRESSO DE QUE
O PARNTESES ACIMA TENDE PARA 1, PORQUE PARA X PRXIMO DE ZERO, TANX E X
SO AIG(OU SEJA, O QUOCIENTE TENDE A 1. PARA CONFERIR QUE ISSO VERDADE
BASTA FAZER
(ln tg x / ln x)-1=[LN(TANX/X)]/LNX. O NUMERADOR TENDE A LN1=0 E O DENOMINADOR TENDA A MENOS INFINITO. LOGO, ESTE LIMITE ZERO, OU SEJA, ln tg x / ln x TENDE A 1.
004801c18246$1e23aa60$9b34f1c8@iver39ur48uh1m">
Quando x-0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambosa -infinito.vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x - 1.Logo o limite eh: 1/e(se nao houver erro de conta)Quanto ao segundo, uma variante, para variar:a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1.Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h- 0.Substituindo h por 2x (por que vale?):e^(2x)-1 / 2x tende a 1.Logo e^(2x)-1 / x tende a 2.[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos:1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao dederivada. exemplo:sen x / x quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas comovoce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x tendea 1? alguem conhece um jeito?2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que algumdia demonstrei.Ih
, ja sei que vai dar polemica...]JP- Original Message -From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PMSubject: Re: limitesconfere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e julianae quanto primeira vcs encontraram algo?- Original Message -From: "Vinicius Jos Fortuna" [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PMSubject: Re: limitesOn Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
qual o limite das seguintes funes?lim (cotgx)^(1/lnx)x- 0lim (e^2x -1)/xx-0
Essa eu acho que sei:lim{x-0} (e^2x - 1)/x =lim{x-0} (e^2x)/x - 1/x =lim{x-0} (e^2x)/xPor L'Hopital ( assim que se escreve?)= lim{x-0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) == 2Confere?At maisVinciius
Re: limites
On Mon, 10 Dec 2001, Vinicius José Fortuna wrote:
lim (e^2x -1)/x
x-0
Essa eu acho que sei:
lim{x-0} (e^2x - 1)/x =
lim{x-0} (e^2x)/x - 1/x =
lim{x-0} (e^2x)/x
Por L'Hopital (é assim que se escreve?)
= lim{x-0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) =
= 2
Confere?
OPS! Não confere!
Os meus dois passos intermediários estão errados!
Considere apenas
lim{x-0} (e^2x - 1)/x =
lim{x-0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) =
= 2
Foi mal
Vinicius
Re: ajuda
On Mon, 10 Dec 2001, Eduardo Azevedo wrote: A área total da esfera é 4(pi)*r^2 o volume (4/3)pi*r^3 De onde vem isso: (volume da interseção)/(volume total) = (área da interseção)/(área total) ?? logo V=[(4/3)pi*r^3]*S/[4(pi)*r^2] V= 1/3 * SR Vinicius
Semana Olímpica
Oi. Alguém pode dizer se já foi decidido o local da próxima Semana Olímpica, quando será e quais serão os convidados? Se a discussão não for permitida na lista (Nelly e Nicolau, manifestem-se) podem mandar a resposta por e-mail quando for permitido? Obrigado, Bernardo -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
OBMU
Eu estava fazendo a questao 6 da 2º fase da OBMU e achei uma solucao, mas que usa praticamente so a borda, entao imaginei, haveria solucao se a questao fosse |p|1, sem a borda? Eu poderia considerar uma solucao analoga com os pontos tendendo à borda? Abraco, Carlos
Re: ajuda
Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ? Uma maneira é ver que a reta y = 1 + x é a reta tangente ao gráfico de y = e^x no ponto (0,1). De fato, tendo que y' = e^x (derivada de y = e^x ) representa o coeficiente angular da reta tangente no ponto (x,y), para o ponto (0,1) temos y'=1 e portanto a reta tangente que passa por (0,1) é dada por x = y -1 = y = 1 + x. Isto já conclui a demonstração, mas para ser mais preciso pode-se provar que todos os pontos diferentes de (0,1) são externos a y = e^x, para isto basta usar contradição, supondo que exista um ponto de y = 1 + x numa região onde y = e^x. Uma abraço e espero que isto tenha ajudado. http://www.ieg.com.br
Re: ajuda
No embalo do que o JP disse, de que só é "bom" usar o que demonstramos, e como eu useia desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo está correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) também Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto César Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda Não há dúvida de que foi linda. Mas, supondo o "sabemos que", bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED] type="cite"> Vou tentar uma sem usar cálculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: OBMU
Só uma perguntinha, todo espaço métrico finito tem borda? Por exemplo |p|1 tem borda? From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Date: Tue, 11 Dec 2001 15:07:05 -0200 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: OBMU On Tue, Dec 11, 2001 at 02:55:44PM -0200, Carlos Stein Naves de Brito wrote: Eu estava fazendo a questao 6 da 2º fase da OBMU e achei uma solucao, mas que usa praticamente so a borda, entao imaginei, haveria solucao se a questao fosse |p|1, sem a borda? Eu poderia considerar uma solucao analoga com os pontos tendendo à borda? Abraco, Carlos A questão original era para qualquer espaço métrico compacto e a solução é mais difícil. Ao formular para o disco o Gugu achava que a questão ainda tinha o grau de dificuldade original e ficou até um pouco decepcionado quando eu mostrei a ele uma solução especial para o disco, mas a questão não foi alterada. Pelas notas é bem claro que a questão mais difícil da OBM nível U foi a questão 3 e não a 6. []s, N.
Re: OBMU
On Tue, Dec 11, 2001 at 02:55:44PM -0200, Carlos Stein Naves de Brito wrote: Eu estava fazendo a questao 6 da 2º fase da OBMU e achei uma solucao, mas que usa praticamente so a borda, entao imaginei, haveria solucao se a questao fosse |p|1, sem a borda? Eu poderia considerar uma solucao analoga com os pontos tendendo à borda? Abraco, Carlos A questão original era para qualquer espaço métrico compacto e a solução é mais difícil. Ao formular para o disco o Gugu achava que a questão ainda tinha o grau de dificuldade original e ficou até um pouco decepcionado quando eu mostrei a ele uma solução especial para o disco, mas a questão não foi alterada. Pelas notas é bem claro que a questão mais difícil da OBM nível U foi a questão 3 e não a 6. []s, N.
Re: ajuda
Sim est certo para n natural. No entanto podemos generalizar a demonstrao com n real :) Abraos, Villard -Mensagem original-De: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 11 de Dezembro de 2001 17:56Assunto: Re: ajuda No embalo do que o JP disse, de que s bom usar o que demonstramos, e como eu useia desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo est correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) tambm Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto Csar Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Tera-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda No h dvida de que foi linda. Mas, supondo o sabemos que, bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED]> Vou tentar uma sem usar clculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
