Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO
Eu posso participar se for na segunda-feira. Na sexta é mais difícil. Luciano. At 15:12 29/07/02 -0300, you wrote: >Caros colegas, >Por sugestao do Marcio vamos fazer uma reuniao informal na sexta-feira >(2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os problemas da IMO deste ano.Tragam >suas solucoes... >Abracos, >Carlos Gustavo Moreira (Gugu) > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re de uma re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO
Que tal a gente fazer isso pela Internet?Da ate pra colocar as melhores soluçoes na revista Eureka!,mais ou menos como os problemas propostos.Como a prova estara na revista 14,todos se reunem pelas listas obm-l e pelo Teoremalista pra discutir.E as melhores soluçoes vao pra Eureka!Pensem um pouco nisso. Te mais Peterdirichlet PS:Parabens a delegaçao brasileira da IMO e seus 123 pontos!! :):):):):):):):):):):):):):):):):):):):):):):):):) > >Caros colegas, > >Por sugestao do Marcio vamos fazer uma > reuniao informal na sexta-feira > >(2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os > problemas da IMO deste ano.Tragam > >suas solucoes... > >Abracos, > >Carlos Gustavo Moreira (Gugu) > > > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > >= > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO
Eu tinha proposto na sexta por sugestao do Marcio.O Marcelo estava no IMPA e disse que tambem preferia sexta.Eu nao tenho nenhum problema na segunda,entretanto.Talvez seja bom o pessoal do Rio se manifestar sobre que dia prefere.Por outro lado nao vejo problema em fazer uma reuniao na sexta e outra na segunda,e discutir tambem outros problemas,alem dos da IMO,para aproveitar a animacao do pessoal.O que voces acham ? Abracos, Gugu > >Eu posso participar se for na segunda-feira. Na sexta é mais difícil. > >Luciano. > >At 15:12 29/07/02 -0300, you wrote: >>Caros colegas, >>Por sugestao do Marcio vamos fazer uma reuniao informal na sexta-feira >>(2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os problemas da IMO deste ano.Tragam >>suas solucoes... >>Abracos, >>Carlos Gustavo Moreira (Gugu) >> >> >>= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >>= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Problema 6 da IMO 2002
Caros colegas, A minha solucao deste problema tem elementos comuns com a do Luciano,mas a forma e um pouco diferente.Como o problema e interessante vou enviar uma versao resumida abaixo.Concordo plenamente com o Luciano que os problemas 3 e 6 da IMO muitas vezes dependem mais de persistencia e de combinar varias ideias naturais do que de ideias espetaculares. Para nao atrapalhar vou escrever la no fim,apos a solucao do Luciano. Abracos, Gugu > >Segue uma solução para o problema 6 da IMO 2002. Este problema é muito legal! >Recomendo que pensem bastante no problema antes de ver a solução. > >Aliás, tenho notado um medo exagerado dos alunos em relação aos problemas 6 >das IMO´s. Apesar de que, tradicionalmente, é o mais difícil, isso sempre >depende >de quem resolve. E muitos problemas 6 são mais uma questão de insistência >do que >de idéias brilhantes. > >Vou deixar um espaço para não atrapalhar aqueles que desejem pensar >sozinhos. O enunciado é: > >Dadas n circunferências de raio 1 no plano, se nenhuma reta corta mais do >que 2 circunferências, >então a soma dos inversos das distâncias entre todos os pares (não >ordenados) de centros é menor >ou igual a (n - 1)pi/4. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >Solução: > >Você vai ter que fazer vários desenhos para entender esta solução. >Seja a_ij a metade do ângulo entre as tangentes à circunferência j traçadas >a partir do centro Oi >da circunferência i. Claramente, a_ij = a_ji, e o seno de a_ij é igual ao >raio dividido pela distância >entre os centros, ou seja, igual ao inverso da distância entre os centros. >Como o seno de um arco >é menor do que o arco, basta provar que a soma de todos os a_ij é menor que >(n - 1)pi/4. >Para isso, suponha que o fecho convexo do conjunto de centros é formado >pelos centros das circunferências >1 até n - k. Logo esses centros formam um polígono convexo P de n - k lados >e os outros k centros estão no >interior deste polígono. > >A partir de cada centro, tracemos as tangentes a todas as outras >circunferências. Como >nenhuma reta corta mais de duas circunferências, as regiôes interiores aos >ângulos 2a_ij formados devem ter >interseção vazia. > >Se Oi-1, Oi, Oi+1 são vértices consecutivos de P, o ângulo interno em Oi >possui em seu >interior os ângulos 2a_ij, para j diferente de i-1 e i+1 além de um ângulo >a_ii-1 e outro a_ii+1. Somando em todos os >vértices de P obtemos 2L + 4D + 2I, onde L, D, I representam a soma de >todos os a_ij para os quais OiOj é lado de P, >diagonal de P, ou um segmento unindo um vértice de P a um ponto interior, >respectivamente. Logo 2L + 4D + 2I é menor >ou igual a (n - k - 2)pi (soma dos ângulos internos de P). > >Se Oi é um ponto interior, as tangentes traçadas até a circunferência j >formam dois ângulos opostos pelo vértice iguais >a 2a_ij. Nenhuma circunferência pode cortar o interior de nenhum desses >dois ângulos. Portanto, fixado i, o quádruplo >da soma dos a_ij para todo j diferente de i é menor ou igual a 2pi. Somando >para todos os Oi interiores a P, obtemos > 4I + 8C menor ou igual a 2kpi, onde C é a soma dos a_ij tais que Oi e Oj >são pontos interiores. Dividindo por 2, temos >2I + 4C menor ou igual a kpi. > >Finalmente, vamos fazer uma estimativa para L. Nesta parte você vai >precisar de um bom desenho. >Para simplificar, consideremos O1, O2, O3 vértices consecutivos de P. Trace >a reta t, tangente externa comum >às circunferências 1 e 3 mais próxima de O2, com pontos de contato X1 e X3. >Como a circunferência 2 não corta >t, a reta r, paralela a t por O2 dista mais do que 1 de t. Se O1X1 corta r >no ponto Y1, temos que O2Y1O1 é um triângulo >retângulo em Y1, logo a bissetriz do ângulo em O2 deste triângulo corta o >cateto oposto em um ponto mais próximo >de Y1 que de O1, portanto tal bissetriz é uma reta por O2 exterior à >circunferência 1. Isto implica que a_12 é menor >ou igual à metade do ângulo O1O2Y1. Analogamente, a_23 é menor ou igual à >metade do ângulo O3O2Y3 (Y3 definido >de forma análoga a Y1). Como O1O2Y1 + O3O2Y3 é igual ao ângulo externo a P >em O2, concluímos que a_12 + a_23 >é menor ou igual à metade desse ângulo externo. Somando em todos os >vértices de P obtemos que 2L é menor ou igual à >metade da soma dos ângulos externos de P, ou seja, 2L é menor ou igual a >2pi/2 = pi. > >Juntando tudo, temos: > >2L + 4D + 2I menor ou igual a (n - k - 2)pi >2I + 4C menor ou igual a kpi >2L menor ou igual a pi > >Somando: 4L + 4D + 4I + 4C menor ou igua a (n - k - 2 + k + 1)pi, ou seja L >+ D + I + C menor ou igual a (n - 1)pi/4. >Observe que há apenas estas 4 possibilidades para um par de centros: ambos >em P (formando lado ou diagonal) um em P e outro interior ou ambos >interiores. Logo L + D + I + C é a soma dos a_ij para todos os possíveis >pares (não ordenados) >i, j. > >Bom, não sei se é possível entender algo, mas achei o problema tão
Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO
Essa idéia de fazer em dois dias é boa, pois cada um tem sua disponibilidade de horários... eu só posso na sexta... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Terça-feira, 30 de Julho de 2002 15:41 Assunto: Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO >Eu tinha proposto na sexta por sugestao do Marcio.O Marcelo estava no >IMPA e disse que tambem preferia sexta.Eu nao tenho nenhum problema na >segunda,entretanto.Talvez seja bom o pessoal do Rio se manifestar sobre que >dia prefere.Por outro lado nao vejo problema em fazer uma reuniao na sexta e >outra na segunda,e discutir tambem outros problemas,alem dos da IMO,para >aproveitar a animacao do pessoal.O que voces acham ? >Abracos, >Gugu > >> >>Eu posso participar se for na segunda-feira. Na sexta é mais difícil. >> >>Luciano. >> >>At 15:12 29/07/02 -0300, you wrote: >>>Caros colegas, >>>Por sugestao do Marcio vamos fazer uma reuniao informal na sexta-feira >>>(2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os problemas da IMO deste ano.Tragam >>>suas solucoes... >>>Abracos, >>>Carlos Gustavo Moreira (Gugu) >>> >>> >>>= >>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >>>= >> >>= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >>= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Problema 3 da IMO 2002
Oi pessoal, Acho que o problema que eu mais gostei foi o 3,e nao resisti a escrever uma solucao (ainda estimulado pela solucao do problema 6 que o Luciano mandou).Como sempre vamos colocar um bom espaco para nao atrapalhar quem quiser pensar sozinho.Lembramos o enunciado: Ache todos os pares de inteiros m,n>=3 para os quais existem infinitos inteiros positivos a tais que (a^m+a-1)/(a^n+a^2-1) e' inteiro. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Sugestao:Prove que o polinomio x^n+x^2-1 deve dividir o polinomio x^m+x-1. Considere a unica raiz de x^n+x^2-1,que tambem deve ser raiz de x^m+x-1. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Vamos la':Seja x^m+x-1=Q(x)(x^n+x^2-1)+R(x),com Q e R polinomios de coeficientes inteiros e grau(R)= 2n, teriamos b-b^2=b^n-b^m >= b^n-b^(2n). Considere a funcao f(x)=x-x^2=x(1-x).Temos que f e' crescente em (0,1/2) e decrescente em (1/2,1).Temos b^n=1-b^2 >= 1-b. Como n >= 3, b^n < b^2, e como b^n+b^2=1,temos b^n < 1/2 e b > b^2 > 1/2, donde 1-b < 1/2.Assim, b^n-b^(2n)=f(b^n) < f(1-b)=f(b)=b-b^2,absurdo. Assim,m<2n,donde n >= m-n+1. Como x^n+x^2-1 divide x^(m-n+1)+x^(m-n)-1, devemos ter entao x^n+x^2-1=x^(m-n+1)+x^(m-n)-1,donde m-n+1=n e m-n=2, logo n=3 e m=5,que e' a unica solucao. Abracos, Gugu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Problema 5 da IMO 2002
Caros colegas, Segue (depois de um bom espaco) uma solucao para o problema 5. Abracos, Gugu > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Fazendo t=y=0 e x=z temos 4f(0)f(x)=2f(0),donde f(0)=0 ou f(x)=1/2 para todo x (o que da' uma solucao).A seguir suporemos entao f(0)=0. Fazendo z=y=t=x,temos 4f(x)^2=f(0)+f(2.x^2),logo f(2.x^2)=4.f(x)^2.Assim, se u>=0,f(u)=4.f(rquad(u/2))^2>=0. [rquad denota raiz quadrada] Fazendo x=t=0,temos f(y)f(z)=f(yz),e fazendo x=y=0,temos f(z)f(t)=f(-zt). Assim,f(u)=f(u.1)=f(u)f(1)=f(-u.1)=f(-u),ou seja,f e' uma funcao par,e,pela observacao anterior,f(u)>=0 para todo u.Basta agora calcular f(u) para u>=0. Fazendo x=t=u e y=z=v,temos (f(u)+f(v))^2=f(u^2+v^2)=f(rquad(u^2+v^2))^2. Assim,se 0<=x<=y,fazendo z=rquad(y^2-x^2),temos f(x)^2<=(f(x)+f(z))^2=f(rquad(x^2+z^2))^2=f(y)^2,logo f(x)<=f(y),ou seja, f e' monotona nao-decrescente em R+. Temos f(1)=f(1.1)=f(1).f(1).Assim,f(1)=1 ou f(1)=0.No segundo caso,temos f(x)=f(x.1)=f(x).f(1)=0 para todo x,o que tambem da' uma solucao.Vamos supor entao que f(1)=1.Vamos mostrar que para n natural temos f(nz)=n^2.f(z) para todo z,por inducao.De fato isso vale para n=0 e n=1.Fazendo y=t=1,temos 2(f(x)+f(z))=2f(1)(f(x)+f(z))=f(x-z)+f(x+z).Fazendo x=nz,temos,para n>=1, 2(n^2.f(z)+f(z))=2(f(nz)+f(z))=f((n-1)z)+f((n+1)z)=(n-1)^2.f(z)+f((n+1)z), donde f((n+1)z)=(2(n^2+1)-(n-1)^2).f(z)=(n+1)^2.f(z),cqd. Fazendo z=1,temos f(n)=n^2.f(1)=n^2 para todo n natural,e fazendo z=p/q com p e q inteiros positivos temos p^2=f(p)=f(q.p/q)=q^2.f(p/q),donde f(p/q)=(p/q)^2.Assim,f(x)=x^2 para todo x racional positivo.Vamos mostrar que de fato f(x)=x^2 para todo x real positivo (e portanto para todo x real, pois se x e' negativo,-x e' positivo e teriamos f(x)=f(-x)=(-x)^2=x^2). Suponha que nao,i.e.,que existe x positivo tal que f(x) e' diferente de x^2. Vamos supor que f(x) > x^2 (o outro caso e' analogo).Seja p/q um racional tal que x < p/q < rquad (f(x)). Devemos ter f(x)<=f(p/q),mas f(p/q)=(p/q)^2http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] conesul
Alguem fez a 2 de geom. da conesul desse ano? empaquei nela... Obrigado, Carlos
Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO
Na segunda estarei lá, com certeza. Luciano. At 15:20 30/07/02 -0300, you wrote: > Eu tinha proposto na sexta por sugestao do Marcio.O Marcelo estava no >IMPA e disse que tambem preferia sexta.Eu nao tenho nenhum problema na >segunda,entretanto.Talvez seja bom o pessoal do Rio se manifestar sobre que >dia prefere.Por outro lado nao vejo problema em fazer uma reuniao na sexta e >outra na segunda,e discutir tambem outros problemas,alem dos da IMO,para >aproveitar a animacao do pessoal.O que voces acham ? > Abracos, > Gugu > > > > >Eu posso participar se for na segunda-feira. Na sexta é mais difícil. > > > >Luciano. > > > >At 15:12 29/07/02 -0300, you wrote: > >>Caros colegas, > >>Por sugestao do Marcio vamos fazer uma reuniao informal na sexta-feira > >>(2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os problemas da IMO deste ano.Tragam > >>suas solucoes... > >>Abracos, > >>Carlos Gustavo Moreira (Gugu) > >> > >> > >>= > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >>= > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] conesul
Oi, Carlos, Eu achei o problema 2 o mais difícil desta prova. Claro que outras pessoas têm opinião diferente. A parte difícil é descobrir que, se I é o incentro, a reta TI corta o segmento DE em seu ponto médio. Tente provar isso e completar a solução. Se já estiver cansado de pensar no problema, avise e mando uma solução. Luciano. At 20:11 30/07/02 -0300, you wrote: >Alguem fez a 2 de geom. da conesul desse ano? empaquei nela... >Obrigado, >Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
