[obm-l] Dúvida
Não conseguir resolver estes dois
problemas.Ajude - me
1) Seja f uma função
real tal que f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e para todo x real ,onde a,b,c,d,e
são números reais. Se f(x)
=0 para todox do conjunto { 1,2,3,4,5,6} temos , então:
(A) f(7) = a-1
(B) f(7) = a-2
(C) f(7) = a-3
(D) f(7) =e
(E) f(7) = e+2
2) Na cidade de Parnamirim (RN) ocorreu um trágico
acidente automobilístico que foi presenciada por 1/257 da população. O número de
pessoas que soube do acontecimento t horas após é dada por:
N(T)
= ( P/1+ e^A/k.t)
onde P é a população da cidade ,
A e K são constantes.Sabendo-se que 1/17 da população fico sabendo do
acidente 4 horas depois , então o tempo que passou até que 1/9 da população
soubesse da notícia foi de
(A) 4 horas
(B) 5 horas
(C) 6horas
(D) 7 horas
(E) 8horas
Re: [obm-l] Dúvida
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
On Tuesday 11 March 2003 09:52, Pedro Costa wrote:
> Não conseguir resolver estes dois problemas.Ajude - me
>
> 1) Seja f uma função real tal que f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
> para todo x real ,onde a,b,c,d,e são números reais. Se f(x) =0
> para todox do conjunto { 1,2,3,4,5,6} temos , então:
>
> (A) f(7) = a-1
>
> (B) f(7) = a-2
>
> (C) f(7) = a-3
>
> (D) f(7) =e
>
> (E) f(7) = e+2
Como f é uma função polinomial de quarto grau, ela pode ter seis zeros, como
afirma o enunciado, se e somente se ela for identicamente nula (se algum
coeficiente fosse diferente de zero, o número de zeros deveria ser menor ou
igual a cinco). Logo f(7) = 0. Como a = b = c = d = e = 0, a única
alternativa correta é a (D).
[]s,
- --
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux)
Comment: For info see http://www.gnupg.org
iD8DBQE+be4HalOQFrvzGQoRAiEAAKCFfTcyyck8D3gtMzUWLY2d69CJcgCgwWA7
OHBV83Sz08v2rX/WPz4fThM=
=S0d2
-END PGP SIGNATURE-
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Problemas
Caro JG: O problema fala que um sapato só pode ser colocado se a meia já estiver lá. Assim, no caso humano, as sequencias possíveis serão as seguintes: M1 M2 S1 S2 M1 M2 S2 S1 M1 S1 M2 S2 M2 M1 S1 S2 M2 M1 S2 S1 M2 S2 M1 S1. em número de 6, que bate com a minha análise. (n!)^2 leva em conta situações onde você coloca o sapato antes da meia, o que é proibido pelo enunciado. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: "João Gilberto Ponciano Pereira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, March 10, 2003 5:57 PM Subject: RE: [obm-l] Problemas > Pessoal > > Não sei se foi eu que entendi errado, mas acho que o problema das aranhas é > mais simples: > > "1) Uma aranha tem uma meia e um sapato para cada uma de suas 8 pernas. De > quantas maneiras diferente a aranha pode colocar as meias e os sapatos, > supondo que , em cada perna, a meia tem de ser calçada antes do sapato?" > > As meias e os sapatos são eventos distintos, portanto basta multiplicar o > número de combinações possíveis de sapatos pelo número de combinações das > meias, ou seja, (n!) ^2. Para o caso humano: > > Pé direito Pé esquerdo > Sapato1 - Meia1 Sapato2 - Meia2 > Sapato1 - Meia2 Sapato2 - Meia1 > Sapato2 - Meia1 Sapato1 - Meia2 > Sapato2 - Meia2 Sapato1 - Meia1 > > -Original Message- > From: Cláudio (Prática) [mailto:[EMAIL PROTECTED] > Sent: Monday, March 10, 2003 4:58 PM > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re: [obm-l] Problemas > > > Caro Benedito: > > Aqui vai minha solução pro primeiro. > > Suponhamos que a aranha tenha n pernas. Seja X(n) o número de maneiras. > > Neste caso, cada maneira pode ser representada por uma seqûencia de 16 > símbolos distintos: > M(1), M(2), ..., M(n) e S(1), S(2), ..., S(8) > de forma que para cada k (1 <= k <= n), M(k) sempre preceda S(k). > > n = 1: > a única sequencia possível é M(1), S(1) ==> X(1) = 1 > > n = k: > para cada sequência correspondente a n = k-1 ( ou seja, 2(k-1) símbolos), > podemos formar uma sequencia correspondnete a n = k, inserindo os símbolos > M(k) e S(k), de forma que M(k) preceda S(k). > Inicialmente, podemos inserir M(k) em 2(k-1) + 1 = 2k - 1 posições > distintas. > Se não houvesse a restrição da precedência, poderíamos inserir S(k) em (2k - > 1) + 1 = 2k posições distintas, das quais k teriam M(k) antes de S(k) e k > teriam S(k) antes de M(k). > Descartando estas últimas, ficamos com k posições distintas para S(k). > > Logo, temos a recorrência: X(k) = k * (2k - 1) * X(k-1) ==> > > X(1) = 1 > X(2) = 2*3*X(1) > X(3) = 3*5*X(2) > X(4) = 4*7*X(3) > X(5) = 5*9*X(4) > X(6) = 6*11*X(5) > X(7) = 7*13*X(6) > X(8) = 8*15*X(7) > > Multiplicando tudo e simplificando, teremos: X(8) = 8! * (15!/(2^7*7!)) = > 15! * 8 / 2^7 = 15! / 16. > > Um abraço, > Claudio. > > - Original Message - > From: "benedito" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Monday, March 03, 2003 9:31 PM > Subject: [obm-l] Problemas > > > > > > >Do livro "102 Combinatorial Problems - From the Training of the USA > IMO > > > > Team" , de Titu Andreescu e Zuming Feng - Birkhäuser. 2003, dois > > > problemas > > > > interessantes: > > > > > > > > 1) Uma aranha tem uma meia e um sapato para cada uma de suas 8 > pernas. De > > > > quantas maneiras diferente a aranha pode colocar as meias e os > sapatos, > > > > supondo que , em cada perna, a meia tem de ser calçada antes do > sapato? > > > > > > > > 2) Seja n = 2^31 . 3^19. Quantos são os divisores inteiros positivos > > > > de n^2 que são menores do que n mas não dividem n? > > > > > > > > (Nota: n^2 = n elevado a dois) > > > > > > > > Benedito Freire > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
Caro Pedro:
1) Se a <> 0, então f(x) será um polinômio de
4o. grau que, portanto, terá 4 raízes (não necessariamente distintas e não
necessariamente reais). Como f se anula para 6 valores, concluímos que f(x) = 0
(identicamente), ou seja, a = b = c = d = e = 0.
Logo f(7) = 0 = e ==> alternativa
(D)
*
2) A expressão para N(t) está meio esquisita. De
qualquer forma, o que o problema quer é que você determine o valor de T para o
qual N(T) = P/9, sabendo que N(0) = P/257
e N(4) = P/17.
De posse destes dois valores, você pode determinar
os valores dos parâmetros A e k e, assim, matar o problema.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
Pedro Costa
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, March 11, 2003 9:52
AM
Subject: [obm-l] Dúvida
Não conseguir resolver estes dois
problemas.Ajude - me
1) Seja f uma
função real tal que f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e para todo x real ,onde
a,b,c,d,e são números reais.
Se f(x) =0 para todox do
conjunto { 1,2,3,4,5,6} temos , então:
(A) f(7) = a-1
(B) f(7) = a-2
(C) f(7) = a-3
(D) f(7) =e
(E) f(7) = e+2
2) Na cidade de Parnamirim (RN) ocorreu um
trágico acidente automobilístico que foi presenciada por 1/257 da população. O
número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dada
por:
N(T)
= ( P/1+ e^A/k.t)
onde P é a população da cidade
, A e K são constantes.Sabendo-se que 1/17 da população fico sabendo do
acidente 4 horas depois , então o tempo que passou até que 1/9 da população
soubesse da notícia foi de
(A) 4 horas
(B) 5 horas
(C) 6horas
(D) 7 horas
(E) 8horas
[obm-l] Re: [obm-l] Primos numa PA
Tentei demonstrar que se o conjunto de caras primos dessa PA e finito entao
deve ser vazio.Mas NADA!
-- Mensagem original --
>o máximo que eu cheguei é que dado qualquer a natural não nulo, deve existir
>um b tal que {an + b / n natural} contém infinitos primos...
>
>isso sai de maneira bem simples, tome o conjunto de todos primos e verifique
>sua congruência módulo a, obviamente não podemos ter todas as classes de
>congruência finitas pois há infinitos primos...
>
>a partir daí eu empaquei!
> - Original Message -
> From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Sent: Monday, March 10, 2003 2:50 PM
> Subject: Re: [obm-l] Primos numa PA
>
>
> Bem isto e VIAJADO!!Parece que tudo se encaixa mas nao da pra ter
certeza
>disso.Bem,nao e dificil ver que se o MDC nao e 1 entao e dificil achar
primos.Talvez
>de pra demonstrar com absurdo(supor que so ha um numero finito de primos
>nesa PA)
>
> Cláudio_(Prática) <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>Caros colegas da lista:
>
>Vi esse problema num livro de Teoria dos Números (nível elementar):
>
>a e b são inteiros com mdc(a,b) = 1.
>Prove que se existe um inteiro m tal que am + b é primo, então existe
>uma infinidade de inteiros n para os quais an + b é primo.
>
>Me parece que esse problema está a um passo de provar o famoso teorema
>de Dirichlet sobre primos numa PA.
>
>Qualquer ajuda será bem vinda.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>
>
>
>--
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Re: [obm-l] duvida
Caro Daniel: Eu achei uma soma menor do que 104. Por favor dê uma olhada no que eu fiz e me diga se você descobre algum furo. O número original tem 9 + 2*(60-9) = 111 algarismos. Para o menor número, a idéia é deixar o maior número possível de zeros à esquerda. Assim, devemos: suprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (10 algs) deixar o 0 do 10 suprimir 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 (19 algs - total 29) deixar o 0 do 20 suprimir 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 (19 algs - total 48) deixar o 0 do 30 suprimir 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 (19 algs - total 67) deixar o 0 do 40 suprimir 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5 (19 algs - total 86) deixar o 0 do 50 Até aqui, ficaremos com: 0 0 0 0 0 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 e temos mais 14 algarismos para suprimir, que serão: x x x x x 5x 5x 5x 5x 55 56 57 58 x9 6x, restando: 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0, ou seja: Min = 123450 Soma dos algarismos de Min = 15 Para o maior número, a idéia é deixar o maior número possível de noves à esquerda. Assim, devemos: suprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 (8 algs) deixar o 9 suprimir 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (19 algs - total 27) deixar o 9 do 19 suprimir 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2 (19 algs - total 46) deixar o 9 do 29 suprimir 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3 (19 algs - total 65) deixar o 9 do 39 suprimir 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4 (19 algs - total 84) deixar o 9 do 49 Até aqui, ficaremos com: 9 9 9 9 9 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 e temos mais 16 algarismos para suprimir, que serão: 9 9 9 9 9 xx xx xx xx xx xx xx x7 x8 59 60, restando: 9 9 9 9 9 7 8 5 9 6 0, ou seja: Max = 9785960 Soma dos algarismos de Max = 6*9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 80 Assim, soma dos algarismos de Min e Max = 15 + 80 = 95. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Daniel Pini To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 10, 2003 6:56 PM Subject: [obm-l] duvida Caro colegas, me ajudem com esta questão em que não consigo sair do lugar: Suprima cem dígitos do número 123456789101112131415...5960 de modo a obter o menor número possível. A seguir refaça o mesmo para obter o maior número possível. A soma dos algarismos desses dois números é: R:104
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
Se voce tem um PS em sua casa va no site da olimpiada bulgara,e na Eureka! -- Mensagem original -- >1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de seus >divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2. >2)Determine todos os inteiros x e y que satisfazem à equação x^3+9xy+127=y^3. >Se alguem me der uma dica agradeço. > Obrigado, > Korshinói >ps Como vocês, que têm muita experiência em olimpíadas, vêem o grau de dificuldade >dos exercicios da seção "Olimpíadas pelo mundo"? >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Treinamento no Rio
Nao seria tao problematico se pudessem passa-las por e-mail ou coisa do tipo,nao necessariamente ao vivo. [EMAIL PROTECTED] wrote: É com certa tristeza que leio este e-mail, pois que não moro no Rio deJaneiro, assim não tenho possibilidade de assistir a tão belas aulas de tãodignos professores.Será que não há possibilidade de que as mesmas sejam filmadas,transmitidas ao vivo pela internet ou qualquer outra forma quepossibilitassem alunos de outros estados embeberem-se das mesmas? Seráque não há uma forma, mesmo que necessitemos custeá-las de algum meio?Um forte abraço a todos, João Carlos."Igor Castro" <[EMAIL PROTECTED]>Para: <[EMAIL PROTECTED]>Enviado Por: cc: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Treinamento no Rio .puc-rio.br 09/03/2003 01:38 Favor responder a obm-l Está definido que a reunião ocorrera somente neste horario e nesse diamesmo? Por que creio que muitos alunos interessados, como eu, não poderãoirfrequentemente devido ao colégio e curso que muitos fazem. Mas também nãovejo um horario/dia que facilite a todos rapidamente. Acho que seria bemlegal mesmo que se formasse um "grupo" de estudo para as olímpiadas noRJ(como tem no CE), por isso, acho que todos os esforços deveriam serfeitospara atrair o maior número possível de pessoas(alunos e profs). Bem, é sóuma colocação do meu ponto de vista, espero que a idéia possa seramadurecida e que se encontre o melhor para todos.Abraços,Igor...- Original Message -From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>>Sent: Friday, March 07, 2003 1:25 PMSubject: Re: [obm-l] Treinamento no Rio> Caros colegas,> Estou escrevendo para lembrar da reuniao de segunda...> Abracos,> Gugu>> >> > Caros colegas,> > Na primeira segunda-feira depois do carnaval (10/2), no IMPA, as14:00> >horas comecam as reunioes semanais de treinamento olimpico abertas ao> >publico, que visam entre outras coisas treinar para a IMO. Somosresponsaveis> >por estas reunioes eu e o Luciano, mas deveremos tambem ter aulas deoutros> >ilustres colegas (oi Nicolau! oi Okakamo! oi Morgado! oi Wagner!). Estao> >todos convidados (especialmente o pessoal do Rio...)!> > Abracos,> > Gugu> >> >=> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> >=>> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] duvida
Na Eureka deve ter. Daniel Pini <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Caro colegas, me ajudem com esta questão em que não consigo sair do lugar: Suprima cem dígitos do número 123456789101112131415...5960 de modo a obter o menor número possível. A seguir refaça o mesmo para obter o maior número possível. A soma dos algarismos desses dois números é: R:104Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] geometria analítica (circunferências)
Oi, Fael: (UFRS) A circunferência de centro (10, -6), tangente ao eixo dos y, intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas: Como ela é tangente ao eixo y, a distância do centro a este eixo (dada pelo valor absoluto da abscissa do centro) é igual ao raio ==> raio = 10. Equação: (x - 10)^2 + (y + 6)^2 = 10^2. Intercepta o eixo x ==> y = 0 ==> (x-10)^2 + 6^2 = 100 ==> (x-10)^2 = 64 ==> x-10 = 8 ou x-10 = - 8 ==> x = 18 ou x = 2 resp: 2 e 18 * (U.C. SALVADOR) A reta r, de equação y= 2x +1, e a circunferência C, de equação x^2 + y^2=1 interceptam-se nos pontos A e B. A medida do segmento AB é: Substitua y = 2x+1 na equação da circunferência a fim de achar a(s) abscissa(s) do(s) ponto(s) de interseção Em seguida, substitua o(s) valor(es) de x achado(s) acima em y = 2x + 1 para determinar o valor da(s) ordenada(s) correspondente(s). Agora, é só usar a fórmula da distância entre dois pontos. resp: 4*raiz(5)/5 *** (PUCCAMP) Considere as circunferências (lambda_1): x^2 + y^2 - 8x - 4y + 15=0 e (lambda_2): x^2 + y^2 + 4x + 2y - 75=0; concluímos que: Normalize a equações, completando os quadrados. Você terá: Lambda 1: x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = -15 + 16 + 4 ==> (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5 ==> C1(4,2); R1 = raiz(5) Lambda 2: x^2 + 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 75 + 4 + 1 ==> (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 80 ==> C2(-2,-1); R2 = raiz(80) = 4*raiz(5). Distância entre os centros = raiz[(4+2)^2 + (2+1)^2] = raiz(36+9) = 3*raiz(5) = R2 - R1 ==> Lambda 1 e Lambda 2 são tangentes internamente. resp: (lambda_1) e (lambda_2) se tangenciam-se internamente * Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
Caro Korshinoi: Eu fiz alguma coisa na primeira. - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:00 AM Subject: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo > 1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de seus divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2. (n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 ==> soma dos quadrados dos divisores próprios de n = SQDP(n) = 6n + 9 n tem 1 divisor próprio ==> n é primo e SQDP(n) = 1^2 = 1 < 6*n + 9 n tem 2 divisores próprios ==> n = p^2 (p: primo) e SQDP(n) = 1 + p^2 < 6p^2 + 9 n tem 3 divisores próprios ==> n = p^3 ou n = pq (p,q: primos distintos) n = p^3 ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + p^4 = 6p^3 + 9 ==> p^4 - 6p^3 + p^2 - 8 = 0 ==> não tem raízes inteiras n = pq ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + q^2 = 6pq + 9 ==> q^2 - (6p)q + (p^2 - 8) = 0 ==> q = 3p +/- 2*raiz(2p^2 + 2) por inspeção (eufemismo para "no braço") verificamos que o menor primo p tal que raiz(2p^2 + 2) é inteiro é p = 7 ==> raiz(2*7^2+2) = 10 ==> q = 3*7 +/- 2*10 ==> q = 1 (não é primo) ou q = 41 ==> q = 41 ==> n = p*q = 7*41 = 287 Checando: 1^2 + 7^2 + 41^2 + 287^2 = 84.100 = (287 + 3)^2 Agora, temos que ter certeza de que nenhum n inferior a 287 tem SQDP(n) = 6n + 9 ou então achar um tal n, mas eu tou meio sem idéias e sem saco de checar "por inspeção", apesar de que podemos eliminar os casos em que n é primo ou quadrado de primo ou produto de dois primos distintos. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo....
Tenta no site da Bulgaria ou esperem publicar na Eureka! -- Mensagem original -- >Caro Korshinoi: > >Eu fiz alguma coisa na primeira. > >- Original Message - >From: <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:00 AM >Subject: [obm-l] Olimpíadas pelo mundo > > >> 1)Determine o menor número natural n talq que a soma dos quadrados de seus >divisores(incluindo 1 e n ) é igual ( n+ 3 )^2. > >(n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 ==> >soma dos quadrados dos divisores próprios de n = SQDP(n) = 6n + 9 > >n tem 1 divisor próprio ==> >n é primo e SQDP(n) = 1^2 = 1 < 6*n + 9 > >n tem 2 divisores próprios ==> >n = p^2 (p: primo) e SQDP(n) = 1 + p^2 < 6p^2 + 9 > >n tem 3 divisores próprios ==> >n = p^3 ou n = pq (p,q: primos distintos) >n = p^3 ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + p^4 = 6p^3 + 9 ==> >p^4 - 6p^3 + p^2 - 8 = 0 ==> não tem raízes inteiras > >n = pq ==> SQDP(n) = 1 + p^2 + q^2 = 6pq + 9 ==> >q^2 - (6p)q + (p^2 - 8) = 0 ==> >q = 3p +/- 2*raiz(2p^2 + 2) >por inspeção (eufemismo para "no braço") verificamos que o menor primo p >tal >que raiz(2p^2 + 2) é inteiro é p = 7 ==> >raiz(2*7^2+2) = 10 ==> >q = 3*7 +/- 2*10 ==> >q = 1 (não é primo) ou q = 41 ==> >q = 41 ==> >n = p*q = 7*41 = 287 > >Checando: >1^2 + 7^2 + 41^2 + 287^2 = 84.100 = (287 + 3)^2 > >Agora, temos que ter certeza de que nenhum n inferior a 287 tem SQDP(n) = >6n >+ 9 ou então achar um tal n, mas eu tou meio sem idéias e sem saco de checar >"por inspeção", apesar de que podemos eliminar os casos em que n é primo >ou >quadrado de primo ou produto de dois primos distintos. > > >Um abraço, >Claudio. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] 2ª Vingança Olimpica-Prova
Turma,com voces a prova da 2ª Vingança Olimpica.Talvez em formato de e-mail
tenha ficado horroroso mas e a vida:)Senhoras e senhores,com voces a...
II VINGANÇA OLIMPICA
19 de Janeiro de 2003
A duraçao da prova e de 4 horas e meia.A sua pontuaçao e baseada nos quatro
problemas em que voce atingir a maior pontuaçao.Note que os proiblemas possuem
diferentes pontuaçoes.
1)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo e k sua circunferencia circunscrita.
D e o ponto medio do arco BC que nao contem A;
E e a intersecçao da mediatriz de BD com BC,F e a intersecçao da paralela
a AB por D com AC,G e a intersecçao de EF com AB e H a de GD com AC.Mostre
que o triangulo AGH e isosceles.[3]
2)(Alex Abreu)Defina a sequencia
x(1) natural e
x(n+1)=1+(x(1)x(2)x(3)...x(n)).
Prove que existe um primo p que nao divide ninguem da sequencia acima.[4]
3)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo com BAC=60º.Seja A' o simetrico de A
em relaçao a BC,D o ponto do segmento AC tal que AB=AD e H o ortocentro
de ABC.Se b e a bissetriz externa do angulo BAC e M e N sao os pontos onde
as retas A'D e CH cortam b respectivamente,mostre que AM=AN.[4]
4)(Telmo Luis)Definimos uma represa e sua barreira como um par de conjuntos
finitos A e B de pontos do reticulado,sendo A conexo pela relaçao de vizinhança
dada por |a-b|=1 tais que dado um elemento a de A,para qualquer x do reticulado
com |a-x|=1 temos que x e um elemento de A ou de B.Dado #B=K ache o maior
valor que #A pode assumir.[5]
5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairro
como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a Cledmilson
Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para
cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha
tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças.Da mesma
forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais,sendo
que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui igualmente
entre as p crianças.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de crianças
desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada
tipo de doce roubada seja inteira?[6]
6)(Alex Abreu)Ache todas as funçoes f:R/{0}->R sem pontos fixos tais que
f(y(f(x)-x))=f(x)/y-f(y)/x para todos os x,y nao-nulos.[6]
7)(Humberto Naves)Seja X um subconjunto de R com m elementos positivos.Determine
X tal que maximize o numero de subconjuntos de X de mesma soma.[8]
Divirtam-se e mandem suas soluçoes(se tiverem paciencia!)!!!
Ass.:Johann
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S = 1/(n^2+1) era:[obm-l] tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)
Sauda,c~oes,
Oi Cláudio,
Sempre me pergunto como as pessoas
encontram tais sites. Só com o Google??
O fato é que gostei muito do site e
surfando nele encontrei o seguinte problema:
Calcule S=1/1 + 2/(2+3) + 3/(4+5+6) +
4/(7+8+9+10) + 5/(11+12+13+14+15) +
Fiz o seguinte: S = \sum_{i>=1} f(i),
onde f(i) é dado por f(i) =
i / \sum_{i^2/2 - i/2 + 1}^{i^2/2 + i/2 } k =
i / i(i^2+1)/2 = 2 / (i^2+1).
Ou seja, S = \sum_{i>=1} 2 / (i^2+1).
Calculando então S1 = \sum_{n>=0} 1 / (n^2+1)
obtemos S.
Num toco de papel havia escrito há muito
tempo que S1 = \pi \coth(\pi) / 2 (é isso
mesmo?).
Sei também que esse resultado é obtido
num curso de análise complexa, com o
teorema dos resíduos. Minha pergunta é:
alguém pode me indicar um livro, encontrado
na PUC-RJ ou IMPA, onde encontro tais
somas? Ou seja, S(a) = 1/(n^2 + a^2) ,
S(a) = 1/(n^4 + a^4) etc.
Obrigado.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: "Cláudio (Prática)" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: segunda-feira, 10 de março de 2003 13:05
Assunto: [obm-l] tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)
> Caros colegas da lista:
>
> Curiosamente, também vale a identidade:
>
> tan(4*Pi/11) + 4*sen(Pi/11) = raiz(11)
>
> A demonstração que eu vi também usa complexos, exatamente como a do
Nicolau.
> Ela está em: http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/56.html
>
> Por acaso alguém conseguiu uma solução do tipo que o Morgado falou - via
uma
> construção geométrica?
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
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[obm-l] 2ª Vingança Olimpica-Prova
Caros(as) amigos(as) da lista: Ha material da VI Semana Olimpica no site da OBM. http://www.obm.org.br/semana.htm Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Primos com média 27
Suponha que existem n primos: P1 < P2 < ... < Pn. Então, teremos: P1 + ... + Pn = 27*n, e queremos achar Pn. Os primos menores que 27 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. Vamos chamá-los de "primos inferiores". Todos os demais serão "primos superiores". A fim de "maximizar" Pn, devemos ter a média composta do maior número possível de primos inferiores e do menor número possível de primos superiores. Assim, vamos ver se damos a sorte de ter todos os 9 primos inferiores e apenas um primo (Pn) superior incluído na média. 27*10 = 2+3+...+23+Pn = 100+Pn ==> Pn = 170 ==> não é primo Em seguida, podemos eliminar um primo inferior de cada vez, começando com o mais alto (23): 27*9 = 2+3+...+19+Pn = 77+Pn ==> Pn = 166 ==> não é primo Além disso, a má notícia é que eliminando um único primo inferior ímpar, nós sempre acharemos um valor par para Pn. Logo, se tivermos que eliminar um primo inferior, ele só pode ser o 2. Vejamos: 27*9 = 3+5+...+23+Pn = 98+Pn ==> Pn = 145 ==> não é primo. O passo seguinte é eliminar dois primos inferiores de cada vez. Começando com os dois mais altos (19 e 23), teremos: 27*8 = 2+3+5+...+17+Pn = 60+Pn ==> Pn = 156 ==> não é primo Além disso, da mesma forma que acima, concluímos que eliminando qualquer par de primos ímpares resultará em Pn par. Logo, 2 terá que ser necessariamente eliminado. Vamos eliminar 2 e 23: 27*8 = 3+5+...+19+Pn = 75+Pn ==> Pn = 141 ==> primo (enfim!!!). Assim, se existe um único primo superior na média, o seu valor máximo é 141. A fim de completar a análise, devemos considerar o caso em que há 2 ou mais primos superiores compondo a média. Suponhamos que a média tenha m primos inferiores e n primos superiores (n >= 2). Então: 27*(m+n) = m*Minf + n*Msup (Minf (Msup) = média dos primos inferiores (superiores) ) ==> Msup = 27*(m+n) - m*Minf = (27 - Minf)*m/n + 27 Não é difícil ver que o maior valor possível de (27 - Minf)*m ocorre justamente quando todos os 9 primos inferiores estão presentes ==> (27 - Minf)*m = 27*m - Minf*m = 27*9 - (2+3+...+23) = 243 - 100 = 143 Logo, o valor máximo de Msup qundo há n primos superiores é menor ou igual a 143/n + 27 ==> uma função decrescente de n. Com n = 2 ( o menor valor permitido de n), teremos que Msup <= 143/2 + 27 = 98,5 < 141. Logo, com 2 ou mais primos, Msup será menor do que 141 ==> a sequencia de primos distintos com média igual a 27 tem apenas um primo superior, igual a 141. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 12:49 AM Subject: [obm-l] (nenhum assunto) Quem sabe esse???A média aritmética de uma quantidade de primos distintos é 27. Determine o maior número dessa sequencia. Agradeço quem fizer ou der uma sugestão. Crom.
[obm-l] AJUDA COM LIMITES
Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
3) (1-cosx)/x^2. Multiplique em cima e em baixo por 1+cosx. Fica sen^2(x)/[x^2} * 1/(1+cosx). O primeiro fator tende a 1; o segundo, a 1/2. Resposta: 1/2 2) Divida em cima e em baixo por raiz(x). Fica raiz ( 1 + 1/x) / raiz (9 + 1/x) cujo limite eh raiz (1+0)/raiz(9+0) = 1/3 Afemano wrote: Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
RE: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
Carissimo Gabriel, 1) lim (x->3) (raiz(x^2+16) – 5) (raiz(x^2+16) +5)/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = lim(x->3) (x^2-9)/ )/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = = lim(x->3)(x+3)(x-3)/x(x-3) raiz(x^2+16) + 5) = lim(x->3) (x+3)/x raiz(x^2+16) + 5) = 6/3(5) = 3/5. 2) lim(x->00) raiz(x+1)/raiz(9x+1) = lim(x->00) raiz(x)*raiz(1+1/x) / raiz(x)*raiz(9+1/x) = raiz(1+1/x)/raiz(9+1/x) = 1/9 3) lim(x->0) (1-cosx)(1+cosx)/x^2(1+cosx) = lim(x->0) (sinx)^2/(x^2*(1+cosx)) = lim(x->0) ((sin x)/x)^2 * 1/(1+cosx) = ½ Acho que os resultados sao esses caro amigo. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Afemano Sent: Tuesday, March 11, 2003 12:00 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
1) O primeiro eh isso mesmo? Se for nao ha dificuldade alguma. O numerador tende a 0 e o denominador tende a 18. Resposta: 0/18 = 0 Afemano wrote: Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
[obm-l] geometria analítica
Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é: resp: y=4
[obm-l] Re: [obm-l] Criptografia
www.gabas.cjb.net -- Mensagem original -- > Se alguém souber algum site de criptografia por favor >me diga. > Não quero aqueles sites de hackers, quero algum que >tenha desafios. > Blz? Fiquem com Deus. > > >__ >E-mail Premium BOL >Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! >http://email.bol.com.br/ > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > "Mathematicus nascitur, non fit" Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
FW: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
Uma retificacao no limite 2. Ao invest de 1/9 a resposta e 1/3. -Original Message- From: leandro [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:09 PM To: '[EMAIL PROTECTED]' Subject: RE: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Carissimo Gabriel, 1) lim (x->3) (raiz(x^2+16) – 5) (raiz(x^2+16) +5)/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = lim(x->3) (x^2-9)/ )/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = = lim(x->3)(x+3)(x-3)/x(x-3) raiz(x^2+16) + 5) = lim(x->3) (x+3)/x raiz(x^2+16) + 5) = 6/3(5) = 3/5. 2) lim(x->00) raiz(x+1)/raiz(9x+1) = lim(x->00) raiz(x)*raiz(1+1/x) / raiz(x)*raiz(9+1/x) = raiz(1+1/x)/raiz(9+1/x) = 1/3 3) lim(x->0) (1-cosx)(1+cosx)/x^2(1+cosx) = lim(x->0) (sinx)^2/(x^2*(1+cosx)) = lim(x->0) ((sin x)/x)^2 * 1/(1+cosx) = ½ Acho que os resultados sao esses caro amigo. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Afemano Sent: Tuesday, March 11, 2003 12:00 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
RE: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
Eu resolve o limite 1 considerando x->3 e nao x->-3. Vale a solucao do Prof. Morgado !! Desculpem pela falha. Preciso aumentar o tamanho da fonte ou mudar meus oculos. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED]ucuri.mat.puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of A. C. Morgado Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:12 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES 1) O primeiro eh isso mesmo? Se for nao ha dificuldade alguma. O numerador tende a 0 e o denominador tende a 18. Resposta: 0/18 = 0 Afemano wrote: Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
Desculpe mas o primeiro é lim(x-> -3) e não lim(x-> 3) - Original Message - From: leandro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 6:09 PM Subject: RE: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Carissimo Gabriel, 1) lim (x->3) (raiz(x^2+16) 5) (raiz(x^2+16) +5)/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = lim(x->3) (x^2-9)/ )/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = = lim(x->3)(x+3)(x-3)/x(x-3) raiz(x^2+16) + 5) = lim(x->3) (x+3)/x raiz(x^2+16) + 5) = 6/3(5) = 3/5. 2) lim(x->00) raiz(x+1)/raiz(9x+1) = lim(x->00) raiz(x)*raiz(1+1/x) / raiz(x)*raiz(9+1/x) = raiz(1+1/x)/raiz(9+1/x) = 1/9 3) lim(x->0) (1-cosx)(1+cosx)/x^2(1+cosx) = lim(x->0) (sinx)^2/(x^2*(1+cosx)) = lim(x->0) ((sin x)/x)^2 * 1/(1+cosx) = ½ Acho que os resultados sao esses caro amigo. Leandro. -Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of AfemanoSent: Tuesday, March 11, 2003 12:00 PMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
- Original Message - From: Afemano To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 4:59 PM Subject: [obm-l] AJUDA COM LIMITES > 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) sqrt((-3)^2 + 16) > 0 e (-3^2 - 3*(-3)) diferente de zero, então é só substituir x = -3. Resp.: 0 > 2) lim(x-> +inf) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) Reescrevendo a expressão acima temos lim_x-> +inf (sqrt(1 + 1/x) / sqrt(9 + 1/x). Como lim_x-> 1/x = 0, temos que lim_x-> +inf (sqrt(1 + 1/x) / sqrt(9 + 1/x) = 1/3. > 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Usando L'Hôpital duas vezes, temos lim_x->0 1/2 * cos(x)) = 0. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
Um errinho na ultima digitaçao. Deveria ser lim_x->0 1/2 * cos(x)) = 1/2 * cos(0) = 1/2. Henrique P. Sant'Anna Branco wrote: - Original Message - From: Afemano To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 4:59 PM Subject: [obm-l] AJUDA COM LIMITES 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) sqrt((-3)^2 + 16) > 0 e (-3^2 - 3*(-3)) diferente de zero, então é só substituir x = -3. Resp.: 0 2) lim(x-> +inf) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) Reescrevendo a expressão acima temos lim_x-> +inf (sqrt(1 + 1/x) / sqrt(9 + 1/x). Como lim_x-> 1/x = 0, temos que lim_x-> +inf (sqrt(1 + 1/x) / sqrt(9 + 1/x) = 1/3. 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Usando L'Hôpital duas vezes, temos lim_x->0 1/2 * cos(x)) = 0. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RE: [obm-l] AJUDA COM LIMITES
Eu ja havia visto o erro quando o Prof. Morgado respondeu ! Esse e um limite direto. Obrigado. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Afemano Sent: Tuesday, March 11, 2003 2:43 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Desculpe mas o primeiro é lim(x-> -3) e não lim(x-> 3) - Original Message - From: leandro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 6:09 PM Subject: RE: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Carissimo Gabriel, 1) lim (x->3) (raiz(x^2+16) – 5) (raiz(x^2+16) +5)/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = lim(x->3) (x^2-9)/ )/((x^2-3x) (raiz(x^2+16) + 5)) = = lim(x->3)(x+3)(x-3)/x(x-3) raiz(x^2+16) + 5) = lim(x->3) (x+3)/x raiz(x^2+16) + 5) = 6/3(5) = 3/5. 2) lim(x->00) raiz(x+1)/raiz(9x+1) = lim(x->00) raiz(x)*raiz(1+1/x) / raiz(x)*raiz(9+1/x) = raiz(1+1/x)/raiz(9+1/x) = 1/9 3) lim(x->0) (1-cosx)(1+cosx)/x^2(1+cosx) = lim(x->0) (sinx)^2/(x^2*(1+cosx)) = lim(x->0) ((sin x)/x)^2 * 1/(1+cosx) = ½ Acho que os resultados sao esses caro amigo. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Afemano Sent: Tuesday, March 11, 2003 12:00 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] AJUDA COM LIMITES Olá, alguém pode me ajudar com esse problemas "simples" ?? 1) lim(x-> -3) (raiz(x^2 + 16) - 5 )/ ( x^2 - 3x ) 2) lim(x-> +00) ( raiz(x + 1) ) / ( raiz(9x + 1) ) 3) lim(x-> 0) ( 1 - cosx ) / x^2 Valeu ae !! gabriel
Re: [obm-l] duvida
Caro Claudio, creio que esse seja o jeito + fácil e lógico de resolver tal questão. Olhando, eu vi que vc cometeu um erro no Calculo do nº MAX ( deveria ter suprido o 0). o MAX deveria ser= a 86 qwe com mais 15 daria 101 ( tem essa alternativa na qustão mas segundo o gabarito a resposta certa é 104). Caso eu esteja enganado ou vc ache alguma coisa que torne a questão certa, comunique-me pois estou curioso. Grato, Daniel. - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:32 PM Subject: Re: [obm-l] duvida Caro Daniel: Eu achei uma soma menor do que 104. Por favor dê uma olhada no que eu fiz e me diga se você descobre algum furo. O número original tem 9 + 2*(60-9) = 111 algarismos. Para o menor número, a idéia é deixar o maior número possível de zeros à esquerda. Assim, devemos: suprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (10 algs) deixar o 0 do 10 suprimir 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 (19 algs - total 29) deixar o 0 do 20 suprimir 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 (19 algs - total 48) deixar o 0 do 30 suprimir 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 (19 algs - total 67) deixar o 0 do 40 suprimir 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5 (19 algs - total 86) deixar o 0 do 50 Até aqui, ficaremos com: 0 0 0 0 0 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 e temos mais 14 algarismos para suprimir, que serão: x x x x x 5x 5x 5x 5x 55 56 57 58 x9 6x, restando: 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0, ou seja: Min = 123450 Soma dos algarismos de Min = 15 Para o maior número, a idéia é deixar o maior número possível de noves à esquerda. Assim, devemos: suprimir 1 2 3 4 5 6 7 8 (8 algs) deixar o 9 suprimir 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 (19 algs - total 27) deixar o 9 do 19 suprimir 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2 (19 algs - total 46) deixar o 9 do 29 suprimir 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3 (19 algs - total 65) deixar o 9 do 39 suprimir 40 41 42 43 44 45 46 47 48 4 (19 algs - total 84) deixar o 9 do 49 Até aqui, ficaremos com: 9 9 9 9 9 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 e temos mais 16 algarismos para suprimir, que serão: 9 9 9 9 9 xx xx xx xx xx xx xx x7 x8 59 60, restando: 9 9 9 9 9 7 8 5 9 6 0, ou seja: Max = 9785960 Soma dos algarismos de Max = 6*9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 80 Assim, soma dos algarismos de Min e Max = 15 + 80 = 95. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Daniel Pini To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 10, 2003 6:56 PM Subject: [obm-l] duvida Caro colegas, me ajudem com esta questão em que não consigo sair do lugar: Suprima cem dígitos do número 123456789101112131415...5960 de modo a obter o menor número possível. A seguir refaça o mesmo para obter o maior número possível. A soma dos algarismos desses dois números é: R:104
[obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica
Fael, No numero 1) eu substitui o valor y=mx na equacao da circunferencia e dai voce encontra a seguinte equacao do 2o grau (m^2+1)x^2 – 8x + 12 = 0. Como foi dito que m > 0, entao temos que a intersecao da reta com a circunferencia deve produzir somente 1 ponto, portanto, fazendo o discriminante da equacao encontrada igual a zero a gente encontra 64 – 4(12)(m^2+1) = 0 => mod(m) = ½ = > m=1/2 (pois m > 0). Agora, m e o coeficiente angular da reta , ou seja, e a tangente do angulo que estamos querendo encontrar. O valor do seno do angulo pode ser encontrado pela formula tg^2(alfa) + 1 = sec^2(alfa) => sec^2(alfa) = 5/4 => sen^2(alfa) = 1/5. => sen(alfa) = 1/sqr(5). Eu nao encontrei esse resultado ½ que voce me forneceu. Sera que errei em algum lugar ? Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:27 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] geometria analítica Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é: resp: y=4
[obm-l] fração
Quais os termos da soma 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 que devem ser removidos para que a soma dos termos remanecentes seja igual a 1? R: 1/8 e 1/10
Re: [obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica
Um errinho de conta! Onde esta mod(m) = 1/2 deveria estar mod(m) = 1/sqrt(3). Daih, seguir-se-ia tg^2(alfa) + 1 = sec^2(alfa) => sec^2(alfa) = 4/3 => sen^2(alfa) = 1/4. => sen(alfa) = 1/2. leandro wrote: Fael, No numero 1) eu substitui o valor y=mx na equacao da circunferencia e dai voce encontra a seguinte equacao do 2o grau (m^2+1)x^2 – 8x + 12 = 0. Como foi dito que m > 0, entao temos que a intersecao da reta com a circunferencia deve produzir somente 1 ponto, portanto, fazendo o discriminante da equacao encontrada igual a zero a gente encontra 64 – 4(12)(m^2+1) = 0 => mod(m) = ½ = > m=1/2 (pois m > 0). Agora, m e o coeficiente angular da reta , ou seja, e a tangente do angulo que estamos querendo encontrar. O valor do seno do angulo pode ser encontrado pela formula tg^2(alfa) + 1 = sec^2(alfa) => sec^2(alfa) = 5/4 => sen^2(alfa) = 1/5. => sen(alfa) = 1/sqr(5). Eu nao encontrei esse resultado ½ que voce me forneceu. Sera que errei em algum lugar ? Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 11, 2003 1:27 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] geometria analítica Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é: resp: y=4
Re: [obm-l] fração
A soma vale 1+ 9/40* = 1 + 4/40 + 5/40 = 1 + 1/10 + 1/8. * devemos remover dois termos que somados deem 9/40. Um dos termos tem que ter o fator 5 no denominador. Daniel Pini wrote: Quais os termos da soma 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 que devem ser removidos para que a soma dos termos remanecentes seja igual a 1? R: 1/8 e 1/10
[obm-l] RE: [obm-l] geometria analítica
Olá Morgado, Como resolver estas: Mesmo não sendo o Morgado, vou tentar ajudar (FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 Por ser tangente à circunferencia, a reta intercepta-a em um, e apenas um, ponto. Logo, a equação (x-4)^2 + (mx)^2 =4 tem uma, e apenas uma, raiz real. Esta equação é equivalente a (1+ m^2)x^2 -8x + 12 =0, e apresentará uma única solução real se, e somente se, seu discriminante for zero. Logo, 64 - 48 (1+ m^2) = 16 -48m^2 = 0, cuja solução é m = + ou - 1/raiz(3). Como, por hipótese, m>0, apenas a solução positiva interessa. A reta, portanto, forma com o eixo dos x um ângulo a cuja tangente é 1/raiz(3). Segue-se que sec(a)^2 = 1+ tan(a)^2 = 1+ 1/3 = 4/3. Logo, cos(a)^2 = 3/4 (o ângulo é do primeiro quadrante) e sen(a)^2 = 1/4. Finalmente, concluímos que sen(a) = 1/2. (U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é: resp: y=4 Calculando-se implicitamente a derivada de y com rel. a x, y', temos pela regra da cadeia que 2x + 2y y' +2 -4 y'=0 -> y'= (-2x -2)/(2y -4) = (x+1)/(2-y), y<>2. No ponto dado, temos que y' = 0, logo a tangente é horizontal. E como esta tangente intercepta a circunferência em um ponto de ordenada 4 segue-se que sua equação é y =4. Vc poderioa chegar rapidamente a esta mesma conclusão observado que a equação da circunferência pode ser escrita como (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4, a qual tem centro em (-1, 2) e raio 2. Logo, (-1, 4) é ponto mais "alto" da intersecção com a circunferência da vertical de abcissa -1, a qual passa pelo centro de lambda. Como a tangente é perpendicular a esta vertical, a conclusão é imediata. Um abraço Artur <>
Re: [obm-l] geometria analítica
Uma soluçao sem derivadas para o problema 2: x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 O centro eh C ( - 1, 2) e o raio vale 2. CP (raio) eh uma reta vertical (C e P tem a mesma abscissa). Logo, a tangente eh horizontal. A reta horizontal por ( - 1, 4) eh y = 4. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Morgado, Como resolver estas: (FUVEST) A reta y= mx (m>0) é tangente à circunferência (x-4)^2 + y^2=4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x. resp: 1/2 (U.E. Londrina) Sejam a circunferência (lambda) x^2 + y^2 + 2x - 4y +1=0 e o ponto P(-1,4) pertencente a lambda. A equação da reta tangente lambda pelo ponto P é: resp: y=4
[obm-l] Questões de PA
1) Numa PA com 2n+1 termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre 2 e 13. Calcule seu último termo. 2) A soma dos 5 primeiros termos de uma PA de razão r é 50 e a soma dos termos de uma PG infinita de razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem o mesmo termo inicial menor do que 10 e sabendo-se que q = r ^ 2. Calcule a soma dos 4 primeiros termos da PG.
Re: [obm-l] Questões de PA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Tuesday 11 March 2003 23:45, André Luíz wrote: > 1) Numa PA com 2n+1 termos, a soma dos n primeiros é igual a 50 e a soma > dos n últimos é 140. Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro > entre 2 e 13. Calcule seu último termo. A soma dos n primeiros termos é a + (a+r) + ... + (a+(n-1)r). A soma dos n últimos termos é (a+(n+1)r) + (a+(n+2)r) + ... + (a+2r). Note que cada termo da segunda soma é igual ao termo correspondente da primeira soma mais (n+1)r. Como existem n deles, 140 - 50 = n(n+1)r 90 = n(n+1)r Como 2 <= r <= 13, e tanto n quanto r são inteiros, um pouco de tentativa e erro resolve o problema. > 2) A soma dos 5 primeiros termos de uma PA de razão r é 50 e a soma dos > termos de uma PG infinita de razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem > o mesmo termo inicial menor do que 10 e sabendo-se que q = r ^ 2. Calcule a > soma dos 4 primeiros termos da PG. Seja a o primeiro termo das duas progressões. Então: 5a + 10r = 50 <=> a + 2r = 10 a/(1-q) = a/(1-r^2) = 12 <=> a = 12 - 12*r^2 Substituindo a segunda equação na primeira, você cai em uma equação do segundo grau. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+brtOalOQFrvzGQoRAqNMAJ0YPB8B4Y86ENdYUNOwoOgjo4tQggCdFyH6 UKiV8o0/bGdvW/ACrCW7OSk= =CNJA -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
