Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos
Title: Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos on 02.09.03 22:26, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu realmente nao conhecia esta formula. Vou ateh tentar demonstra-la, eh um problema interessante(embora eu nao conheca muito Teoria dos Numeros). A demonstracao nao usa nada alem do teorema da fatoracao unica dos inteiros e um pouco de perspicacia pra se enxergar todas as implicacoes de cada passagem. Por exemplo, tem um ponto onde voce precisa usar o fato de que se mdc(a,b) = 1 e a*b eh um quadrado perfeito, entao a e b sao quadrados perfeitos. Uma outra forma de vermos que o raio eh inteiro eh observarmos que , num triangulo retangulo, o raio do circulo inscrito eh dado por r = p-a. Logo, para o triangulo primitivo temos r = (2m^2+2mn)/2 (m^2+n^2) = mn n^2 = n(m-n). Tambem eh possivel provar que o raio do circulo circunscrito a um triangulo pitagorico primitivo nunca eh inteiro. E aqui vai um mais dificil: Prove que a area de um triangulo pitagorico nunca eh um quadrado perfeito. Um abraco, Claudio. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara Sent: Tuesday, September 02, 2003 2:29 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triangulos Pitagoricos on 02.09.03 13:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um detalhe interessante: se os lados de um triangulo retangulo estao em PA, entao os lados sao proporcionais a 3, 4 e 5 ( semelhante ao famoso triangulo 3, 4 e 5) e a razao da progressao eh o raio do circuloinscrito no triangulo. Alias, demonstrar isto, que eh muito parecido com o problema agora enviado aa lista, foi um dos pontos que sugeri em Beleza Matematica. Artur Oi, Artur: Voce deve conhecer a formula geral para os lados dos triangulos retangulos com lados inteiros (os chamados triangulos pitagoricos): a = k*(m^2 + n^2) b = k*(m^2 - n^2) c = k*2mn onde m e n sao inteiros positivos, de paridades distintas, primos entre si e tais que m > n, e k eh um inteiro positivo qualquer (se k = 1, o triangulo eh dito primitivo). Assim, m = 2 e n = 1, temos o triangulo 3-4-5, e variando k, todos os demais triangulos pitagoricos semelhantes a ele. * Agora, uma consequencia curiosa dessa formula eh o fato de o raio do circulo inscrito num triangulo pitagorico qualquer ser sempre inteiro. Pra provar isso, basta calcular a area do triangulo de duas maneiras: Area = b*c/2 = p*r ==> r = b*c/(2*p) onde: p = semi-perimetro e r = raio do incirculo. Para um triangulo primitivo, temos p = m^2 + mn. Logo: r = (m^2 - n^2)*(2mn)/(2*(m^2+mn)) = (m - n)*n ==> sempre inteiro. Em particular, o raio do incirculo do triangulo 3-4-5 (m=2,n=1) eh igual a 1. * A enquete nao mencionou nada sobre estes triangulos pitagoricos porque os principais resultados sobre eles sao um pre-requisito para a demonstracao-padrao do caso n=4 do ultimo teorema de Fermat, que consta da lista. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Colégio Naval - 59
>Dois atiradores vão fazer tiro ao alvo valendo 2,00 >para cada acerto. De início um tinha 360,00 e o outro >180,00, mais ao terminar a série de tiros. O primeiro >tinha a mesma importância que o segundo. Quantos tiros >certos o segundo obteve mais que o primeiro? > Seja d a diferenca do numero de acertos do segundo e do primeiro. Como no final eles tinham quantidades iguais, entao: 360-2*d=180+2*d => d=45. []´s AA. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Psicoteste
Caro Jorge Luís, você manda problemas para a lista e depois diz que não quer que resolvam? Como podemos ter tanta paciência com esse sujeito? Pare de mandar problemas com enunciados pegadinhas... crie um site com estes problemas...quem quiser acessa... Sugestão de nome para o site: Enunciados Obscuros ou Enunciados que só eu sei interpretar! Para de pertubar importantes professores com suas cartinhas... andei sabendo que você escreve para os professores fazendo até ameaças. Meu pai já me contou estórias de malucos que perturbam matemáticos lá no Japão. Você é mais um desses? Abraços, OKAKAMO (MATSUBASHI) KOKOBONGO. ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Símbolos
Nao entendi nada desse mais ou menos.Seria a classica preguiça de escrever que produz algo como (-b+ou-(b^2-4*a*c)^0.5)/2*a? Por enquanto nao conheço simbologia HTML e assim nao ´posso produzir algo melhor... --- Bernardo Vieira Emerick <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi pessoal, > > Gostaria de saber como se denota + ou -, se tem > um símbolo específico. Num > problema sobre P.G. e triângulos proposto na > lista, eu dei como solução do > caso específico dos triângulos retângulos a > resposta sem usar nada. Até > esqueci de escrever o + ou -, que deveria > aparecer na resposta. > Desde já, obrigado, > Bernardo > > _ > MSN Messenger: converse com os seus amigos > online. > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Colégio Naval - 59
Oi André, Eu acho que a resposta é 90, mas confere depois se tem algum erro na minha explicação. Seja x o número de tiros que o que no começo tem 360 acertou, e y o número de tiros que o outro acertou. Então, 360 + 2x = 180 + 2y. Se fizermos y = x+k, sendo k a diferença que queremos obter, teremos que 360 + 2x = 180 + 2x + 2k ==> k = 90. Abraços, Bernardo From: Andre Araujo <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Colégio Naval - 59 Date: Wed, 3 Sep 2003 10:18:21 -0300 >Dois atiradores vão fazer tiro ao alvo valendo 2,00 >para cada acerto. De início um tinha 360,00 e o outro >180,00, mais ao terminar a série de tiros. O primeiro >tinha a mesma importância que o segundo. Quantos tiros >certos o segundo obteve mais que o primeiro? > Seja d a diferenca do numero de acertos do segundo e do primeiro. Como no final eles tinham quantidades iguais, entao: 360-2*d=180+2*d => d=45. []´s AA. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Geometria
1) Se o triangulo e retangulo em B e voce colocou que BC mede 1 cm,
entao, use o fato de sin(pi/3)=sqrt(3)/2 = BC/Hipotenusa , portanto,
Hipotenusa=2*BC/sqrt(3)= 2sqrt(3)/3. (Essa resposta nao tem na lista)
Mas eu estou achando que ao inves de BC, voce queria dizer BD=1cm nao e
? Porque se nao for isso, nem precisa de dados sobre as bissetrizes pra
determinar a hipotenusa. Se for BD=1cm me avise.
Leandro.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of
paraisodovestibulando
Sent: Tuesday, September 02, 2003 9:25 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Geometria
Olá Pessoal,
Gostaria de uma ajuda nessas duas questões:
Num triângulo ABC, retângulo em A, a medida do ângulo B
é 60º. As bissetrizes destes ângulos agudos se encontra
num ponto D. Se o segumento de reta BC mede 1 cm, então
a hipotenusa mede, em cm:
a)(1+sqrt(3))/2
b)1+sqrt(3)
c)2+sqrt(3)
d)1+2sqrt(2)
e)1+2sqrt(3)
Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente
iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única
possível para o perímetro de Q.
a)10
b)25
c)15
d)30
e)20
Grato
Mr. Crowley
("`-''-/").___..--''"`-._
`6_ 6 ) `-. ().`-.__.`)
(_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-'
_..`--'_..-_/ /--'_.' ,'
(il),-'' (li),' ((!.-'
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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[obm-l] Problema - Ajuda
Eu encontrei um problema que pede para provar que x^n >= 1 + n*x - n, para todo x>0 (x é real) e todo n natural. Valeu aí, para quem tentar. Abraços, Bernardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Geometria
Eu cometi um erro no problema 1 anterior, por favor, nao considere
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of
paraisodovestibulando
Sent: Tuesday, September 02, 2003 9:25 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Geometria
Olá Pessoal,
Gostaria de uma ajuda nessas duas questões:
Num triângulo ABC, retângulo em A, a medida do ângulo B
é 60º. As bissetrizes destes ângulos agudos se encontra
num ponto D. Se o segumento de reta BC mede 1 cm, então
a hipotenusa mede, em cm:
a)(1+sqrt(3))/2
b)1+sqrt(3)
c)2+sqrt(3)
d)1+2sqrt(2)
e)1+2sqrt(3)
Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente
iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única
possível para o perímetro de Q.
a)10
b)25
c)15
d)30
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RE: [obm-l] Problema - Ajuda
Tente usar Inducao finita: Para n=1, x >= 1 + x - 1 ok ! Para n=2, x^2 >=1 + 2x - 2 = 2x -1 (***) => x^2-2x+1 >=0 => (x-1)^2 >=0 pois x > 0 conforme seu enunciado. Suponha verdadeira a igualdade para n=k, ou seja, x^k >= 1 + kx - k, logo, para n=k+1 temos que provar x^(k+1)>=1+(k+1)x - (k+1) De fato, x.x^k >=x(1+kx-k) = x - kx + kx^2 >= x-kx + k(2x-1) (Use o fato ***) >= x - kx + 2kx - k >= x + kx - k >= x(1+k) - k (Soma 1 e diminui 1) >= 1 + (k+1)x - (k+1) Portanto, a igualdade e valida. Leandro -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Bernardo Vieira Emerick Sent: Wednesday, September 03, 2003 10:18 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema - Ajuda Eu encontrei um problema que pede para provar que x^n >= 1 + n*x - n, para todo x>0 (x é real) e todo n natural. Valeu aí, para quem tentar. Abraços, Bernardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
paraisodovestibulando wrote: Olá Pessoal, Gostaria de uma ajuda nessas duas questões: Num triângulo ABC, retângulo em A, a medida do ângulo B é 60º. As bissetrizes destes ângulos agudos se encontra num ponto D. Se o segumento de reta BC mede 1 cm, então a hipotenusa mede, em cm: a)(1+sqrt(3))/2 b)1+sqrt(3) c)2+sqrt(3) d)1+2sqrt(2) e)1+2sqrt(3) Imagino que o segmento de que vc fala seja o segmento BD, caso contrário o problema não faria sentido. O ponto D é o incentro. Trace a bissetriz do aãngulo A, que passa por D. No triângulo ABD, use a lei dos senos: 1/sen(45) = AD/sen(30) => AD = 1/sqrt(2). Trace a altura do triângulo ABD e chame o pé da altura dee H. Usando cos nos triângulos ADH e BDH, dedscubra que AH = 1/2 e BH = sqrt(3)/2 . Logo AB = [1+sqrt(3)]/2 . Agora olhe para o trtiângulo maior: cos60= AB/BC => AB = 1+sqrt(3) , se não errei nas contas. Mas talvez haja um jeito mais imediato de chegar a esse resultado... Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q. a)10 b)25 c)15 d)30 e)20 Aqui basta usar as desigualdades triangulares. A,B,C,D são os vértices e a diagonal que mede 4 é a que liga os vértices A a C. Olhe para o triângulo ABD: 6 < AB+AD . No triangulo BCD, 6 < BC+CD . Somando as duas, 12 Abraço Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] encontre as raizes...
Alguem poderia me ajudar a encontrar as raizes desta equacao utilizando conceitos de trigonometria? x^2 + (9x^2)/(x+3)^2 = 27 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema - Ajuda
Seja f(x)=x^n - 1 - n*x + n. Para todo n >0 f(1) =0. f '(x)=n*x^(n-1) - n. Para todo n >1, f '(1) =0. f "(x)=(n^2 - n)*x^(n-2). Logo f "(1) =0 se e somente se n^2 - n =0 => n =0 ou n =1. Para n >1 e x>0 , f "(x)>0. Então para n >1 , f(1) é mínimo local. Se n>1: f(x) = x^n - n*x +n -1 = (x-1)*(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1-n)= ((x-1)^2)*(x^(n-2)+2*x^(n-3)+3*x^(n-4)+...+(n-3)*x^2+(n-2)*x+n-1)= ((x-1)^2)*g(x) Note que se x>0 , g(x) é crescente e portanto nesse intervalo g(x)>g(0)=n-1>0. Também (x-1)^2>=0. Logo se n>1 e x>0,f(x)>=0 Se n=1: f(x)=x-1-x+1=0 Logo f(x)>=0 Se n=0: f(x)=1-1=0 Logo f(x)>=0 Então se x>0 e n é natural, então f(x)>=0 CQD André T. From: "Bernardo Vieira Emerick" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema - Ajuda Date: Wed, 03 Sep 2003 17:18:20 + Eu encontrei um problema que pede para provar que x^n >= 1 + n*x - n, para todo x>0 (x é real) e todo n natural. Valeu aí, para quem tentar. Abraços, Bernardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ENUNCIADOS OBSCUROS
Olá Pessoal! Vou pegando carona no sugestivo título do colega Okakamo. Obrigado! O tráfego de veículos que vão de Oakland para São Francisco pela ponte Bay de manhã fica congestionado das 7:30 às 11:00 horas. Até que o congestionamento se desfaça, às 11:00 horas, cada carro adicional que entra na ponte faz com que todos os carros que chegam depois esperem um pouco mais. A forma correta de mensurar este custo é somar os tempos de espera extra de todas as pessoas que ficam presas no congestionamento. Qual é o custo total de espera imposto por um carro que atravessa a ponte às 9:00 horas? (ETS-EUA) Numa confeitaria, nenhum pacote de balas sortidas contém o mesmo número de unidades que outro. Além disso, há mais pacotes do que balas no pacote mais cheio. Quantas balas tem um dos pacotes? (PSICOTESTE-TECBAN) Um abraço à todos e fico aguardando a elucidação do enigma do Camelo! Grato! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indução
Olá pessoal da lista! Envio abaixo um problema que caiu na olimpíada cearense. Não estou encontrando uma explicação satisfatória para ele... TEOREMA: Para todo n, num conjunto de n bolas, todas elas têm a mesma cor. COROLÁRIO: Todas as bolas do mundo têm a mesma cor. Demostração: A demonstração do teorema será feita usando o PIF. O resultado é válido para n=1 pois, num conjunto com uma bola, todas elas têm a mesma cor. Suponha que o teorema seja válido para todo conjunto com i bolas. Considere um conjunto com i+1 bolas. Retirando uma delas, o conjunto restante possui i bolas e, pela hipótese indutiva, todas possuem a mesma cor, digamos amarela. Retire uma das bolas amarelas desse conjunto e retorne a bola de cor desconhecida anteriormente retirada. Obtemos novamente um conjunto com i bolas e que, pelo que foi discutido anteriormente, possui i-1 bolas amarelas. Pela hipótese indutiva, possui todas as bolas da mesma cor. Segue que a bola de cor desconhecida também é amarela. Assim, todas as i+1 bolas são amarelas. Descubra o erro nesta demonstração. --- Acho que o erro está em considerar a passagem P(i-1) => P(i) como hipótese indutiva, e não como a própria tese. Mas não estou tão seguro disso... Abraço Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Indução
Oi Eduardo, Observe a seguinte passagem da "demonstracao": > Obtemos novamente um conjunto com i bolas e que, pelo que foi discutido > anteriormente, possui i-1 bolas amarelas. Pela hipótese indutiva, possui > todas as bolas da mesma cor. Isso so eh valido se i-1>0, ou seja i>=2. Assim, o fato de que a hipotese seja valida para i=1 nao implica que seja valida para i=2. Suponha i=1 e considere um conjunto com i+1=2 bolas. Tire uma, obtendo um conjunto com uma bola - amarela, por hipotese. Retire esta bola amarela, vc fica com um conjunto vazio. Retorne a bola inicialmente retirada. Vc agora tem um conjunto com uma unica bola, mas nao eh possivel afirmar que ela eh amarela, porque o conjunto com i-1=0 bolas era vazio. Assim, o processo indutivo eh cortado na raiz e nao deslancha. O processo daria ceto se partisse de i=2 com a hipotese inicial de que "em todo conjunto composto por 2 bolas, as bolas tem a mesma cor". Mas isto eh claramente falso. Tambem daria certo se partisse de i=1 com a hipotese "dados 2 conjuntos quaisquer compostos por uma unica bola, as bolas dos 2 conjuntos tem a mesma cor" - outro absurdo. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Triângulos (Mr. Crowley)
Olá Pessoal, Realmente o exercício anterior que enviei era BD=1cm e não "BC=1cm" como havia escrito, desculpem-me pelo erro. Preciso de mais ajuda nessas duas questões: AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo ABC. A mediana AD mede 7 e a mediana BE mede 4. O comprimento AB é igual a: a)2·sqrt(3) b)5·sqrt(2) c)5·sqrt(3) d)10 e)n.d.a ABC é um triângulo e M é um ponto médio sobre o lado BC, tal que MC=2MB. A razão entre as área dos triângulos ABC e MAC é: a)4 b)3 c)2 d)9/4 e)3/2 Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ENUNCIADOS OBSCUROS
HummmO primeiro problema estah ligado a processos estocasticos, possivelmente com chegada Poisson. Ja vi isso ser usado para achar o numero otimo de postos de pedagio em rodovias Artur > Olá Pessoal! Vou pegando carona no sugestivo título do colega Okakamo. > Obrigado! > > O tráfego de veículos que vão de Oakland para São Francisco pela ponte Bay > de > manhã fica congestionado das 7:30 às 11:00 horas. Até que o > congestionamento se > desfaça, às 11:00 horas, cada carro adicional que entra na ponte faz com > que > todos os carros que chegam depois esperem um pouco mais. A forma correta > de > mensurar este custo é somar os tempos de espera extra de todas as pessoas > que > ficam presas no congestionamento. Qual é o custo total de espera imposto > por um > carro que atravessa a ponte às 9:00 horas? (ETS-EUA) > > > Numa confeitaria, nenhum pacote de balas sortidas contém o mesmo número de > unidades que outro. Além disso, há mais pacotes do que balas no pacote > mais > cheio. Quantas balas tem um dos pacotes? (PSICOTESTE-TECBAN) > > > Um abraço à todos e fico aguardando a elucidação do enigma do Camelo! > Grato! > > > > > WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
