[obm-l] Re: [obm-l] dúvidass
Tarcio, Para o problema 1, sabemos que OB = OA = raio, logo o triângulo AOB é isósceles, e assim: med(OBA) = med(OAB). Como AB é um lado do pentágono, o ângulo AOB mede 360º/5 = 72º. Mas med(OBA) + med(OAB) + 72º = 180º (teorema angular de Tales). Dessa forma, med(OBA) = med(OAB) = 54º. Além disso, o raio sendo perpendicular no ponto B, med(MBA) = 90º - 54º = 36º. E, analogamente, para a tangência no ponto A. No triângulo AMB, teremos: med(AMB) + 36º + 36º = 180º, donde concluímos: med(AMB) = 108º. Alternativa C. Para o problema 2, a melhor forma é resolver por reduções ao absurdo. De imediato: sqrt(3) < sqrt(5) e qtrt(3) < qtrt(5), sendo qtrt(x) a raiz quinta de x. Suponhamos: sqrt(3) > qtrt(3) ==> 9*sqrt(3) > 3 (verdadeiro) cbrt(2) > qtrt(3) ==> raiz décima quinta de 32 > raiz décima quinta de 27 (verdadeiro) Assim, sabemos que qtrt(3) é o menor dos cinco números. Novamente, supondo: qtrt(5) > sqrt(3) ==> 5 > 9*sqrt(3) (falso, então qtrt(5) < sqrt(3)) qtrt(5) > cbrt(2) ==> raiz décima quinta de 125 > raiz décima quinta de 32 (verdadeiro) Logo, cbrt(2) < qtrt(5) < sqrt(3). Por fim, já sabemos que qtrt(3) < cbrt(2), então qtrt(3) < cbrt(2) < qtrt(5) < sqrt(3) < sqrt(5). Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Tarcio Santiago To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 21, 2004 8:31 PM Subject: [obm-l] dúvidass olá amigos poderiam ajudar neste problema; 1) Por um ponto M exterior a um círculo de centro O traçam-se as tangentes MA e MB(são segmentos). se a corda AB(segmento) é um lado do pentágono regular inscrito nesse círculo, a medida do ângulo AMB(M^) é igual a : a)144º b)120º c)108º d)96º e)72º 2) coloquem em ordem crescente os números abaixos; sqtr(3) , sqtr5, raizcúbica de 2, raiz quinta de 3, raiz quinta de 5. obs: não usar calculadora em hipótese alguma. como faço essa! ajudem por favor.
Re: [obm-l] Por Favor....
Junior, 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... <=> 1 + 1 + 3/4 + 1/2 + 5/16 + ... <=> 1 + (1 + 1/2 + ...) + (3/4 + 5/16 + ...) Calculando o limite da soma para a primeira progressão, sabendo-se que a razão é 1/2 e o primeiro termo é 1: 1/(1-1/2) = 2 Calculando o limite da soma para a segunda progressão, sabendo-se que a razão é 5/16 / 3/4 = 5/12 e o primeiro termo é 3/4: 3/4/(1-5/12) = 9/7 Somando-se: 1 + 2 + 9/7 = 30/7 é o limite da soma dos infinitos termos para a P.G. inicial. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 22, 2004 12:35 AM Subject: [obm-l] Por Favor Alguém poderia me ajudar nesse problema de P.G infinita. Não consigo achar o diabo da razão:1+2/2+3/4+4/8+5/16.GratoJunior
[obm-l] Por Favor....
Alguém poderia me ajudar nesse problema de P.G infinita. Não consigo achar o diabo da razão: 1+2/2+3/4+4/8+5/16. Grato Junior
Re: [obm-l] Correção -Questões
O chave da resolucao deve estar no fato de 2047 = 23*89, mas como nao estudei ainda teoria dos numeros ... Em uma mensagem de 21/2/2004 21:59:42 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Descupem , o certo para o problema 2 é : 2)Quais os dois últimos algarismos na parte inteira de 10^2047/(10^89 +7). []´s
[obm-l] Correção -Questões
Descupem , o certo para o problema 2 é : 2)Quais os dois últimos algarismos na parte inteira de 10^2047/(10^89 +7). []´s
Re: [obm-l] questões
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 21 February 2004 21:00: [EMAIL PROTECTED] > Estou emperrado nos seguintes problemas : > > 1)Qual o resto de 2269^n+1730^n + 1779^n-1776^n na divisão por 2001 ? > sendo n ímpar . É claro que para n=1 temos 4002 para a soma , > mas para um n ímpar qualquer ? > [...] Note que 2001 = 3*23*29, logo, se f(n) = 2269^n + 1730^n + 1779^n - 1776^n, basta achar f(n) mod 3, 23 e 29 -- podemos combinar os resultados depois com o Teorema Chinês dos Restos. Módulo 3, f(n) é 1^n + (-1)^n + 0^n - 0^n = 1 + -1 + 0 + 0 = 0. Módulo 23, f(n) é (-8)^n + 5^n + 8^n - 5^n. Como n é ímpar, (-8)^n = -8^n, logo f(n) = 0 (mod 23). Módulo 29, f(n) é 7^n + (-10)^n + 10^n - 7^n. Novamente, como n é ímpar, f(n) = 0 (mod 29). Logo 2001 sempre divide f(n), i.e. o resto da divisão de f(n) por 2001 é zero. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAN/g6alOQFrvzGQoRAuRvAJ9HHwlpzyeY+FYkExBSI6JCfRGELACg0JKG KZfm0N2qL2/A+s7+bG0UOS0= =CL5f -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questões
Estou emperrado nos seguintes problemas : 1)Qual o resto de 2269^n+1730^n + 1779^n-1776^n na divisão por 2001 ? sendo n ímpar . É claro que para n=1 temos 4002 para a soma , mas para um n ímpar qualquer ? 2)Quais os dois últimos algarismos na parte inteira de 10^2047/(10^83 +7). Agradeço qualquer ajuda []´s Pacini = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] oi!!!!
alguém da lista teria as provas dos concursos da EEar e da ESsa desdes os anos de 1980 até 2002 ? poderiam enviá-las se tiverem por favor! desde já agradeço!!
[obm-l] dúvidass
olá amigos poderiam ajudar neste problema; 1) Por um ponto M exterior a um círculo de centro O traçam-se as tangentes MA e MB(são segmentos). se a corda AB(segmento) é um lado do pentágono regular inscrito nesse círculo, a medida do ângulo AMB(M^) é igual a : a)144º b)120º c)108º d)96º e)72º 2) coloquem em ordem crescente os números abaixos; sqtr(3) , sqtr5, raizcúbica de 2, raiz quinta de 3, raiz quinta de 5. obs: não usar calculadora em hipótese alguma. como faço essa! ajudem por favor.
[obm-l] geometria
Olá pessoal , Poderiam me ajudar no problema abaixo ? Considere o retãngulo ABCD com []´s Pacini = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] MAIS DIVERSÃO!
Valeu! Adenilson e demais foliões! Caro Guilherme, obrigado pela atenção de resposta, pois a sua resolução foi a mais resumida e elegante que tenho recebido ao longo dos anos. Falta sòmente descobrirmos seu erro, já que a resposta correta é 5/13. Enquanto aguardamos ajuda dos colegas, vamos ao probleminha abaixo: Lança-se uma moeda três vezes. Se você obtiver menos de três caras, receberá, em dólares, o número de caras obtidas. Se conseguir três caras, poderá lançar um dado e receberá, também em dólares, o número de pontos feitos. Qual é o seu valor esperado, neste jogo? Aquele abraço! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Claro que sim, Pérsio. Cláudio, aliás, enviou uma para lista já. No entanto, não creio que ela seja exatamente o que se possa chamar de "trivial", pois envolve alguns artifícios geométricos e a manipulação algébrica de várias expressões. Evidentemente, ainda é mais "acessível" do que o Método de Ferrari, que torna o problema puramente algébrico, pois o único conceito de Geometria que se usa é a correspondência dos ângulos, amparada pela Trigonometria também. De qualquer forma, com mais ou menos trabalho braçal, chegou-se a mesma solução... Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: persio ca To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 21, 2004 10:55 AM Subject: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ? Pérsio
[obm-l] Duvida - Geometria Plana
Alguem sabe como se resolve: - Prove que as tangentes ao circulo circunscrito a um triângulo, passando nos seus vertices, interceptam os lados opostos em 3 pontos colineares. Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [Re]:Re: [obm-l] Forma canonica...
Artur, agora entendi o que vc quis dizer com o conjunto R^2. Na verdade,
esse nao eh um conjunto onde todos os elementos do dominio estariam elevados
ao quadrado como eu havia pensado, mas sim um conjunto formado pelos pares x
e z, onde x e z representam as variaveis da funcao. Mas, nesse caso, como
ficaria o grafico da funcao? seria uma parabola em um plano tridimensional?
> De fato, precisamos ter x+z =8. Hah sem duvida uma
> infinidade de reais x e z que satiafazem a esta
> igualdade. A cada par (x,z), temos associado um
> produto x.z, que o seu livro chamou de y.
> Tecnicamente, temos uma funcao de R^2 em R dada por
> f(x,z) = y = xz. Queremos calcular seu minimo quando x
> e z satifazem aa particularidade de que x+z = 8, isto
> eh, queremos calcular o minimo de f quando a mesma
> esta restrita ao subconjunto de R^2 dado por {(x,z) :
> x+z =8}, o qual eh uma reta em R^2. Neste caso, fica
> bem facil transformar este problema bidimensional em
> um unidimensional.
Kramba, pode me dar uma maozinha nesse problema. Acho que sua resolucao eh
simples, mas por causa da nuvem negra que esta saindo de minha cabeca nao
estou conseguindo enxerga-la... :)
> Sugestao: Outro problema bonito - dentre todos os
> retangulos de mesma area, qual o de menor perimetro?
> Dentre este retangulos, existe algum de maior
> perimetro?
> Artur
>
>
Obrigado por tudo...
Abraco...
...Rick...
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ? PérsioRafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Seja o triângulo retângulo ABC (reto em B) e admitindo, então, que os doislados do quadrado sejam coincidentes aos catetos, teremos, pelo teorema dePitágoras:(x+4)^2 + (y+4)^2 = 12^2, sendo x e y os valores que somados a 4 representamos catetos.Chamando o ponto de intersecção do quadrado com AC de P e o ponto deintersecção do quadrado com AB de Q, sabemos que o ângulo APQ e o ângulo ACBsão correspondentes, portanto têm a mesma medida. Assim,tg(APQ) = tg(ACB) ==> x/4 = 4/y ==> y = 16/xSubstituindo na relação anterior:(x+4)^2 + (4+16/x)^2 = 12^2 ==> (x^2+16)(x+4)^2 = 144x^2 ==>==> x^4 + 8x^3 - 112x^2 + 128x + 256 = 0Desgraçadamente, essa equação é completa do 4º. grau e não possui qualquerraiz racional. Pela regra de sinais de Descartes, sabemos que há 2 raízespositivas e 2 negativas. Agora, para descobrir tais raízes, só nos restautilizar o método de Ferrari (e não de Tartaglia, como foi dito, embora sejanecessário também) e rezar para que Deus nos ajudePrimeiramente, encontra-se um w real arbitrário para a equação seguinte:w^3 + 112w^2 + (128*8-4*256)w + 4*(-112)*256 - 128^2 - 8^2 * 256 = 0 <=><=> w^3 + 112w^2 - 147456 = 0Eis outro ponto crítico: trata-se de uma equação do 3º. grau incompleta. Noentanto, as raízes são racionais, não sendo obrigatório o uso do método deTartaglia, embora o tamanho do termo independente não seja muito simpáticopara usar o TRR...Assim, escolhendo-se uma das formas, obtêm-se as raízes: -96, -48 e 32.Arbitrariamente, escolherei w = 32.Definem-se R, D e E, usados para construir as raízes da equação em x:R = sqrt(8^2/4 - (-112) + 32) = 4*sqrt(10)D = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) ++ (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) - 4*sqrt(2)E = sqrt(3*8^2/4 - (4*sqrt(10))^2 - 2*(-112) -- (4*8*(-112)-8*128-8^3)/(4*4*sqrt(10)) = 4*sqrt(5) + 4*sqrt(2)x_1 = -8/4 + R/2 + D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2)x_2 = -8/4 + R/2 - D/2 = - 2 + 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2)x_3 = -8/4 - R/2 + E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) + 2*sqrt(5) + 2*sqrt(2) < 0(não convém)x_4 = -8/4 - R/2 - E/2 = - 2 - 2*sqrt(10) - 2*sqrt(5) - 2*sqrt(2) < 0(não convém)E, como sempre ocorre nesses casos, y = 16/x_1 = x_2 ou y = 16/x_2 = x_1.Logo, entendendo "o valor total de seus catetos" como a soma dos taiscatetos, (x_1+4)+(x_2+4) = 12+4*sqrt(10).É isso.Abraços,Rafael de A. Sampaio- Original Message -From: Douglas Ribeiro SilvaTo: [EMAIL PROTECTED]Sent: Thursday, February 19, 2004 77:21 PMSubject: RES: [obm-l] Descubra os lados do TrianguloAh... ainda bem que alguem mandou um e-mail sobre esse problema porque eu jáestava me esquecendo de perguntar isso...Vi a bela resolução do Cláudio para este problema, mas heis a questão... ese em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto à hipotenusa,tivéssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos?Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a questão, massempre caí numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadradabonitinha, mas os termos não se anularam. Gostaria que alguém mandasse aresolução desse jeito, se é que é possível resolver sem usarCardano-Tartaglia.Um abraço, Douglas Ribeiro=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Um problema de logica muito confuso
Primeiramente gostaria de pedir desculpa a todos da lista e especialmente ao claudio. Tenho certeza de que ele não quis ofender o professor em questão. E sobre o meu exemplo dado : "O conjunto formado SOMENTE pelos numeros da forma (+ ou -)n, tal que n pertence aos naturais". Apesar de alguém da lista(não me lembro quem) achar isso redundante outros também trocaram a palavra por um significado aproximado de QUE CONTENHA.Interpretando minha proposta corretamente só o conjunto Z é correto, Q e R por exemplo são descartados. Acho que o problema foi resolvido, vou apresentar os meus argumentos ao professor, falar da participação da lista. Espero que dessa vez ele entenda. Adenilson Junior Fortaleza-CE _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
