[obm-l] Trigonometria!
Bom dia, Queria saber como se resolve tais exercícios. 1) A igualdade tg x = a cotg x + b cotg 2x é válida para todo real tal que x (kpi)/2. 2) Estude as variações da seguinte função, f(x) = cos^4 x + sen^4 x Desde já agradeço a todos.Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: Epa...concordo que errei na conta...tinha chegado a conclusao que 8^100 (mod 10) = 2 quando e na verdade 6... mas ainda nao vi onde eliminei 2 demais... sobrou 2 no 4,6 e 8... nao sei como contar quantos 2 'de fato' foram eliminados ja que a multiplicacao parcial ja estava (mod 10)...talvez esse seja o problemaFrom: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: <[EMAIL PROTECTED]>Subject: Re: [obm-l] Digitos de 1000!Date: Tue, 23 Mar 2004 01:09:24 -0300on 22.03.04 22:45, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acabo de ver que na verdade nao e nada dificil e nao precisa saber quantos e quais sao os pirmos 1000, ja que e desnecessario fatorar o fatorial :) Queremos (1000!/10^429) mod 10 basta escrever 1*2*3*...*11*12*13*...*988*989*990*998*999*1000 ( mod 10 ) - 1^100*2^100*3^100*4^100*5^100*6^100*7^100*8^100*9^100*0^100 ( mod 10 ) que isso da 0 ja sabiamos mas como queremos o ultimo digito nao nulo vamos descartar 2,5 e 0 sobra entao: 1^100*3^100*4^100*6^100*7^100*8^100*9^100 = 1^99*1*2^99*2*3^99*3*...*8^100*9^99*9 mas como 9^99 = -1^99, 7^99 = -3^99, etc da pra ver que os termos se anulam com excecao do 8 , logo sobra 1*3*4*6*7*9*8^100, e nem precisa de muito braco pra chegar em 2 (mod 10) Acho que precisa de muito braco sim, pois 1*3*4*6*7*9*8^100 =9239995188653228887313669642624939338529460633668686832885533078271473575726495299247890497536 == 6 (mod 10).Agora falando serio. A sua solucao estah incorreta porque o que vocerealmente quer eh 1000!/10^249 (mod 10).Ou seja, voce quer eliminar 249 fatores iguais a 2 e 249 fatores iguais a 5de 1000! e depois reduzir o que sobrar mod 10.Ao eliminar todos os numeros terminados em 0, 2 e 5 do produto de 1000!, defato voce estarah retirando todos os 249 fatores 5. Soh que, junto com eles,voce estarah eliminando muito mais do que apenas 249 fatores 2, e este muitomais infelizmente afeta o valor do ultimo algarismo nao nulo de 1000!.[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html_Free up your inbox with MSN Hotmail Extra Storage. Multiple plans available. http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200362ave/direct/01/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Transformadas
Eu estava procurando na internet sobre o que a tal transformada de Laplace, e o que a transformada de Fourier... Mas s achei sites cheios de contas e de coisas que eu no entendo (sou um singelo autodidata do calculo 1) Alguem sabe me dizer o que isso, pra que serve? o que se ganha com elas? quem so elas? Afinal o que so as tai tranformadas (se for possivel explicar com elementos do universo do calculo 1 eu agradeo! hehehe) :) Obrigado, Fabiano. ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.624 / Virus Database: 401 - Release Date: 15/03/04
Re: [obm-l] Transformadas
A transformada de Laplace eh uma operacao que, a uma dada funcao definida nos reias, associa uma outra funcao atraves de uma integral. Assim, se f euma funcao definida em um subconjunto de R, a transformada de laplace de f, e a funcao F dada por F(s) = Integral (0 a inf) [f(t) e^(-st) dt. Eh utilizada na resolucao de equacoes diferenciais lineraes ordinarias. Tem grande aplicacao na teoria de circuitos eletricos. A transformada de Fourier tem alguma semelhanca e eh ainda mais geral, levando a uma funcao de finida no corpo dos complexos. E tambem muito utilizada em Fisica. O assunto eh um tanto extenso. Voce pode encontrar mais detalhes (embora a nivel ainda superficial, no Mathworld, http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html Artur --- Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estava procurando na internet sobre o que é a tal transformada de Laplace, e o que é a transformada de Fourier... Mas só achei sites cheios de contas e de coisas que eu não entendo (sou um singelo autodidata do calculo 1) Alguem sabe me dizer o que é isso, pra que serve? o que se ganha com elas? quem são elas? Afinal o que são as tai tranformadas (se for possivel explicar com elementos do universo do calculo 1 eu agradeço! hehehe) :) Obrigado, Fabiano. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.624 / Virus Database: 401 - Release Date: 15/03/04 __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE:[obm-l] Transformadas
Oi, Fabiano! Não sei o que vc vê em cálculo 1, mas se chegou até integral, dá pra entender. A Transformada de Laplace serve para que vc tenha inúmeras facilidades em resoluções de problemas que normalmente exigiriam muita conta. Por exemplo equações diferenciais (eu só vi isso em cálculo 4), ou seja, equações do tipo: y'' + 2y' = 3' + sen(x); onde y' = dy/dx, e y'' = dy'/dx. Vc pode transformar isso em uma simples equação bem mais fácil de se resolver. O que a transformada de Laplace faz é transformar uma função no domínio do tempo, em uma no domínio da freqüência, como exemplo: L[e^t] = 1/(s-1)= Lê-se A transformada de Laplace de e^t é 1/(s - 1). Onde: s é uma variável complexa. É bem melhor trabalhar com 1/(s-1) do que com e^t. Sabendo que a integral é o inverso da derivada: òf '(t)dt = f(t), definimos a transformada de Laplace como sendo a integral, de zero a infinito, do produto da função f(t) com o exponencial de -st. L[f(t)] = F(s). Isto é muito usado em sistemas de controle, para se achar a função de transferência de uma malha (aberta ou fechada). Se algo não ficou claro, é só perguntar! Espero que tenha compreendido!!! Ass.: Gleydson... -- Mensaje Original --Enviado por: Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED]Fecha:23/03/2004 9:28:40Para: [EMAIL PROTECTED]Título: [obm-l] Transformadas Eu estava procurando na internet sobre o que é a tal transformada de Laplace, e o que é a transformada de Fourier... Mas só achei sites cheios de contas e de coisas que eu não entendo (sou um singelo autodidata do calculo 1) Alguem sabe me dizer o que é isso, pra que serve? o que se ganha com elas? quem são elas? Afinal o que são as tai tranformadas (se for possivel explicar com elementos do universo do calculo 1 eu agradeço! hehehe) :) Obrigado, Fabiano. ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.624 / Virus Database: 401 - Release Date: 15/03/04Quer internet Grátis com qualidade e muito mais serviços? Escolha o Caminho Mais Curto! Ubbi free! baixe agora o discador - http://free.ubbi.com.br/ - Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Digitos de 1000!
Ai eu vi que seria util ver se 1000!=2^a*10^b*X.Veja o ultimo digito de X e o ultimo de 2^a.Talvez de Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: O problema e que 1000 e um pouquinho maior que 50... sao 168 primos 1000, por isso to tentando ver se tem uma outra saida-Auggybtw... para n=50 e simples e direto ver que 50!=30414093201713378043612608166064768844377641568960512com 12 zeros e ultimo algarismo nao nulo tb 2From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: Re: [obm-l] Digitos de 1000!Date: Mon, 22 Mar 2004 19:40:00 -0300 (ART)Ainda me lembro de como eu achei para n=50.Sao 10 zeros no final (acho).Alias essa foi um questao da OPMTemos que eliminar as fontes de zeros.Foiu o que fiz ai...1*1*3*4*1*6*7*8*9*111*6*13*14*3*16*17*18*19*221*11*23*12*1*26*27*28*29*331*16*33*34*7*36*37*38*39*441*21*43*22*9*46*47*48*49*1Os 1,11,21,31,41 nao importam. Agora e meio porrada mas da para andar bemDepois eu tento escrever decentemente, mas levem isso como alguma ajuda...So uma coisa: tenha um pouco mais de consideraçao pela sua lingua natal...Fabiano Sant'Ana <[EMAIL PROTECTED]>wrote:não tenho a minima idéia de como resolver isso sem usar "BrutalForce"(ou seja, calcular os números 1 a 1)...[]sFabiano- Original Message -From: Cláudio (Prática)To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Monday, March 22, 20004 12:08 PMSubject: [obm-l] Digitos de 1000!Oi, pessoal:Já que o assunto é potências de primos que dividem n!, aqui vai um bonitinho:1) (clássico) Por quantos zeros termina a representação decimal de 1000!2) (menos conhecido e mais difícil) Qual o último algarismo não nulo na representação decimal de 1000!3) (generalização) Qual o último algarismo não nulo de n!? Dica não muito útil: é sempre par se n 1.[]s,Claudio.---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com/).Veersion: 6.0.624 / Virus Database: 401 - Release Date: 15/03/04TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRICONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVEREFields Medal(John Charles Fields)-Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!_Check out MSN PC Safety Security to help ensure your PC is protected and safe. http://specials.msn.com/msn/security.asp=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
RE: [obm-l] DESCUBRA AS IDADES!!!
Este problema deve ser mais mais velho do que a soma das idades de todos da lista!! From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] DESCUBRA AS IDADES!!! Date: Mon, 22 Mar 2004 11:43:48 -0300 Oi, pessoal. Sou novo nesta lista e tive a curiosidade desta questão na mesma. Na verdade, o que me chamou atenção na OBM-L, foi uma pesquisa que fiz sobre a hipótese (conjectura, como queiram) de Riemann. Sobre a questão, ela tinha o seguinte enunciado na prova da primeira ou segunda fase do vestibular da COVEST (que aprova para entrar na UFPE e UFRPE) num ano que eu garanto estar entre 1990 (primeiro ano de duas fases) e 1997 (ano em que vi a questão): EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS, QUANDO EU TINHA A IDADE QUE TU TENS. QUANDO TIVERES A IDADE QUE TENHO, JUNTOS TEREMOS 72 ANOS. QUE IDADE TENHO EU AGORA? Ass.: Gleydson... Quer internet Grátis com qualidade e muito mais serviços? Escolha o Caminho Mais Curto! Ubbi free! baixe agora o discador - http://free.ubbi.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Desculpe-me pela insistência Re: [obm-l] Integral - Cardióde
Agradeço a Johann Peter por ter tentado me ajudar. No entanto, mesmo assim não consegui fazer a questão .. achar o volume do corpo formado pela rotação da cardióder = a(1+cos teta) em torno do eixo polar. Estou pagando Calculo I, to terminando o semstre agora. Sendo que o professor passou uma lista de questões como a mostrada acima. O problema é que eu fui pedir ajuda a ele e ele mesmo se enrolou não acertou fazer. Vasculhei na internet pra ver se conseguia encontrar algo que me ajudasse, porém o melhor q consegui foi um site q me fornecia uma fórmula para calcular o volume envolvendo coordenadas polares, ate ai otimo se nao fosse o detalhe de q a formúla usa integral dupla e ate agora em Calculo I so vemos ate a integral unica. Sei q o objetivo da lista não e pra tratar de problemas como o meu, no entanto apela a vcs(tipo off-topic) por nao ter mais ninguem pra pedir ajuda. Será q essa questao realmente dá pra fazer usando apenas uma integral? Por favor quem poder me ajudar eu agradeço, Roney KevinYahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha...
Sempre que nos naturais ce tem que fatorar em primos, nao podem haver duas fatoraçoes diferentes (a nao ser na ordem dos primos). Se alguem por exemplo diz que 24=3*2^2, nenhuma outra pessoa pode obter algo diferente (a nao ser que tenha errado a conta :( ). Se voce enfiasse o 1 como primo, voce poderia dizer que 24=2^2*3=1*2^2*3=1^2004*2^2*3=. PS: me diga dois numeros DIFERENTES que dividem 1Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED] wrote: desculpe a burrice, mas o que é fatoração unica :P(ué, 1 é divisivel por 1 e por ele mesmo :P hehehe)fabiano- Original Message -From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Tuesdday, March 23, 2004 12:32 AMSubject: Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha... Fabiano Sant'Ana wrote: o que é um primo absoluto? 1,2,3,5,7? Vale lembrar 1 não é primo; se fosse, não haveria fatoração única dos naturais.---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.624 / Virus Database: 401 - Release Date: 16/03/04=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria!
Parece que nao ha muito o que fazer sabe? So conta e mais conta... 2)cos^4 x+sen^4 x=(cos^2 x+sen^2 x)^2-2*(sen x*cos x)^2 cos^4 x+sen^4 x=1-2*1/4*sen^2(2x) cos^4 x+sen^4 x=1-1/2*sen^2(2x) cos^4 x+sen^4 x=1-1/2*(1/2*(1-cos 4x)) cos^4 x+sen^4 x=3/4+1/4*cos 4x Agora da pra ir ne? 1)Se ce me disser quem e a e quem e b talvez eu ajude...De qualquer modo, para nao ficar tudo as traças... tg x = a*cotg x + b*cotg 2x. Tudo isso, vezes sen x*cos x=sen 2x /2 da (apos continhas...) sen^2 x=a* cos^2 x +b/2* (2*cos^2 x-1) 1-cos^2 x=(a+b)* cos^2 x - b/2 1+b/2=(a+b+1)* cos^2 x Nao sei adivinhar pensamento mas ai vai algo: b=-2, a=1 acho que serve... -- Mensagem original -- Bom dia, Queria saber como se resolve tais exercícios. 1) A igualdade tg x = a cotg x + b cotg 2x é válida para todo real tal que x (kpi)/2. 2) Estude as variações da seguinte função, f(x) = cos^4 x + sen^4 x Desde já agradeço a todos. Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: Epa...concordo que errei na conta...tinha chegado a conclusao que 8^100 (mod 10) = 2 quando e na verdade 6... mas ainda nao vi onde eliminei 2 demais... sobrou 2 no 4,6 e 8... nao sei como contar quantos 2 'de fato' foram eliminados ja que a multiplicacao parcial ja estava (mod 10)...talvez esse seja o problema From: Claudio Buffara Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Subject: Re: [obm-l] Digitos de 1000! Date: Tue, 23 Mar 2004 01:09:24 -0300 on 22.03.04 22:45, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acabo de ver que na verdade nao e nada dificil e nao precisa saber quantos e quais sao os pirmos 1000, ja que e desnecessario fatorar o fatorial :) Queremos (1000!/10^429) mod 10 basta escrever 1*2*3*...*11*12*13*...*988*989*990*998*999*1000 ( mod 10 ) - 1^100*2^100*3^100*4^100*5^100*6^100*7^100*8^100*9^100*0^100 ( mod 10 ) que isso da 0 ja sabiamos mas como queremos o ultimo digito nao nulo vamos descartar 2,5 e 0 sobra entao: 1^100*3^100*4^100*6^100*7^100*8^100*9^100 = 1^99*1*2^99*2*3^99*3*...*8^100*9^99*9 mas como 9^99 = -1^99, 7^99 = -3^99, etc da pra ver que os termos se anulam com excecao do 8 , logo sobra 1*3*4*6*7*9*8^100, e nem precisa de muito braco pra chegar em 2 (mod 10) Acho que precisa de muito braco sim, pois 1*3*4*6*7*9*8^100 = 9239995188653228887313669642624939338529460633668686832885533078271473575726 495299247890497536 == 6 (mod 10). Agora falando serio. A sua solucao estah incorreta porque o que voce realmente quer eh 1000!/10^249 (mod 10). Ou seja, voce quer eliminar 249 fatores iguais a 2 e 249 fatores iguais a 5 de 1000! e depois reduzir o que sobrar mod 10. Ao eliminar todos os numeros terminados em 0, 2 e 5 do produto de 1000!, de fato voce estarah retirando todos os 249 fatores 5. Soh que, junto com eles, voce estarah eliminando muito mais do que apenas 249 fatores 2, e este muito mais infelizmente afeta o valor do ultimo algarismo nao nulo de 1000!. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html _ Free up your inbox with MSN Hotmail Extra Storage. Multiple plans available. http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200362ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! -O QUE FAREMOS AMANBHA A NOITE CEREBRO? -AQUILO QUE FAZEMOS TODAS AS NOITES, PINKY: TENTAR CONQUISTAR O MUNDO!! -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Correção de radicais e determinantes sem solução
O meu ZipMail nao le as suas figuras entao reenvie a mensagem. -- Mensagem original -- 01. Calcule sqrt(1+2*sqrt(1+3*sqrt(1+4*sqrt(... 02. Seja , uma matriz anti-simétrica de ordem nxn, isto é . Supondo que . Prove que detA é um quadrado perfeito. Max Fortaleza, Ce -O QUE FAREMOS AMANBHA A NOITE CEREBRO? -AQUILO QUE FAZEMOS TODAS AS NOITES, PINKY: TENTAR CONQUISTAR O MUNDO!! -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha...
On Tue, Mar 23, 2004 at 01:53:36AM -0300, Fabiano Sant'Ana wrote: desculpe a burrice, mas o que é fatoração unica :P (ué, 1 é divisivel por 1 e por ele mesmo :P hehehe) Fabiano Sant'Ana wrote: o que é um primo absoluto? 1,2,3,5,7? Vale lembrar 1 não é primo; se fosse, não haveria fatoração única dos naturais. De acordo com qualquer referência moderna, 1 não é primo. Mas se você olhar em livros bem antigos, você encontrará alguns em que 1 é definido como primo. Há na biblioteca do Impa uma tabelas de primos (chuto que sejam do início do século 20) e elas incluem o 1 como primo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral - Cardióde
Title: Re: [obm-l] Integral - Cardióde on 23.03.04 12:34, Roney Kevin at [EMAIL PROTECTED] wrote: Agradeço a Johann Peter por ter tentado me ajudar. No entanto, mesmo assim não consegui fazer a questão .. achar o volume do corpo formado pela rotação da cardióde r = a(1+cos teta) em torno do eixo polar. Estou pagando Calculo I, to terminando o semstre agora. Sendo que o professor passou uma lista de questões como a mostrada acima. O problema é que eu fui pedir ajuda a ele e ele mesmo se enrolou não acertou fazer. Vasculhei na internet pra ver se conseguia encontrar algo que me ajudasse, porém o melhor q consegui foi um site q me fornecia uma fórmula para calcular o volume envolvendo coordenadas polares, ate ai otimo se nao fosse o detalhe de q a formúla usa integral dupla e ate agora em Calculo I so vemos ate a integral unica. Sei q o objetivo da lista não e pra tratar de problemas como o meu, no entanto apela a vcs(tipo off-topic) por nao ter mais ninguem pra pedir ajuda. Será q essa questao realmente dá pra fazer usando apenas uma integral? Por favor quem poder me ajudar eu agradeço, Roney Kevin *** Oi, Roney: Esse problema eh mais interessante do que a maioria dos que aparecem na lista e a ideia do Dirichlet de usar o teorema de Pappus me parece a mais simples. Tambem acho lamentavel o seu professor passar um problema que ele mesmo nao consegue fazer. Isso pode acontecer a nivel de mestrado ou doutorado, mas em Calculo I? A area que vai ser rodada em torno do eixo polar eh a metade de cima da cardioide, ou seja, a area delimitada pelo eixo polar e pela curva R = a*(1 + cos(t)) com t variando de 0 a Pi. Seja A esta area (igual a metade da area da cardioide). Seja d a distancia do baricentro dessa metade ao eixo polar. Entao, V = 2*Pi*d*A. Mas d*A pode ser calculado por meio de uma integral dupla, como se segue: O elemento de area em coordenadas polares eh: dA = R*dR*dt (t = angulo). Voce quer integrar y*dA sobre a metade de cima da cardioide, onde y eh a distancia vertical do baricentro de dA ateh o eixo polar. Se este baricentro tem coordenadas (R,t), entao y = R*sen(t). Os limites de integracao sao simples de se determinar: Para cada t entre 0 e Pi, integre os dR de R = 0 a R = a*(1 + cos(t)), ou seja, da origem ateh a borda da cardioide. Depois, integre os dt de t = 0 a t = Pi. Logo, a integral de que falamos eh a seguinte: Int( t = 0...Pi ; R = 0...a*(1+cos(t)) ) y*dA = Int( t = 0...Pi ; R = 0...a*(1+cos(t)) ) R*sen(t)*R*dR*dt = Int( t = 0...Pi ) sen(t)*( Int( R = 0...a*(1+cos(t)) ) R^2*dR )*dt = Int( t = 0...Pi ) sen(t)*(a^3/3)*(1+cos(t))^3*dt Agora, faca a mudanca de variavies u = 1+cos(t). Entao, teremos: du = -sen(t)*dt t = 0 == u = 2; t = Pi == u = 0 Logo, a integral (sobre u) ficarah: Int( u = 2...0 ) (a^3/3)*u^3*(-du) = (a^3/3)*Int( u = 0...2 ) u^3*du = (a^3/3)*(16/4 - 0/4) = 4*a^3/3. Ou seja d*A = 4*a^3/3 e, portanto: V = 2*Pi*d*A = 8*Pi*a^3/3. []s, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Determinante Anti-Simétrico
Bom, eu tenho tentado tirar alguma conclusão através da definição de
determinante a partir de permutações...
já vou avisando que a mensagem é um pouco longa e eu não cheguei na
resposta, mas talvez seja interessante dar uma lida, a idéia parece ser boa.
se X é n x n, então
det(X) = somatório{f permutação} sign(f)*[produtório{i=1..n} X(i, f(i))]
onde sign(f) é 1 se a permutação é par ou -1 se ela é ímpar...
bom, eu não lembrava muito dessas coisas sobre permutações então encontrei
uma referência legal:
http://www.maths.lancs.ac.uk/dept/coursenotes/m225ril99/chapter5/chap5/node3.html
pra quem está enferrujado e não lembra o que é um ciclo:
http://www.maths.lancs.ac.uk/dept/coursenotes/m225ril99/chapter5/chap5/node2.html
Ok, agora vamos ao fato que eu quero chegar:
p é uma permutação
Defina
I(p) := {conjunto dos ciclos de comprimento ímpar de p}
P(p) := {conjunto dos ciclos de comprimento par de p}
p^(-1) := inversa de p, ou seja p^(-1)(p(i)) = i para todo i
Considere a relação ~ entre permutações, definida a seguir
p ~ q = [P(p) = P(q) e c está em I(p) = c ou c^(-1) está em I(q)]
ou seja, definimos que duas permutações estão relacionadas se seus ciclos
pares são iguais e se os ciclos ímpares são iguais ou inversos.
dá pra ver que p ~ p, p ~ q = q ~ p e p ~ q, q ~ u = p ~ u, ou seja ~ é
uma relação de equivalência.
podemos então particionar o conjunto de permutações utilizando a relação ~.
algumas observações:
há classes solitárias, representadas por permutações que só tem permutações
pares e portanto só possuem um elemento.
numa mesma classe o sinal de cada permutação é o mesmo já que o que importa
é o tamanho dos ciclos e estes são iguais dentro da classe.
ok, agora a parte legal, uma classe não solitária colabora com 0 na soma do
determinante de uma matriz anti-simétrica.
para ver isso tome p um representante de uma classe C não solitária, ou
seja, p tem k 0 ciclos de tamanho ímpar.
Defina Prod(f) := [produtório{i=1..n} X(i, f(i))]
somatório{f permutação, f ~ p} sign(f)*Prod(f) =
sign(p) * somatório{f permutação, f ~ p} Prod(f)
note que, como p tem k ciclos ímpares, podemos obter todas as permutações
equivalentes a p invertendo esses ciclos.
ao inverter um ciclo ímpar, por exemplo (a_1 a_2 ... a_{2m+1}), temos
(a_{2m+1} a_{2m-1} ... a_2 a_1).
como X é anti-simétrica A(a_i, a_{i+1}) = -A(a_{i+1}, a_i).
se p possui um ponto fixo então há um ciclo de tamanho 1, toda permutação f
equivalente a p tem Prod(f) = 0 e não há nada para provar.
quando invertemos exatamente um ciclo (ímpar) de p para obter uma
permutação f, |Prod(f)| permanece o mesmo, mas o sinal é trocado (estamos
trocando o sinal de um número ímpar de fatores do produtório), ou seja
Prod(f) = -Prod(p).
dessa forma se invertermos um número ímpar de ciclos ímpares de p
obtemos -Prod(p), se invertermos um número par de ciclos ímpares de p
obtemos Prod(p).
podemos inverter um número ímpar de ciclos ímpares de
Binomial[k, 1] + Binomial[k, 3] + Binomial[k, 5] + ...
maneiras, e um nr. par de ciclos ímpares de
Binomial[k, 0] + Binomial[k, 2] + Binomial[k, 4] + ...
maneiras.
sabemos que Binomial[k-1, i] + Binomial[k-1, i+1] = Binomial[k, i+1].
logo,
Binomial[k, 1] + Binomial[k, 3] + Binomial[k, 5] + ... =
(Binomial[k-1, 0] + Binomial[k-1, 1]) +
(Binomial[k-1, 1] + Binomial[k-1, 2]) + ... = 2^(k-1),
logo Binomial[k, 0] + Binomial[k, 2] + Binomial[k, 4] + ... = 2^(k-1)
isso nos diz que o número de termos Prod(p) na soma das permutações da
classe C é 2^(k-1) e o número de termos -Prod(p) também é 2^(k-1) e então a
soma final é 0.
para calcular o determinante podemos restringir a soma de Prod(f) onde f só
possui ciclos de tamanho par, será que isso ajuda no problema?
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha...
"Se alguem por exemplo diz que 24=3*2^2, nenhuma outra pessoa pode obter algo diferente (a nao ser que tenha errado a conta :( )." realmente, fatoracao unica! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 12:16 PM Subject: Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha... Sempre que nos naturais ce tem que fatorar em primos, nao podem haver duas fatoraçoes diferentes (a nao ser na ordem dos primos). Se alguem por exemplo diz que 24=3*2^2, nenhuma outra pessoa pode obter algo diferente (a nao ser que tenha errado a conta :( ). Se voce enfiasse o 1 como primo, voce poderia dizer que 24=2^2*3=1*2^2*3=1^2004*2^2*3=. PS: me diga dois numeros DIFERENTES que dividem 1Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED] wrote: desculpe a burrice, mas o que é fatoração unica :P(ué, 1 é divisivel por 1 e por ele mesmo :P hehehe)fabiano- Original Message -From: "Ricardo Bittencourt" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Tuesday, March 23, 2004 12:32 AMSubject: Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha... Fabiano Sant'Ana wrote: o que é um primo absoluto? 1,2,3,5,7? Vale lembrar 1 não é primo; se fosse, não haveria fatoração única dos naturais.---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.624 / Virus Database: 401 - Release Date: 16/03/04=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar ! a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Gradiente
Olá Pessoal Vcs sabem onde eu posso encontrar material on-line sobre gradiente de fácil de entender, com uma visão prática sobre o assunto. Se vcs puderem explicar sobre gradientes para mim eu agradeço. Pérsio Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Problema estranho..
Olá pessoal, eu normalmentenaum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s ClovesJr ICQ: 148686592
[obm-l] Re: [obm-l] Determinante Anti-Simétrico
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Achei esse problema muito interessante (se n=2k) e coloquei-o no Manual de Indução. A prova lá só não está completa pois uso um teorema devido a Jacobi que não está demonstrado. Mas o tal teorema é um resultado básico da teoria de det. No livro dou um exemplo para n=6. Para n=2,4 a expressão do det. pode ser obtida explicitamente (ver o Manual). []'s Luis -Mensagem Original- De: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Para: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 22 de março de 2004 21:17 Assunto: [obm-l] Determinante Anti-Simétrico Oi, pessoal: O Max mandou ontem pra lista o problema de se provar que o determinante de uma matriz anti-simétrica com coeficientes inteiros é sempre um quadrado perfeito. Eu tenho quase certeza de que há uma demonstração combinatória disso (por favor me ajude, Nicolau!) mas como não consegui imaginar nenhuma, aqui vai minha tentativa - incompleta - por álgebra, mesmo... Seja A anti-simétrica. Então, por definição, A^t = -A (A^t = transposta de A). Suponhamos também que A tenha ordem n. Inicialmente, temos que: det(A) = det(A^t) = det(-A) = (-1)^n*det(A). Assim, se n é ímpar, concluímos que det(A) = 0, que é trivialmente um quadrado perfeito. Suponhamos, agora, que n seja par. [corte] Pelas relações de Girard, como os coeficientes de p(x) são todos inteiros, podemos também concluir os valores de todos os polinômios simétricos em i*a, -i*a, i*b, -i*b, ..., i*g, -i*g são inteiros e, mais ainda, os de ordem impar sao iguais a zero. Em particular: det(A) = p(0) = a^2*b^2**g^2 = (a*b*...*g)^2 é inteiro e positivo (pois a, b, ..., g são reais). Isso quer dizer que |a*b*...*g| = raiz(m), onde m é um inteiro positivo. Resta provar que m é quadrado perfeito, coisa que, infelizmente, eu nao consegui... Nao preciso nem dizer que qualquer ajuda serah bem vinda. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema estranho..
Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim: 0 8 4 7 3 2 5 1 6 Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem advinha? -Original Message- From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM To: Grupo OBM Subject: [obm-l] Problema estranho.. Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s Cloves Jr ICQ: 148686592 http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592img=21 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema estranho..
De fato, eh impossivel. As suas condicoes implicam que
cada termo da matriz seja de, no maximo, 9. Se um
termo a_i_j for maior que 9, entao, como os termos sao
naturais distintos 2 a 2, na linha dele havera, no
caso mais favoravel, os numeros 1 e 2 e a soma serah
maior que 12. Assim, o conjunto viavel do qual voce
pode escolher termos para a matriz eh {1, 29}.
Como naum pode haver repeticao e a matriz eh 3 x 3, os
9 numeros serao escolhidos uma unica vez. Na linha em
que houver o 9, os outros dois numeros serao
necessariamente 1 e 2. Nenhuma outra escolha (a menos
de ordem) eh possivel. Mas isto impossibilita que, na
coluna do 9, tenhamos soma 12 (a soma serah maior).
Logo, o problema nao tem solucao.
Artur
--- Cloves Jr [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas
discussoes por estar ainda
no primeiro ano da facu mas estou precisando da
ajuda de vcs...
Eu sei que eh um problema basico mas eu naum
consegui resolver:
Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal
que a soma de cada linha
e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser
repetidos e todos são
naturais.
Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir
resolver por favor
gostaria de saber como...
[]s
Cloves Jr
ICQ: 148686592
__
Do you Yahoo!?
Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time.
http://taxes.yahoo.com/filing.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Problema estranho..
Eh, aih dah. Mas se vc seguir a convencao usual de que o 0 nao eh natural, entao o problema eh impossivel. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Problema estranho.. Data: 23/03/04 23:53 Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim: 0 8 4 7 3 2 5 1 6 Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem advinha? -Original Message- From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM To: Grupo OBM Subject: [obm-l] Problema estranho.. Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s Cloves Jr ICQ: 148686592 http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592img=21 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema estranho..
Aliás, é um problema interessante. Eu sei que para qualque matriz N x N com n ímpar é possível montar a tal da matriz. A formulação tradicional é para os Naturais SEM o zero, e a soma das linhas ou colunas seria sempre igual a N * ( N^2 + 1) / 2. (No caso da 3x3, a soma seria 15) Agora, quando N é par... -Original Message- From: Artur Costa Steiner [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 6:03 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Problema estranho.. Eh, aih dah. Mas se vc seguir a convencao usual de que o 0 nao eh natural, entao o problema eh impossivel. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Problema estranho.. Data: 23/03/04 23:53 Se vc considerar o 0 como natural, dá para fazer assim: 0 8 4 7 3 2 5 1 6 Mas o legal mesmo é fazer este exercício para uma matriz 20x20. Quem advinha? -Original Message- From: Cloves Jr [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 23, 2004 4:37 PM To: Grupo OBM Subject: [obm-l] Problema estranho.. Olá pessoal, eu normalmente naum ajudo muito nas discussoes por estar ainda no primeiro ano da facu mas estou precisando da ajuda de vcs... Eu sei que eh um problema basico mas eu naum consegui resolver: Dada uma matriz 3x3, encontrar os coeficientes tal que a soma de cada linha e cada coluna seja 12. Os coeficientes não podem ser repetidos e todos são naturais. Eu acho que eh impossivel mas se alguem conseguir resolver por favor gostaria de saber como... []s Cloves Jr ICQ: 148686592 http://web.icq.com/whitepages/online?icq=148686592img=21 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O TEOREMA DA ELEIÇÃO!
Ok! Nicolau e demais colegas! Grato pela sintética elucidação da tal pérola geométrica que, sem perda de generalidade, vou ficar com a definição do prof. Zoroastro Azambuja (PRISMATÓIDE!). A título de curiosidade, vejam abaixo um teorema comprovado pela primeira vez em 1878, por W. A. Whitworth e novamente em 1887 por J. Bertrand. Suponhamos que numa eleição o candidaro P obtenha p votos e o candiadto Q obtenha q votos com p q. Calcule a probabilidade de que P lidere a votação durante toda a contagem. NOTA: Quero deixar claro que a minha opção pelo nome da tal figura, não é nada pessoal, até porque a resolução enviada foi a melhor de todas que recebi. Ok! Um abraço à todos! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Determinante Anti-Simétrico
Achei esse problema muito interessante (se n=2k) e coloquei-o no Manual de Indução. esse manual tem versão eletrônica? se tiver, onde posso baixá-lo? gostaria de ver essa demonstração. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: Desculpe-me pela insistência Re: [obm-l] Integral - Cardióde
Ha um documento interessante sobre a cardioide em: http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml Se voce le frances, nao ha problema ! Ha um Gif animado interessante mostrando que ela tambem e uma epicicloide. De uma olhada. Leandro Los Angeles, CA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Roney Kevin Sent: Tuesday, March 23, 2004 7:35 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Desculpe-me pela insistência Re: [obm-l] Integral - Cardióde Agradeço a Johann Peter por ter tentado me ajudar. No entanto, mesmo assim não consegui fazer a questão . achar o volume do corpo formado pela rotação da cardióder = a(1+cos teta) em torno do eixo polar. ... Estou pagando Calculo I, to terminando o semstre agora. Sendo que o professor passou uma lista de questões como a mostrada acima. O problema é que eu fui pedir ajuda a ele e ele mesmo se enrolou não acertou fazer. Vasculhei na internet pra ver se conseguia encontrar algo que me ajudasse, porém o melhor q consegui foi um site q me fornecia uma fórmula para calcular o volume envolvendo coordenadas polares, ate ai otimo se nao fosse o detalhe de q a formúla usa integral dupla e ate agora em Calculo I so vemos ate a integral unica. Sei q o objetivo da lista não e pra tratar de problemas como o meu, no entanto apela a vcs(tipo off-topic) por nao ter mais ninguem pra pedir ajuda. Será q essa questao realmente dá pra fazer usando apenas uma integral? Por favor quem poder me ajudar eu agradeço, Roney Kevin Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Simplificação trigonométrica
Olá pessoal... estou com um problema para simplificar uma expressão trigonométrica mas não consegui encontrar relações para chegar na simplificação. A expressão é: tg²(80°) * [tg(60°) tg(50°)] / tg²(80°) [tg(50°) * tg(60°)] Se isso ajuda em alguma coisa, eu sei que a resposta é tg(30°) Agradeço qualquer ajuda na questão. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva
