[obm-l] Re: Equaçoes irracionaiis
Faltou dizer porque:
sqrt vem de square root.
Em 27 Mar 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Please, qual nomenclatura eu devo utilizar para raíz quadrada e divisão?
Em quanto nao sei, vou apenas escreve-la.
Me ajudem a resolver esta questao:
(Raíz Q x^2+9) - {15 / (Raíz Q x^2+9 ) }= 2
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para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Função Exponencial
Cara Josyleine: Como 192 = 3.2^6, sua equação equivale a 2^(x - 3) = 3^(x - 3). Isto acontece somente quando x -3 = 0, i.e., x = 3. L. A. Josyleine Bento da Silva wrote: Olá todos, sou nova na lista. Gostaria da ajuda de voces. Minha dúvida é a seguinte Como eu resolvo essa questão: 3.2^(x+3)=192.3^(x-3) _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
Algum feliz proprietario de um Maple ou similar poderia me dar os valores dos somatorios de k^6 e k^8? Em ambos, k varia de 1 ate n. Antecipadamente grato. Morgado OBS: Eu sei calcular os somatorios, so quero as respostas. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto. A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density function que escrevem os livros ingles? A função densidade de probabilidade é pra variáveis contínuas. A função distribuição de probabilidade é sua análoga para variáveis aleatórias discretas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
Algum feliz proprietario de um Maple ou similar poderia me dar os valores dos somatorios de k^6 e k^8? Em ambos, k varia de 1 ate n. Antecipadamente grato. Morgado OBS: Eu sei calcular os somatorios, so quero as respostas. de k^6 dá: 1/42 * n * (1+n) * (1+2n) * (1-3n+6n^3+3n^4) de k^8 dá: 1/90 * n * (1+n) * (1+2n) * (-3+9n-n^2-15n^3+5n^4+15n^5+5n^6) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto. A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density function que escrevem os livros ingles? Oi, Niski: Sem sofisticar muito, acho que pra maioria dos problemas (de um livro como o Ross, por exemplo) dah pra usar as seguintes definicoes: Funcao Distribuicao de Probabilidade de uma Variavel Aleatoria X: F: R - [0,1] dada por F(x) = Prob(X = x) Para Variaveis Aleatorias Continuas (dominio = R): Funcao Densidade de Probabilidade de X: f(x) = F'(x) = dF(x)/dx, de modo que F(x) = Integral(-infinito...x) f(t)*dt Para Variaveis Aleatorias Discretas (dominio = Z): Funcao Densidade de Probabilidade de X: f(n) = Prob(X = n), de modo que: F(n) = Soma(-infinito = k = n) f(k) Os casos mais patologicos (onde f nao eh Riemann-integravel ou F nao eh derivavel) voce trata a medida em que eles forem surgindo... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DÚVIDAs
TSD escreveu: 2- Quando cortamos um cilindro por um plano, a forma quadrática resultante pode ser: (A) circunferência ou elipse;(B) circunferência ou parábola;(C) circunferência ou hipérbole;(D) elipse ou parábola;(E) elipse ou hipérbole. a forma quadrática resultante ( oque quer dizer isso?) A resposta eh (A) circunferencia ou elipse. Se a normal do plano for paralela ao eixo do cilindro (ie, se o plano for perpendicular ao cilindro), temos uma circunferencia, de outra forma, temos uma elipse (desde que o plano nao seja paralelo ao eixo do cilindro) Quando vc intercepta um cilindro e um plano (desde que o plano nao seja paralelo a direcao longitudinal do cilindro), vc tem uma secao conica, que possui equacao geral na forma Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. Observe que essa equacao possui grau 2, dai o nome forma quadratica. Referencias sugiro o livro Analytic Geometry - A Vector Approach de Chales Wexler, mas eh um pouco antigo e dificil de achar. Vc encontra tambem em www.mat.ufmg.br/~regi o livro Matrizes, Vetores e Geometria Analitica de Reginaldo Santos (o autor do site) para download. []'s Douglas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
Aqui vai uma Solucao: a) Temos 2x + 5 = 0, 3x - 15 = 0, e -x - 4 = 0: Assim: x = -5/2 x = 5 x = -4 Para x -4: -(2x + 5) - (3x - 15) = (-x - 4) + 6x x = 7/5 Conclusion: no solution for x Para -4 = x -5/2: -(2x + 5) - (3x - 15) = -(-x - 4) + 6x x = 1/2 Conclusao: nenhuma solucao para x Para -5/2 = x 5: (2x + 5) - (3x - 15) = -(-x - 4) + 6x x = 2 Conclusao: x = 2 Para x = 5: (2x + 5) + (3x - 15) = -(-x - 4) + 6x x = -7 Conclusao: nenhuma solucao para x Logo, x = 2. b) Temos: -x + 5 = 0 e 7x - 5 = 0: Assim: x = 5 x = 5/7 Para x 5/7: (-x + 5) + (7x - 5) 2x x 0 Conclusao: 0 x 5/7 Para 5/7 = x 5: (-x + 5) - (7x - 5) 2x x 1 Conclusao: 5/7 = x 1 Para x = 5: -(-x + 5) - (7x - 5) 2x x 0 Conclusao: nenhuma solucao para x Logo, 0 x 1. 1 ) Resolver em R a)|2x+5| + |3x-15| = |-x-4| + 6x b) |-x+5| - |7x-5| 2x
[obm-l] provas resolvidas
Ola, alguem sabe informar onde posso encontrar provas resolvidas da Escola Naval, Ciaba, IME e ITA ? Grato, Guilherme Teles
Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8
Morgado, Uma solução interessante para os resultados que você quer é a utilização da Fórmula de Faulhaber. Se você não a conhecer, dê uma olhada em: http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html Na mesma página, há os resultados dos somatórios de k^p, sendo p = 1, 2, 3, ..., 10. Um forte abraço, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 12:27 PM Subject: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8 Algum feliz proprietario de um Maple ou similar poderia me dar os valores dos somatorios de k^6 e k^8? Em ambos, k varia de 1 ate n. Antecipadamente grato. Morgado OBS: Eu sei calcular os somatorios, so quero as respostas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] dúvida
Esclarecam-me uma duvida: Suponho que h seja a altura de um eixo imaginario (perpendicular ao solo) que vai do solo ateh a bala, passando pelo corpo da ave, certo ? Logo h eh crescente no intervalo [0,90º[, ou seja, a inclinacao da arma produz um angulo alfa, cujo cateto oposto eh h, certo ? Entao quanto maior for alfa (de 0 a 90, eh claro) maior sera h. Mas vejamos o sistema: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) Porque o h da primeira equacao eh o mesmo da segunda equacao ? As alturas nao serao diferentes de acordo com a declividade da arma ? Em uma mensagem de 27/3/2004 03:18:14 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: e escrevendo no papel: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) sqrt(3) = h / x == x = h/sqrt(3) sqrt(3)/3 = h / (x+d) sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d) h + d.sqrt(3) = 3h d = 2h/sqrt(3) d = 2h.sqrt(3)/3 bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs David M. Cardoso escreveu: Colocando esse sistema no mathematica: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) ele retorna: d = 2*h*raiz(3)/3 Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura "h" do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de: a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3
Re: [obm-l] Re: Equaçoes irracionaiis
Mais uma dica:
cbrt(r) = raiz cubica de um radicando r qualquer
cbrt = cubic root
Em uma mensagem de 27/3/2004 06:04:43 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Faltou dizer porque:
sqrt vem de square root.
Em 27 Mar 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Please, qual nomenclatura eu devo utilizar para raíz quadrada e divisão?
Em quanto nao sei, vou apenas escreve-la.
Me ajudem a resolver esta questao:
(Raíz Q x^2+9) - {15 / (Raíz Q x^2+9 ) }= 2
[obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida
Na verdade, a altura 'h' é a distância do solo até a reta que contém a trajetória do pato, suposto em movimento retilíneo e uniforme. Por isso, tanto para uma inclinação quanto para a outra da arma, a distância 'h' é a mesma, visto que só se pretende calcular os segmentos de reta percorridos até o instante em que a arma faz 60° com o solo e, posteriormente,até o instante que a arma faz 30° com o solo. A diferença das medidas dessessegmentos é, precisamente,o comprimento da distânciaque o pato percorreu do instante em que foi"quase" atingidoaté seratingido pelo segundo projétil. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 4:27 PM Subject: Re: RES: [obm-l] dúvida Esclarecam-me uma duvida: Suponho que h seja a altura de um eixo imaginario (perpendicular ao solo) que vai do solo ateh a bala, passando pelo corpo da ave, certo ? Logo h eh crescente no intervalo [0,90º[, ou seja, a inclinacao da arma produz um angulo alfa, cujo cateto oposto eh h, certo ? Entao quanto maior for alfa (de 0 a 90, eh claro) maior sera h. Mas vejamos o sistema: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) Porque o h da primeira equacao eh o mesmo da segunda equacao ? As alturas nao serao diferentes de acordo com a declividade da arma ?
Re: RES: [obm-l] dúvida
Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar com a arma nos pés... ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: e escrevendo no papel: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) sqrt(3) = h / x == x = h/sqrt(3) sqrt(3)/3 = h / (x+d) sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d) h + d.sqrt(3) = 3h d = 2h/sqrt(3) d = 2h.sqrt(3)/3 bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs David M. Cardoso escreveu: Colocando esse sistema no mathematica: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) ele retorna: d = 2*h*raiz(3)/3 Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura h do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de: a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: RES: [obm-l] dúvida
Suponho que h seja a altura de um eixo imaginario (perpendicular ao solo) que vai do solo ateh a bala, Na verdade eu entendi H como sendo a altura [...] q vai do solo ateh o pato. ... passando pelo corpo da ave, certo ? Logo h eh crescente no intervalo [0,90º[, ou seja, a inclinacao da arma produz um angulo alfa, cujo cateto oposto eh h, certo ? Entao quanto maior for alfa (de 0 a 90, eh claro) maior sera h. Mas vejamos o sistema: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) Porque o h da primeira equacao eh o mesmo da segunda equacao ? As alturas nao serao diferentes de acordo com a declividade da arma ? Eu entendi q o pato voava no sentido horizontal, paralelo ao chão e perpendicularmente ao eixo de H. se for assim mesmo, a altura do pato não varia. Por esse raciocínio, x seria a distancia, na horizontal, do atirador até o pato no primeiro disparo. E d seria a distância que o pato se afastou (sempre na horizontal) entre o primeiro e o segundo disparo. Em uma mensagem de 27/3/2004 03:18:14 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: e escrevendo no papel: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) sqrt(3) = h / x == x = h/sqrt(3) sqrt(3)/3 = h / (x+d) sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d) h + d.sqrt(3) = 3h d = 2h/sqrt(3) d = 2h.sqrt(3)/3 bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs David M. Cardoso escreveu: Colocando esse sistema no mathematica: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) ele retorna: d = 2*h*raiz(3)/3 Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura h do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de: a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida
Se estivéssemos calculando a distância do pássaro até o solo, precisaríamos desprezar a altura do observador. Tendo-se a distância do observador ao pássaro e o ângulo (com a horizontal) que o observador enxerga o pássaro, aplicaríamos a função seno e o problema estaria resolvido. Reitero: a altura do observador é desprezada em comparação à distância do pássaro ao solo. Para o problema em questão, isso é irrelevante, pois a distância calculada é a percorrida pelo pato no ar. Não é comparada ou desprezada a altura do observador (ou o ângulo que este enxerga) com a distância do pássaro ao solo. Embora esses problemas sejam clássicos da trigonometria, muitas vezes o excesso de cuidado para alguns exercícios é desnecessário para outros. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 4:50 PM Subject: Re: RES: [obm-l] dúvida Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar com a arma nos pés... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida
Talvez, fique mais claro dizer que a arma faz 30° e 60° com a horizontal, em vez de 30° e 60° com o solo. Assim, evita-se uma interpretação dúbia sobre a altura do observador estar sendo desprezada. - Original Message - From: Rafael To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 5:03 PM Subject: [obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida Na verdade, a altura 'h' é a distância do solo até a reta que contém a trajetória do pato, suposto em movimento retilíneo e uniforme. Por isso, tanto para uma inclinação quanto para a outra da arma, a distância 'h' é a mesma, visto que só se pretende calcular os segmentos de reta percorridos até o instante em que a arma faz 60° com o solo e, posteriormente,até o instante que a arma faz 30° com o solo. A diferença das medidas dessessegmentos é, precisamente,o comprimento da distânciaque o pato percorreu do instante em que foi"quase" atingidoaté seratingido pelo segundo projétil. Abraços, Rafael de A. Sampaio
[obm-l] 2^n ? pq ?
oi pessoal, sou novo na lista e nao sei se o assunto eh pertinente: ten um exercicio no livro 1 da colecao fundamentos de matematica elementar, q pede o seguinte: seja um conjunto A com n elementos. O conjunto P(A) tem 2^n elementos. Prove pelo principio da inducao finita. alguem poderia me ajudar ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: RES: [obm-l] dúvida
Heheh.. vixe maria... êta galerinha pra gostah de complicar: qdo o problema eh fácil sempre tem um pra comecar a botar detalhe ateh não saber mais - hehe... Pootz: h' = h + [altura da arma em relação ao chão] onde chão é o eixo imaginário bla bla bla . rs -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sábado, 27 de março de 2004 16:51 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] dúvida Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar com a arma nos pés... ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: e escrevendo no papel: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) sqrt(3) = h / x == x = h/sqrt(3) sqrt(3)/3 = h / (x+d) sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d) h + d.sqrt(3) = 3h d = 2h/sqrt(3) d = 2h.sqrt(3)/3 bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs David M. Cardoso escreveu: Colocando esse sistema no mathematica: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) ele retorna: d = 2*h*raiz(3)/3 Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura h do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de: a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] análise combinatória
De qts maneiras diferentes é possível distribuir 20 notas de R$333,33 para 4 pessoas? --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l] dúvida
quem caça aves de pé, o melhor eh deitado, assim o passaro nao vai te ver, a nao ser que seja um gaviao... hehehe chega de piadinhas... rs []s Ariel David M. Cardoso escreveu: Heheh.. vixe maria... êta galerinha pra gostah de complicar: qdo o problema eh fácil sempre tem um pra comecar a botar detalhe ateh não saber mais - hehe... Pootz: h' = h + [altura da arma em relação ao chão] onde chão é o eixo imaginário bla bla bla . rs -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sábado, 27 de março de 2004 16:51 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] dúvida Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar com a arma nos pés... ariel ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: e escrevendo no papel: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) sqrt(3) = h / x == x = h/sqrt(3) sqrt(3)/3 = h / (x+d) sqrt(3)/3 = h / ((h/sqrt(3)+d) h + d.sqrt(3) = 3h d = 2h/sqrt(3) d = 2h.sqrt(3)/3 bom, o papel retorna o mesmo resultado.. rs David M. Cardoso escreveu: Colocando esse sistema no mathematica: Tg[Pi/3] = h / x Tg[Pi/6] = h / (x+d) ele retorna: d = 2*h*raiz(3)/3 Um caçador avista um pato voando em direção horizontal, a uma altura h do solo. Inclina sua arma 60º e dá o primeiro disparo, que atinge a ave de raspão; abaixa a arma para 30º e dá o segundo disparo que atinge a ave em cheio. A distância percorrida pela ave, do primeiro ao segundo disparo,supondo que manteve o vôo na horizontal foi de: a)30 b)2h c)[2h*raiz(3)]/3 d)h/3 e)raiz(3)/3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Raizes de Polinomios
Oi, pessoal: Eu gostaria de achar alguma bibliografia sobre os seguintes tipos de problema e possiveis generalizacoes: 1) Seja S o conjunto das raizes de um polinomio complexo f(z). Dada uma transformacao linear T: C - C, achar o polinomio g(z) cujo conjunto de raizes eh T(S). 2) Dados os polinomios complexos f(z) e g(z) de mesmo grau, achar todas as transformacoes lineares T (se existirem) tais que se z_0 eh raiz de f entao T(z_0) eh raiz de g. Agradeco qualquer dica. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 2^n ? pq ?
seja um conjunto A com n elementos. O conjunto P(A) tem 2^n elementos.
Prove pelo principio da inducao finita.
Se A é um conjunto |A| = 1, temos A = {a} e P(A) = {Ø, {a}}
|P(A)| = 2^1.
suponha que para 1 = |A| = n tenhamos |P(A)| = 2^|A|
se |A| = n+1 então podemos expressar A = A' União {x}, com |A'| = n
|P(A')| = 2^n por hipótese de indução.
Note que nenhum conjunto de P(A') contém x. Para montarmos o conjunto das
partes de A, devemos incluir os conjuntos que contém x. Um subconjunto de A
que contenha x necessariamente contém um subconjunto de A' (que pode ser
vazio).
mais formalmente:
B = {S União {x} : S pertence a P(A')}
P(A) = P(A') União B
como os conjuntos P(A') e B são disjuntos, temos
|P(A)| = |P(A')| + |B| = 2 |P(A')| = 2^(n+1)
e o resultado segue por indução para todo n = 1.
você consegue ver porque |B| = |P(A')| ?
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] grafico de funçoes
sabem dizer se tem algum programa de computador (download gratis) que dado uma função o programa faça o grafico. por favor nome ou site. obrigado.
Re: [obm-l] 2^n ? pq ?
Se o assunto é Matemática, não vejo por que não ser pertinente à lista.
Entretanto, só não escreva e-mails com assunto dúvidas. Creio que se possa
definir melhor sobre o que se está escrevendo, isso é ótimo para quem
acompanha as mensagens, acredite.
Sobre o que você quer provar, a demonstração mais freqüente é a que se faz
por Análise Combinatória, mas mostrarei as duas formas.
Pelo Princípio da Indução Finita (PIF):
Se n = 1, então temos um conjunto A que possui 1 elemento, logo o conjunto
das partes (ou subconjuntos) de A tem dois elementos: o subconjunto vazio e
o subconjunto com o único elemento de A. Logo, n[P(A)] = 2^1 = 2 é
verdadeiro.
Agora, supondo-se que a propriedade seja verdadeira para n = p, provar-se-á
que ela é verdadeira para n = p + 1. Assim:
Hipótese: n = p == n[P(A)] = 2^p
Tese: n = p + 1 == n[P(A)] = 2^(p+1)
n = p == n[P(A)] = 2^p
Somando-se 1 na primeira igualdade, dobra-se n[P(A)], pois somar 1 ao valor
de n significa adicionar um elemento ao conjunto A; aos subconjuntos
anteriormente formados poder-se-á acrescentar ou não o elemento que
adicionamos ao conjunto A, o que nos dá o dobro de possibilidades. Desse
modo:
n = p + 1 == n[P(A)] = 2 * 2^p
n = p + 1 == n[P(A)] = 2^(p+1)
(c.q.d.)
A outra forma, por Análisa Combinatória, justifica a fórmula. Suponha:
A = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}
Quais seriam os subconjuntos possíveis de A? Primeiramente, o número de
combinações dos elementos de A escolhidos um a um; posteriormente, as
combinações dos elementos de A escolhidos dois a dois; e, analogamente, até
todos os elementos serem escolhidos. Dois detalhes são importantes: a ordem
de escolha desses elementos não importa para a formação do subconjunto, por
isso usamos as combinações; e, por fim, lembre-se de que o conjunto vazio é
subconjunto de qualquer conjunto. Matematicamente:
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,n)
em que C(n,k) = n!/[k!(n-k)!] são as combinações de n elementos
tomados k a k.
C(n,0) dos n elementos não se escolhe qualquer um (*)
C(n,1) dos n elementos escolhe-se um deles
..
C(n,n-1) dos n elementos escolhem-se n-1 elementos
C(n,n) dos n elementos escolhem-se todos eles (**)
* Subconjunto vazio.
** Todo o conjunto está contido nele próprio, por isso é subconjunto de si
mesmo.
Pelo teorema do binômio de Newton, temos:
(x + y)^n = Sum[C(n,k) * x^(n-k) * y^k, {k, 0, n}]
que significa que se estão somando as parcelas C(n,k)*x^(n-k)*y^k,
com k variando de 0 a n.
Fazendo x = y = 1, teremos:
(1 + 1)^n = Sum[C(n,k) * 1^(n-k) * 1^k, {k, 0, n}]
2^n = Sum[C(n,k), {k, 0, n}] = C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n)
(c.q.d.)
Espero ter podido esclarecer a sua dúvida e seja bem-vindo à lista.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 5:33 PM
Subject: [obm-l] 2^n ? pq ?
oi pessoal, sou novo na lista e nao sei se o assunto eh pertinente:
ten um exercicio no livro 1 da colecao fundamentos de matematica
elementar, q pede o seguinte:
seja um conjunto A com n elementos. O conjunto P(A) tem 2^n elementos.
Prove pelo principio da inducao finita.
alguem poderia me ajudar ?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória
Sejam x, y, z, t as quatro pessoas em questão, teremos: x + y + z + t = 20 Para contar o número de soluções dessa equação, tais sendo inteiras e positivas, faz-se: 23!/(3!20!) = 1771 maneiras diferentes .. Curiosidade: algum país deste mundo (ou de outro) usa notas de R$ 333,33. Dá inveja de tanta criatividade... Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: seanjr [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 5:59 PM Subject: [obm-l] análise combinatória De qts maneiras diferentes é possível distribuir 20 notas de R$333,33 para 4 pessoas? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
Obrigado Claudio. Espero agora nao precisar mais perguntar essas definicoes já que nesse exato momento estou segurando um exemplar do livro do Ross que tive que comprar. Ai ai minhas economias :( Claudio Buffara wrote: É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto. A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density function que escrevem os livros ingles? Oi, Niski: Sem sofisticar muito, acho que pra maioria dos problemas (de um livro como o Ross, por exemplo) dah pra usar as seguintes definicoes: Funcao Distribuicao de Probabilidade de uma Variavel Aleatoria X: F: R - [0,1] dada por F(x) = Prob(X = x) Para Variaveis Aleatorias Continuas (dominio = R): Funcao Densidade de Probabilidade de X: f(x) = F'(x) = dF(x)/dx, de modo que F(x) = Integral(-infinito...x) f(t)*dt Para Variaveis Aleatorias Discretas (dominio = Z): Funcao Densidade de Probabilidade de X: f(n) = Prob(X = n), de modo que: F(n) = Soma(-infinito = k = n) f(k) Os casos mais patologicos (onde f nao eh Riemann-integravel ou F nao eh derivavel) voce trata a medida em que eles forem surgindo... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: RES: [obm-l] dúvida
Vou ser bem burocrático, perdoe: O solo é o eixo x. O pato voa horizontalmente sobre a reta y = h. A arma do caçador rotaciona sobre o ponto (0, a). O primeiro disparo, a 60 graus, percorre a reta y = sqrt(3)*x + a e raspa no pássaro no ponto A ((h - a)/sqrt(3) ; h). O segundo disparo, a 30 graus, percorre a reta y = x/sqrt(3) + a e acerta o pássaro no ponto B ( sqrt(3)*(h - a) ; h). Logo, o pássaro percorre AB = 2*(h - a)/sqrt(3) = 2*(h - a)*sqrt(3)/3 , que envolve a altura a que consiste no ponto FIXO a partir do qual a arma rotaciona de 60 para 30 graus. Eu nao sou caçador, mas essa altura deve corresponder aos ombros de quem atira. :) Abraço, Daniel Rafael ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Se estivéssemos calculando a distância do pássaro até o solo, precisaríamos desprezar a altura do observador. Tendo-se a distância do observador ao pássaro e o ângulo (com a horizontal) que o observador enxerga o pássaro, aplicaríamos a função seno e o problema estaria resolvido. Reitero: a altura do observador é desprezada em comparação à distância do pássaro ao solo. Para o problema em questão, isso é irrelevante, pois a distância calculada é a percorrida pelo pato no ar. Não é comparada ou desprezada a altura do observador (ou o ângulo que este enxerga) com a distância do pássaro ao solo. Embora esses problemas sejam clássicos da trigonometria, muitas vezes o excesso de cuidado para alguns exercícios é desnecessário para outros. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: To: Sent: Saturday, March 27, 2004 4:50 PM Subject: Re: RES: [obm-l] dúvida Me chama atenção que não está sendo considerado o fato do homem não estar com a arma nos pés... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
Henrique, não é isso não. Dê uma olhada na resposta do Claudio. []s Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sat, 27 Mar 2004 11:31:26 -0300 Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto. A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density function que escrevem os livros ingles? A função densidade de probabilidade é pra variáveis contínuas. A função distribuição de probabilidade é sua análoga para variáveis aleatórias discretas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] grafico de funçoes
[EMAIL PROTECTED] escreveu: sabem dizer se tem algum programa de computador (download gratis) que dado uma função o programa faça o grafico. por favor nome ou site. obrigado. GNUPlot. Veja em http://www.gnuplot.info/ []'s Douglas Drumond = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 2^n ? pq ?
PERFEITO cara...valew mesmo... (rafael e domingos jr)
essa lista eh muito ativa...muito boa mesmo...brigado a todos...como eh
boa entender...
Se o assunto é Matemática, não vejo por que não ser pertinente à lista.
Entretanto, só não escreva e-mails com assunto dúvidas. Creio que se
possa
definir melhor sobre o que se está escrevendo, isso é ótimo para quem
acompanha as mensagens, acredite.
Sobre o que você quer provar, a demonstração mais freqüente é a que se faz
por Análise Combinatória, mas mostrarei as duas formas.
Pelo Princípio da Indução Finita (PIF):
Se n = 1, então temos um conjunto A que possui 1 elemento, logo o conjunto
das partes (ou subconjuntos) de A tem dois elementos: o subconjunto vazio
e
o subconjunto com o único elemento de A. Logo, n[P(A)] = 2^1 = 2 é
verdadeiro.
Agora, supondo-se que a propriedade seja verdadeira para n = p,
provar-se-á
que ela é verdadeira para n = p + 1. Assim:
Hipótese: n = p == n[P(A)] = 2^p
Tese: n = p + 1 == n[P(A)] = 2^(p+1)
n = p == n[P(A)] = 2^p
Somando-se 1 na primeira igualdade, dobra-se n[P(A)], pois somar 1 ao
valor
de n significa adicionar um elemento ao conjunto A; aos subconjuntos
anteriormente formados poder-se-á acrescentar ou não o elemento que
adicionamos ao conjunto A, o que nos dá o dobro de possibilidades. Desse
modo:
n = p + 1 == n[P(A)] = 2 * 2^p
n = p + 1 == n[P(A)] = 2^(p+1)
(c.q.d.)
A outra forma, por Análisa Combinatória, justifica a fórmula. Suponha:
A = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}
Quais seriam os subconjuntos possíveis de A? Primeiramente, o número de
combinações dos elementos de A escolhidos um a um; posteriormente, as
combinações dos elementos de A escolhidos dois a dois; e, analogamente,
até
todos os elementos serem escolhidos. Dois detalhes são importantes: a
ordem
de escolha desses elementos não importa para a formação do subconjunto,
por
isso usamos as combinações; e, por fim, lembre-se de que o conjunto vazio
é
subconjunto de qualquer conjunto. Matematicamente:
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,n)
em que C(n,k) = n!/[k!(n-k)!] são as combinações de n elementos
tomados k a k.
C(n,0) dos n elementos não se escolhe qualquer um (*)
C(n,1) dos n elementos escolhe-se um deles
..
C(n,n-1) dos n elementos escolhem-se n-1 elementos
C(n,n) dos n elementos escolhem-se todos eles (**)
* Subconjunto vazio.
** Todo o conjunto está contido nele próprio, por isso é subconjunto de si
mesmo.
Pelo teorema do binômio de Newton, temos:
(x + y)^n = Sum[C(n,k) * x^(n-k) * y^k, {k, 0, n}]
que significa que se estão somando as parcelas C(n,k)*x^(n-k)*y^k,
com k variando de 0 a n.
Fazendo x = y = 1, teremos:
(1 + 1)^n = Sum[C(n,k) * 1^(n-k) * 1^k, {k, 0, n}]
2^n = Sum[C(n,k), {k, 0, n}] = C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n)
(c.q.d.)
Espero ter podido esclarecer a sua dúvida e seja bem-vindo à lista.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 5:33 PM
Subject: [obm-l] 2^n ? pq ?
oi pessoal, sou novo na lista e nao sei se o assunto eh pertinente:
ten um exercicio no livro 1 da colecao fundamentos de matematica
elementar, q pede o seguinte:
seja um conjunto A com n elementos. O conjunto P(A) tem 2^n elementos.
Prove pelo principio da inducao finita.
alguem poderia me ajudar ?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória
Obrigado. Vc é meu chará e R$ é a moeda imaginária, rafaéis, de uma nação insular na costa de Passárgada. Lar do Coelhinho da páscoa. =P --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória
Contar o número de soluções da equação x + y + z + t = 20, tais sendo inteiras e *não-negativas*, como muito bem me lembrou o Prof. Morgado, equivale ao número de combinações completas de 4 elementos escolhidos 20 a 20, sendo que tais elementos (pessoas) podem aparecer repetidamente: uma mesma pessoa pode receber mais de uma nota, ou mesmo, nenhuma. Representando as combinações completas (ou, como preferem outros, combinações com repetição) por *C(n,k), temos que: *C(n,k) = C(n+k-1,k) = (n+k-1)!/(k!(n-1)!) Assim: *C(4,20) = 23!/(20!3!) = 1771. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Douglas Drumond [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 8:53 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória Rafael escreveu: Sejam x, y, z, t as quatro pessoas em questão, teremos x + y + z + t = 20 Para contar o número de soluções dessa equação, tais sendo inteiras e positivas, faz-se: 23!/(3!20!) = 1771 maneiras diferentes Por que? Nao consegui entender o porque de 23!/(3!20!) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema super interessante
Queria saber a respeita da solução do problema abaixo, citado na revista "superinteressante": Um professor de Matemática pede a seus dois melhores alunos: Arnaldo e Ulisses, que cada um pense em um número inteiro e positivo, e escreva esse número em um papel. Os dois alunos pensam nesses números escrevem em um papel, e entregam esse papel ao professor. O professor escreve na lousa a soma dos dois números que estava no papel. Mas escreve duas somas:1994 e 2990, uma correta e a outra errada, apenas apenas paraconfundir a respostar. O professor pergunta a Arnaldo:Você sabeque númeroseu colega pensou? Arnaldo responde: Não. O professor pergunta a Ulisses:Você já sabe o número que númeroseu colega pensou? Ulissesresponde: Não. O professor pergunta a Arnaldo:Você já sabe quenúmero que seu colega pensou? Arnaldo responde: Não. O professor pergunta a Ulisses:Você já sabe o número que seu colega pensou? Ulissesresponde: Sim. Determine quais os números pensados e escritos.
Re: [obm-l] grafico de funçoes
Graphmatica... é bastante simple de usar e razoalvelmente completo.. http://www.graphmatica.com/ Daniel S. Braz --- Douglas Drumond [EMAIL PROTECTED] escreveu: [EMAIL PROTECTED] escreveu: sabem dizer se tem algum programa de computador (download gratis) que dado uma função o programa faça o grafico. por favor nome ou site. obrigado. GNUPlot. Veja em http://www.gnuplot.info/ []'s Douglas Drumond = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DÚVIDAAAAAAAA
1))Numa faculdade, 60% dos alunos são homens,e 30% cursam economia. Se apenas 20% das mulheres cursam economia, qual a porcentagem dos alunos formado por homens, que cursam economia?
[obm-l] DÚVIDAAAA
1))Numa faculdade, 60% dos alunos são homens,e 30% cursam economia. Se apenas 20% das mulheres cursam economia, qual a porcentagem dos alunos formado por homens, que cursam economia?
RE: [obm-l] Problema super interessante
O primeiro nao e capaz de dizer qual soma e a correta, logo A 1994 U sabe que A = 1993 mas nao sabe qual a soma correta, logo 1993 = U = 997 A sabe que U = 997 e ainda assim nao sabe qual soma, logo 997= A = 997 U sabe que A = 997 e sabe seu proprio numero que foi 997 ou 1993 From: Max [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obmlista [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema super interessante Date: Sat, 27 Mar 2004 22:59:30 -0300 Queria saber a respeita da solução do problema abaixo, citado na revista superinteressante: Um professor de Matemática pede a seus dois melhores alunos: Arnaldo e Ulisses, que cada um pense em um número inteiro e positivo, e escreva esse número em um papel. Os dois alunos pensam nesses números escrevem em um papel, e entregam esse papel ao professor. O professor escreve na lousa a soma dos dois números que estava no papel. Mas escreve duas somas:1994 e 2990, uma correta e a outra errada, apenas apenas para confundir a respostar. O professor pergunta a Arnaldo:Você sabe que número seu colega pensou? Arnaldo responde: Não. O professor pergunta a Ulisses:Você já sabe o número que número seu colega pensou? Ulisses responde: Não. O professor pergunta a Arnaldo:Você já sabe que número que seu colega pensou? Arnaldo responde: Não. O professor pergunta a Ulisses:Você já sabe o número que seu colega pensou? Ulisses responde: Sim. Determine quais os números pensados e escritos. _ MSN Toolbar provides one-click access to Hotmail from any Web page FREE download! http://toolbar.msn.com/go/onm00200413ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória
Ahhh, agora faz sentido lar do Coelhinho da Páscoa, claro...! Ainda assim, duas pequenas correções sobre o que você escreveu: - Chará escreve-se com 'x', portanto, você, provavelmente, é meu *xará*; - Passárgada escreve-se com apenas um 's', veja: Pasárgada. Sim, não é só de Matemática que gosto na vida, felizmente... ;-) Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: seanjr [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 10:50 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória Obrigado. Vc é meu chará e R$ é a moeda imaginária, rafaéis, de uma nação insular na costa de Passárgada. Lar do Coelhinho da páscoa. =P = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DÚVIDAAAA
1))Numa faculdade, 60% dos alunos são homens,e 30% cursam economia. Se apenas 20% das mulheres cursam economia, qual a porcentagem dos alunos formado por homens, que cursam economia? Observe que o que está em vermelho são conclusões, partindo do enunciado. O que segue em Itálico significa a qual grupo se refere a porcentagem Faculdade Homens Mulheres 60 % 40 % Faculdade Economia Outro curso 30 % 70 % Mulheres Economia Outro curso 20 % 80 % Então, 20% de 40% da Faculdade são mulheres que fazem economia Matematicamente, temos 20/100 X 40/100 = 8/100. Ou seja, 8% da Faculdade são mulheres que fazem economia. Se 30% da Faculdade faz economia e 8% são mulheres que fazem economia, então, 22% (30% - 8%) da faculdade são homens que fazem economia.Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
