Re: [obm-l] CADEIAS DE MARKOV!
Olá pessoal, seja PC a probabilidade de fumar cigarros COM filtro a longo prazo, e seja SS a probabilidade de , tendo fumado cigarros SEM filtro numa semana, continuar a fumar cigarros SEM filtro na próxima semana. A probabilidade de fumar cigarros sem filtro, a longo prazo é (1-PC) . Portanto, (1 - PC) * SS = 0,7. Acontece que ¨Fumar cigarros SEM filtro¨ numa semana qualquer , é o resultado de ¨Fumar cigarros COM filtro¨ na semana anterior e então mudar , ou então de ¨Fumar cigarros SEM filtro¨ na semana anterior, e permanecer no hábito. Ou seja, (1 - PC) = PC * 0,2 + (1 - PC) * SS Logo, 1 - PC = PC * 0,2 + 0,7 de onde PC= 0,25 Abraços, Rogério. Olá Fabio, repare que a probabilidade de cigarros sem filtro em 2 semanas seguidas é de 0,7. Portanto, a probabilidade de cigarros com filtro não pode ser maior que 0,3 , certo? []s Rogério. [EMAIL PROTECTED] said: [...] Os hábitos de fumar de um homem são como segue. Se ele fuma cigarros com filtro numa semana, ele muda para cigarros sem filtro na semana seguinte com probabilidade 0,2. Por outro lado, a probabilidade de que ele fume cigarros sem filtro, em duas semanas seguidas é 0,7. A longo prazo, durante que parte do tempo ele fuma cigarros com filtro? [...] A matriz de transição da cadeia é 1/10*[8 3; 2 7], que tem apenas um autovetor com autovalor associado igual a 1, que é t*(3, 2). Como a soma das probabilidades tem que valer 1, t vale 5, logo ele fuma cigarros com filtro com probabilidade 3/5 a longo prazo. []s, - -- Fábio Dias Moreira _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Agua e cachaca
Olá pessoal, Na fazenda de um tio, descobri um barril de cachaça pura, quase vazio e preso ao chao. O barril é dotado de uma microtela horizontal ao nível de 1L, que impede que se retire líquido abaixo da mesma, isto é, este barril nunca tem menos que 1L de líquido. Disponho de uma pipeta e 2 baldes ( 2L cada um) , um deles vazio, e o outro com 1L de água pura, e pretendo retirar cachaça do barril através de acréscimos e retiradas de líquido, de forma a ter, no final, 1L de mistura de cachaça e água em um de meus baldes. Sabendo que cachaça e água misturam-se imediatamente , e de forma homogênea, pergunto: qual o máximo de cachaça que conseguirei retirar do barril? Abraços, Rogério. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Agua e cachaca
Olá pessoal, Na fazenda de um tio, descobri um barril de cachaça pura, quase vazio (com apenas 1L de cachaça) e preso ao chão. O barril é dotado de uma microtela horizontal ao nível de 1L, que impede que se retire líquido abaixo da mesma, isto é, este barril nunca tem menos que 1L de líquido. Disponho de uma pipeta e 2 baldes ( 2L cada um) , um deles vazio, e o outro com 1L de água pura, e pretendo retirar cachaça do barril através de acréscimos e retiradas de líquido, de forma a ter, no final, 1L de mistura de cachaça e água em um de meus baldes. Sabendo que cachaça e água misturam-se imediatamente , e de forma homogênea, pergunto: qual o máximo de cachaça que conseguirei retirar do barril? Abraços, Rogério. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!!
Desculpe minha ignorância mas será que você poderia ser mais claro??? Não consegui ver como demonstrar a partir de tal sequencia!!! []'s Thiago FerraiolFábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-Hash: SHA1Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]>said: Pessoal... Dado dois números irracionais, como mostrar que sempre existe (ou não existe) um numero racional entre eles??? [...]Considere uma seqüência (r_1, r_2, ...) de aproximações racionais por excesso do extremo inferior.[]s,- -- Fábio Dias Moreira-BEGIN PGP SIGNATURE-Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)iD8DBQFA0nM8alOQFrvzGQoRAgG0AJ9U/RgO1VbIGarm7xtMJ+bPli5eUACdHGzjYJdVaXS3S+nCwNbxSpvK/Dk==Thbs-END PGP SIGNATURE-=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Crie seu Yahoo! Mail, agora com 100MB de espaço, anti-spam e antivírus grátis!
RE: [obm-l] PAREAMENTOS!
Bom dia Jorge, Claudio, e demais colegas da lista ! Uma das formas desse problema, que costuma se apresentar a todos nós pelo menos uma vez por ano, é : Qual a probabilidade de se obter um sorteio válido numa reunião de amigo oculto? (sorteio válido é aquele em que ninguém sorteia a si mesmo). E daí, deriva-se outro problema, mais bonito, sobre o mesmo tema: Qual a probabilidade de haver pelo menos uma troca mútua de presentes numa reunião de amigo oculto? Abraços a todos! Rogério. From: [EMAIL PROTECTED] Oi, Pessoal! O problema seguinte aparece em várias formas e tem uma solução surpreendente devida a Montmort (1708). Generalizações desse problema foram consideradas por Laplace e vários outros autores. Dois baralhos iguais cada um deles com N cartas distintas, são embaralhados separadamente de tal forma que suas cartas fiquem numa ordem aleatória e a seguir as cartas são colocadas uma frente à outra. Diremos que ocorreu um pareamento (coincidência ou encontro) se uma carta ocupar o mesmo lugar em ambos os baralhos. Pareamentos podem ocorrer em qualquer um dos N lugares em vários lugares simultaneamente. Esse problema pode ser descrito de várias formas dando origem a problemas curiosos e divertidos. Por exemplo, os dois baralhos podem ser subistituídos por um conjunto de N cartas e seus respectivos envelopes, com uma secretária distraída sendo encarregada de fazer a distribuição aleatória das cartas pelos envelopes. Outra maneira seria considerarmos chapéus que são misturados e em seguida devolvidos a seus donos. Um pareamento ocorre quando uma pessoa recebe seu próprio chapéu. Seria instrutivo arriscar um palpite sobre a maneira pela qual a probabilidade de um pareamento depende de N. Qual é a relação entre a probabilidade de um pareamento de chapéus, num jantar de oito pessoas, com a probabilidade correspondente numa reunião de dez mil pessoas? Parece surpreendente que essa probabilidade seja praticamente independente de N e valha aproximadamente 2/3. Abraços! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!!
Title: Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!! Tente o seguinte: Dados dois reais quaisquer, a e b, com a b, existe um inteiro positivo n tal que: n 1/(b-a) == 0 1/n b-a. Agora, particione a reta real em intervalos da forma [k/n,(k+1)/n), onde k percorre o conjunto dos inteiros. Como o comprimento desses intervalos eh 1/n b - a, alguma extremidade de pelo menos um deles vai cair no intervalo (a,b). Mas as extremidades desses intervalos sao todas racionais. []s, Claudio. on 18.06.04 08:48, Thiago Ferraiol at [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe minha ignorância mas será que você poderia ser mais claro??? Não consegui ver como demonstrar a partir de tal sequencia!!! []'s Thiago Ferraiol Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol said: Pessoal... Dado dois números irracionais, como mostrar que sempre existe (ou não existe) um numero racional entre eles??? [...] Considere uma seqüência (r_1, r_2, ...) de aproximações racionais por excesso do extremo inferior. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0nM8alOQFrvzGQoRAgG0AJ9U/RgO1VbIGarm7xtMJ+bPli5eUACdHGzj YJdVaXS3S+nCwNbxSpvK/Dk= =Thbs -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Crie seu Yahoo! Mail http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.info.mail.yahoo.com/ , agora com 100MB de espaço, anti-spam e antivírus grátis!
Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] said: Desculpe minha ignorância mas será que você poderia ser mais claro??? Não consegui ver como demonstrar a partir de tal sequencia!!! [...] Uma propriedade fundamental de todos os números reais é que eles podem ser tão bem aproximados por racionais quanto queiramos. Logo, se o seu intervalo é [a, b], existe um certo r a que aproxima a com erro menor que e, para todo e positivo. Em particular, existe um certo r tal que |r - a| |b - a|. Mas como r a, isso implica r - a b - a == r b == a r b, com r racional. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0vh+alOQFrvzGQoRAoc0AJ0cgBty6LrwFrE2YJJ2PdNJi4WNEQCfbQRI u9bmEnhHG7x/g3g/gSco8VM= =S+LM -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.
Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o
conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
Logo, A naum eh vazio.
Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
compacto.
Artur
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
limitada é um conjunto compacto não vazio?
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Re: [obm-l] Eureka 01
Claudio, Algumas de minhas duvidas estao no corpo de sua resolucao. Em uma mensagem de 16/6/2004 09:46:16 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 16.06.04 00:20, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Os vertices de um decagono regular convexo ABC...J devem ser coloridos usando-se apenas as cores verde, amarela e azul. De quantos modos isso pode ser feito se vertices adjacentes nao podem receber a mesma cor? a)1022 b)1024 c)1026 d)1524 e)1536 Oi, Fael: Uma ideia eh comecar com poligonos pequenos. Assim, seja P(n) = numero de formas de se pintar um n-gono regular nas condicoes do enunciado. Pro triangulo, nao tem muito misterio: P(3) = 3*2*1 = 6 Calculo de P(4): Seja o quadrado ABCD. Imagine que pintamos os vertices A e B com as cores 1 e 2, respectivamente. Se o vertice C tiver a cor 1, entao D poderah ser 2 ou 3. Se o vertice C tiver a cor 3, entao D soh poderah ser 2. Obviamente, C nao poderah ter a cor 2. Logo, fixadas as cores de A e B, teremos 3 possibilidades para as cores dos outros dois vertices. Como podemos escolher as cores de A e B de 3*2 maneiras, o numero total de pinturas distintas dos vertices do quadrado eh 3*2*3 = 18. Ou seja, P(4) = 18. A partir daqui, a melhor ideia que me ocorre eh tentar achar alguma relacao de recorrencia. Considere um n-gono regular e tres vertices adjacentes dele - A, B e C. Ao pintar seus vertices nas condicoes do enunciado (o que pode ser feito de P(n) maneiras distintas), teremos exatamente dois casos: 1) A e C tem cores diferentes. Nesse caso, a cor de B eh unicamente determinada e podemos considerar que esta pintura originou-se de um (n-1)-gono, pintado de acordo com o enunciado, e no qual se inseriu o n-esimo vertice (B) entre dois vertices existentes (A e C -que tinham cores distintas). Isso pode acontecer de P(n-1) maneiras diferentes. 2) A e C tem cores iguais. Nesse caso, podemos considerar que este n-gono originou-se de um (n-2)-gono regular, pintado de acordo com o enunciado, onde um vertice (A) dividiu-se em dois (A e C - da mesma cor), resultando em n-1 vertices, e inseriu-se um vertice (B - de cor diferente) entre os dois (total = n vertices). A cor deste ultimo vertice pode ser escolhida de 2 maneiras distintas. Logo, isso pode acontecer de 2*P(n-2) maneiras diferentes. Assim, temos a recorrencia: P(n) = P(n-1) + 2*P(n-2). Juntamente com P(3) = 6 e P(4) = 18, podemos achar P(n) para qualquer n. Equacao caracteristica: x^2 - x - 2 = 0 (De onde voce tirou esta equacao caracteristica ? *Equacao caracteristica* eh um conceito ou uma expressao utilizada por voce ?) == raizes: -1 e 2 == P(n) = A*(-1)^n + B*2^n. (Por que aqui voce fez A*[raiz_1]*(-1)^n + B*[raiz_2]^n ? Quem sao estes A´s e B´s ? Qual a logica desta equacao ? P(3) = -A + 8B = 6 P(4) = A + 16B = 18 == A = 2 e B = 1 == P(n) = 2*(-1)^n + 2^n == P(10) = 1026 == alternativa (c). []s, Claudio.
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Title: Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
A demonstracao do Artur me fez rever a minha demonstracao e, como era de se esperar, achei um erro no 2o. paragrafo: um conjunto limitado soh com pontos isolados nao eh necessariamente finito e nem compacto.
Contra-exemplo: {1/n | n eh inteiro positivo}. Este conjunto estah contido no intervalo [0,1] e {1/n} inter (1/n - 1/(2n^2),1/n + 1/(2n^2)) = {1/n}.
Alem disso, 0 eh um ponto de acumulacao que nao pertence ao conjunto.
Mas, por sorte, o paragrafo era desnecessario pois, para provar que X eh fechado, bastava garantir que X contenha todos os pontos de acumulacao e isso foi feito no 3o. paragrafo.
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 14:37, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja (x_n) a tal sequencia.
Como (x_n) eh limitada, o teorema de Bolzano-Weirstrass garante que ela tem alguma subsequencia convergente. Logo, o conjunto X dos valores de aderencia de (x_n) eh nao vazio.
Alem disso, X certamente eh limitado.
Se todos os pontos de X forem isolados, entao, como X eh limitado, X serah finito e, portanto, compacto.
Assim, seja a um ponto de acumulacao de X.
Cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem um elemento de X distinto de a (de fato, uma infinidade de tais elementos).
Este elemento de X serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
Logo, cada conjunto aberto contendo a vai conter tambem termos da sequencia (x_n) com indices arbitrariamente grandes.
Isso significa que a serah o limite de alguma subsequencia de (x_n).
Em outras palavras, a pertence a X, o que implica que X eh fechado.
Como X eh limitado, concluimos que X eh compacto.
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 12:04, Wellington at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto não vazio?
[ ]¹s
Re: [obm-l] Eureka 01
Title: Re: [obm-l] Eureka 01 Sua duvida eh sobre equacoes de recorrencia. De uma olhada na Eureka 09. De qualquer forma, a ideia eh a seguinte: Dada a recorrencia: P(n) = P(n-1) + 2*P(n-2), parece ser bem razoavel que procuremos solucoes da forma P(n) = x^n, para algum x real. Por que isso eh razoavel? Porque se tivessemos, por exemplo, a recorrencia de 1a. ordem (ou seja, P(n) expresso apenas em funcao de P(n-1)) P(n) = k*P(n-1), a solucao seria obviamente da forma P(n) = A*k^n. Logo, talvez valha a pena tentar uma solucao da mesma forma para uma recorrencia de 2o. ordem onde P(n) eh expresso como funcao de P(n-1) e P(n-2)) Se uma tal solucao existir, entao vai valer x^n = x^(n-1) + 2*x^(n-2), certo? Dividindo por x^(n-2) e passando tudo pro lado esquerdo, voce fica com: x^2 - x - 2 = 0. Isso significa que se existir x tal que P(n) = x^n, ele soh poderah ser -1 ou 2. Jah que temos dois valores possiveis para x, que tal testar uma combinacao linear deles, justamente da forma P(n) = A*(-1)^n + B*2^n, onde A e B sao parametros reais a serem determinados. Por que uma combinacao linear? Porque se (-1)^n e 2^n satisfazem a recorrencia P(n) = P(n-1) + 2*P(n-2), entao qualquer combinacao linear deles tambem vai satisfazer. Pode conferir. E como determinar A e B? Simples: a partir das condicoes iniciais: P(3) = 6 e P(4) = 18. Resolvendo o sisteminha resultante, achamos A = 2 e B = 1, donde: P(n) = 2*(-1)^n + 2^n. Repare que a argumentacao acima nao provou nada. Apenas apresentou uma forma plausivel de se adivinhar a solucao da equacao de recorrencia. No entanto, pode-se provar que esta eh a solucao, ou seja, que a solucao achada acima eh unica. []s, Claudio. on 18.06.04 13:20, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio, Algumas de minhas duvidas estao no corpo de sua resolucao. Em uma mensagem de 16/6/2004 09:46:16 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: [...] Assim, temos a recorrencia: P(n) = P(n-1) + 2*P(n-2). Juntamente com P(3) = 6 e P(4) = 18, podemos achar P(n) para qualquer n. Equacao caracteristica: x^2 - x - 2 = 0 (De onde voce tirou esta equacao caracteristica ? *Equacao caracteristica* eh um conceito ou uma expressao utilizada por voce ?) == raizes: -1 e 2 == P(n) = A*(-1)^n + B*2^n. (Por que aqui voce fez A*[raiz_1]*(-1)^n + B*[raiz_2]^n ? Quem sao estes A´s e B´s ? Qual a logica desta equacao ? P(3) = -A + 8B = 6 P(4) = A + 16B = 18 == A = 2 e B = 1 == P(n) = 2*(-1)^n + 2^n == P(10) = 1026 == alternativa (c). []s, Claudio.
Re: [obm-l] Topologia - Conj Compactos
Oi, Artur:
Mas o resultado eh valido em qualquer espaco metrico completo, certo?
[]s,
Claudio.
on 18.06.04 11:17, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Vou admitir que se trate de uma sequencia em R^n ou nos complexos. Em
espacos metricos gerais, a afirmacao naum eh verdadeira.
Seja {x_n} uma sequencia limitada en um espaco Euclidiano e seja A o
conjunto de seus pontos de aderencia. Como {x_n} eh limitada, o T. de
Bolzano-Wierstrass garante que {x_n} contem uma subsequencia convergente.
Logo, A naum eh vazio.
Se x naum pertence a A, entao nenhuma subsequencia de {x_n} converge para x.
Logo, x possui uma vizinhanca V que contem termos de {x_n} para um numero
apenas finito de indices n. Como V eh uma vizinhanca de todos os seus
elementos, esta mesma condicao satisfeita por x eh iguamente satisfeita por
todo y de V. Logo, nenhum y de V e limite de alguma subsequencia de {x_n},
do que deduzimos que V estah contida no complementar de A. Todo elemento do
complementar de A eh, portanto, ponto interior dele, o que mostra que o
complementar eh aberto e que A eh fechado (esta conclusao vale em qualquer
espaco metrico - a sua prova naum usa a metrica Euclidiana).
Os pontos de aderencia de {x_n} estao no fecho do conjunto {x_n}. Como a
sequencia eh limitada, o conjunto {x_n} e seu fecho tambem o sao (o
diamentro do fecho de um conjunto eh igual ao diametro do conjunto). Logo, A
eh limitado eh, como eh fechado, o T. de Heine Borel garante que seja
compacto.
Artur
Como se prova que o conjunto dos valores de aderência de uma seqüência
limitada é um conjunto compacto não vazio?
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[obm-l] Subsequencia de sen(n)
Oi, pessoal: Preciso de ajuda com o seguinte problema: Definimos uma sequencia (p_n,q_n) de pares ordenados de inteiros positivos da seguinte forma: p_1 = 3, q_1 = 1; Para n = 2: q_n = menor inteiro q_(n-1), para o qual existe algum inteiro k que satisfaca 0 |q_n*Pi - k| 1/q_n; p_n = k. Como Pi eh irracional, a sequencia (q_n) eh infinita. Tomando n = 1, 2, 3, ..., a sequencia dos p_n vai se aproximar cada vez mais dos correspondentes Pi*q_n. Para essa sequencia, vale sen(p_n) - 0. Alem disso: 1) a sequencia (p_n) estah unicamente determinada, ou seja, para cada q_n, existe exatamente um p_n que satisfaz as desigualdades acima e 2) dada a forma (exaustiva) como os q_n foram definidos, qualquer subsequencia de sen(n) que converge para 0 vai ter que ser, a partir de algum ponto, uma subsequencia de sen(p_n). Minha duvida eh justamente sobre a veracidade da afirmacao (2) acima. Qualquer comentario serah bem vindo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um problema interessante
Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
- y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y|| delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder.
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Re: [obm-l] Um problema interessante
Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
- y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y|| delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder.
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Re: [obm-l] Um problema interessante
Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
- y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y|| delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder.
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Re: [obm-l] Um problema interessante
Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
- y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y|| delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder.
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Re: [obm-l] Um problema interessante
Meu caro cláudio, não entendi a passagem abaixo:
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato pela solução.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
- y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y|| delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder.
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Re: [obm-l] Um problema interessante
Title: Re: [obm-l] Um problema interessante
Isso eh consequencia da desigualdade entre as medias aritmetica e quadratica de numeros nao negativos:
Se a_1, a_2, ..., a_n sao reais nao negativos, entao:
(a_1 + a_2 + ... + a_n)/n = raiz((a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)/n) ==
a_1 + a_2 + ... + a_n = raiz(n)*raiz(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)
Fazendo a_i = |x_i - y_i|, voce obtem o resultado usado na passagem abaixo.
Pra provar a desigualdade, faca o seguinte:
f(x) = (x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + ... + (x - a_n)^2 = 0 para todo x real ==
f(x) = nx^2 - 2(a_1 + a_2 + ... + a_n)x + (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) = 0 ==
delta = 0 ==
4(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 - 4n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n)^2 = 0 ==
(a_1 + a_2 + ... + a_n)^2 = n(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) ==
a_1 + a_2 + ... + a_n = raiz(n)*raiz(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)
[]s,
Claudio.
on 18.06.04 17:39, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =
M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.
Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.
T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:
b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).
Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.
Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:
x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n,
onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.
Teremos:
||x - y|| =
||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =
raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
(pois a base {a_i} eh ortonormal).
Alem disso:
||T(x) - T(y)|| = ||T(x - y)|| =
||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =
|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =
M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =
M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
M*raiz(n)*||x - y||
Ou seja, T eh Lipschitziana.
Dado eps 0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:
||x - y|| delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y|| eps.
Ou seja, T eh uniformemente continua.
A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.
O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).
Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:
T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.
Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.
Logo, T nao obedece ao teorema d! o valor intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).
[]s,
Claudio.
on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante:
Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao R^n, i.e., T: E -- F é contínua.
Éder.
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[obm-l] PENSANDO MARGINALMENTE!
Caro Rogério, não tenho certeza, mas, me parece que a resposta correta do problema da cadeia de Markov vale 60%. Apesar do seu raciocínio estar aparentemente correto, tudo leva a crer que o Fábio matou a charada! Vejam abaixo um problema da área econômica que tive dificuldades.Grato pela atenção! Há 100 firmas num setor. Para cada firma, o 10º trabalhador tem um produto marginal de 5 e o 11º, um produto marginal de 4. Quando todas as firmas contratam 10 trabalhadores, a produção do setor é 2000 unidades, que são vendidas por um preço de $10. Se todas as firmas contratassem um 11º trabalhador, a produção do setor seria 2400, e o preço de demanda para a produção cairia a $9. Qual é o preço de demanda do setor para os 1000 trabalhadores? E para 1100 trabalhadores? Tenham todos, um excelente final de semana! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] corda+flecha=elipse??
Desculpe por ter que anexar uma figura,mas ela é demostrativa.Uma corda AB e uma flecha f ,de uma circunferencia ,defini uma elipse?O que havia de simples na ciência foi descoberto pelos gregos, sobrando para nós apenas as coisas inusitadas!Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!inline: circ.GIF
[obm-l] Dúvida sobre álgebra
Prezados amigos da lista, eu gostaria de saber porque o seguinte fato (aparentemente óbvio), mas que eu não consegui argumentos, é verdade: Z[t]/(t^2 - 2,3t -1) não é isomorfo à Z[sqrt(2),1/3]. desde já agradeço, []'s João. -- ___ Sign-up for Ads Free at Mail.com http://promo.mail.com/adsfreejump.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
on 18.06.04 20:36, João Paulo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prezados amigos da lista, eu gostaria de saber porque o seguinte fato (aparentemente óbvio), mas que eu não consegui argumentos, é verdade: Z[t]/(t^2 - 2,3t -1) não é isomorfo à Z[sqrt(2),1/3]. desde já agradeço, []'s João. 17 = (3t + 1)*(3t - 1) - 9*(t^2 - 2) == 17 pertence ao ideal I = (t^2 - 2,3t - 1) de Z[t] == I = 17 + I = (1 + I) + (1 + I) + ... + (1 + I) (17 parcelas) == Z[t]/I tem caracteristica 17. Por outro lado, Z[raiz(2),1/3] tem caracteristica zero. Logo, os dois aneis nao podem ser isomorfos. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
on 18.06.04 20:36, João Paulo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prezados amigos da lista, eu gostaria de saber porque o seguinte fato (aparentemente óbvio), mas que eu não consegui argumentos, é verdade: Z[t]/(t^2 - 2,3t -1) não é isomorfo à Z[sqrt(2),1/3]. desde já agradeço, []'s João. Outra solucao: Seja I = (t^2 - 2,3t - 1) = (t - 6,17) Claramente 1 nao pertence a I == I Z[t]. Seja p(t) pertencente a Z[t]. O resto da divisao de p(t) por t - 6 eh um polinomio constante r. Se 17 divide r, entao p(t) pertence a I. Se 17 nao divide r, entao, o ideal I + p(t)*Z[t] eh igual a Z[t]. Logo, I eh um ideal maximal de Z[t] == Z[t]/I eh um corpo Por outro lado, Z[raiz(2),1/3] nao eh um corpo, pois nao contem 1/raiz(2). Logo, os aneis nao sao isomorfos. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] corda+flecha=elipse??
A elipse éo l.g. dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos(focos)desse plano têm soma constante. Sejam 'a' a medida do semi-eixo maior, 'b' a medida do semi-eixo menor, 'F' a distância dos focos ao centro da elipse, vale sempre: F^2 = a^2 - b^2. No seu caso, o eixo maior é a corda AB, o semi-eixo menor tem o comprimento da flecha e o centro da elipse está no ponto médio de AB. A elipse estará determinada se F =sqrt((AB/2)^2 - f^2), sendo 'f' a medida da flecha. []s, Rafael - Original Message - From: neylor farias magalhaes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 18, 2004 7:55 PM Subject: [obm-l] corda+flecha=elipse?? Desculpe por ter que anexar uma figura,mas ela é demostrativa.Uma corda AB e uma flecha f ,de uma circunferencia ,defini uma elipse?
