Eu não disse que 0^0 = 1. Isso não está definido. Mas lim x->0 x^x = 1: x^x = exp(x * ln x). Como exp é contínua, teremos lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x).
Para calcular lim x->0 x ln x, x ln x = ln x/ (1/x) e, como (ln x)' = 1/x e (1/x)' = (-1/x^2), e lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) = lim x->0 (-x) = 0, por l'Hôpital, lim x->0 ln x/(1/x) = 0. Assim, voltando para exp, temos lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x) = exp(0) = 1. Agora, se você falar que 0^0 = 1, você vai arrumar confusão. Mesmo porque dá para arrumar f(x) e g(x) de forma que f(x) ->0 e g(x) ->0 com x->0, mas podem acontecer os casos a seguir: 1) f(x)^g(x) não existe (use algo patológico como sen(1/x), sempre funciona...) 2) f(x)^g(x) = r para um real r arbitrário (bom, pode ser complexo também, se você quiser...) 3) f(x)^g(x) diverge para +- infinito Bom, sem mais, Bom ano novo a todos da lista, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Fri, 31 Dec 2004 02:07:48 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Cara, uma primitiva deve ter sim. Afinal, esta função é contínua em (0, > +inf) > > e lim x->0 x^x = 0^0 =1 ? ( a função é continua) > > > > > 1, logo ela tem uma primitiva. Mas uma coisa > > bonitinha, analítica, aí tem que pensar mais. O Nicolau deve saber > > demonstrar se tem ou não. Aliás, como se chama mesmo o algoritmo para > > integração ?? > > > > Abraços e bom Ano-novo, > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > > > On Tue, 28 Dec 2004 17:11:19 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado > > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so > > > > precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto, > observamos > > > > que se 0 < y < 1 e x>=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x > (1/e)^y + y = > e^(-x) > > > > + y = g(y). > > > > > > Apenas corrigindo um errinho de conta g(y)=exp(-y)+y=g(y) > > > > > > > > > > > > > > > Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem > > > > um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) >= g(0) = 1 para todo > real > > > > y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x > (0,1/e). > > > > Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a > zero, > > > > obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a > derivada > > > > parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e > y. > > > > Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois > se > > > > multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que, > no > > > > ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados > em > > > > 0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao > > > > possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) > 1. Se (1/e, 1/e) for > > > ponto > > > > de minimo, entao, como f(x,y) -> 1 na fronteira do conjunto temos a > > > > desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo, > conforme > > > > podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma > a > > > > desigualdae vale, pois f >1 na fronteira. > > > > Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o > comportamento > > > de > > > > f para 0 > > > > Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de > > > calculo > > > > sao bastante simples. > > > > Artur > > > > > > > > > > > > > > > Me surgiu uma pergunta: f(x)=x^x=exp(x.lnx) tem primitiva ? > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > --------- Mensagem Original -------- > > > > De: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > Para: "obm-l" > > > > Assunto: Re: [obm-l] Probleminha.... > > > > Data: 28/12/04 06:18 > > > > > > > > > > > > Olá Vinicius. > > > > > > > > Será que vc procurou direito? > > > > > > > > Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos" > > > > > > > > "Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1" > > > > > > > > A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções > de > > > > probemas propostos". > > > > > > > > A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata. > Assim > > > "os > > > > alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos. > > > > > > > > a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a > > > > > > > > notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que > > > > 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1)) > > > > somando as desigualdades chegamos ao resultado. > > > > > > > > A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo. > > > > > > > > > > > > []'s. > > > > > > > > > > > > > Oi Vinicius, > > > > > Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - > mas > > > > > usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um > > > tanto > > > > > intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui.. > Falta > > > > dar > > > > > uma revisada, posso ter cometido algum engano. > > > > > Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) > x > > > > (0,1) > > > > > e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar > (x,y) > > > > em > > > > > (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase > sempre > > > > > apresentam algo interessante em e ou em 1/e. > > > > > Artur > > > > > > > > > > > > > > > ------- Mensagem Original -------- > > > > > De: obm-l@mat.puc-rio.br > > > > > Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" > > > > > Assunto: [obm-l] Probleminha.... > > > > > Data: 24/12/04 02:26 > > > > > > > > > > > > > > > Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa > me > > > > > esclarecer ficarei muito grato: > > > > > > > > > > > > > > > X^y+y^X>1 > > > > > > > > > > Um ótimo Natal a todos e a suas famílias!!!! > > > > > > > > > > > > > > > Vinícius Meireles Aleixo > > > > > > > > > > ________________________________________________ > > > > > OPEN Internet e Informática > > > > > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > Atenciosamente, > > > > Osvaldo Mello Sponquiado > > > > Engenharia Elétrica, 2ºano > > > > UNESP - Ilha Solteira > > > > > > > > ________________________________________________ > > > > OPEN Internet e Informática > > > > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > ========================================================================= > > > > > > > Atenciosamente, > > > Osvaldo Mello Sponquiado > > > Engenharia Elétrica, 2ºano > > > UNESP - Ilha Solteira > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > Atenciosamente, > Osvaldo Mello Sponquiado > Engenharia Elétrica, 2ºano > UNESP - Ilha Solteira > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================