Eu não disse que 0^0 = 1. Isso não está definido. Mas lim x->0 x^x = 1:
x^x = exp(x * ln x). Como exp é contínua, teremos
lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x).
Para calcular lim x->0 x ln x, x ln x = ln x/ (1/x) e, como
(ln x)' = 1/x e (1/x)' = (-1/x^2), e lim x->0 (1/x)/(-1/x^2) = lim
x->0 (-x) = 0,
por l'Hôpital, lim x->0 ln x/(1/x) = 0.
Assim, voltando para exp, temos lim x->0 x^x = exp (lim x->0 x ln x) =
exp(0) = 1.
Agora, se você falar que 0^0 = 1, você vai arrumar confusão. Mesmo
porque dá para arrumar f(x) e g(x) de forma que f(x) ->0 e g(x) ->0
com x->0, mas podem acontecer os casos a seguir:
1) f(x)^g(x) não existe (use algo patológico como sen(1/x), sempre funciona...)
2) f(x)^g(x) = r para um real r arbitrário (bom, pode ser complexo
também, se você quiser...)
3) f(x)^g(x) diverge para +- infinito
Bom, sem mais,
Bom ano novo a todos da lista,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Fri, 31 Dec 2004 02:07:48 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Cara, uma primitiva deve ter sim. Afinal, esta função é contínua em (0,
> +inf)
> > e lim x->0 x^x= 0^0 =1 ? ( a função é continua)
>
>
>
>
> 1, logo ela tem uma primitiva. Mas uma coisa
> > bonitinha, analítica, aí tem que pensar mais. O Nicolau deve saber
> > demonstrar se tem ou não. Aliás, como se chama mesmo o algoritmo para
> > integração ??
> >
> > Abraços e bom Ano-novo,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> >
> > On Tue, 28 Dec 2004 17:11:19 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado
> > <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > > > Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so
> > > > precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto,
> observamos
> > > > que se 0 < y < 1 e x>=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x > (1/e)^y + y =
> e^(-x)
> > > > + y = g(y).
> > >
> > > Apenas corrigindo um errinho de conta g(y)=exp(-y)+y=g(y)
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem
> > > > um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) >= g(0) = 1 para todo
> real
> > > > y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x
> (0,1/e).
> > > > Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a
> zero,
> > > > obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a
> derivada
> > > > parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e
> y.
> > > > Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois
> se
> > > > multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que,
> no
> > > > ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados
> em
> > > > 0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao
> > > > possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) > 1. Se (1/e, 1/e) for
> > > ponto
> > > > de minimo, entao, como f(x,y) -> 1 na fronteira do conjunto temos a
> > > > desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo,
> conforme
> > > > podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma
> a
> > > > desigualdae vale, pois f >1 na fronteira.
> > > > Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o
> comportamento
> > > de
> > > > f para 0
> > > > Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de
> > > calculo
> > > > sao bastante simples.
> > > > Artur
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Me surgiu uma pergunta: f(x)=x^x=exp(x.lnx) tem primitiva ?
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > - Mensagem Original
> > > > De: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > > Para: "obm-l"
> > > > Assunto: Re: [obm-l] Probleminha
> > > > Data: 28/12/04 06:18
> > > >
> > > >
> > > > Olá Vinicius.
> > > >
> > > > Será que vc procurou direito?
> > > >
> > > > Eureka! 8, página 60 - "Problemas propostos"
> > > >
> > > > "Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a>1"
> > > >
> > > > A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - "Soluções
> de
> > > > probemas propostos".
> > > >
> > > > A prova é muito simples. Se a>1 ou b>1 a desigualdade é imediata.
> Assim
> > > "os
> > > > alunos do CEMPI" fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.
> > > >
> > > > a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a
> > > >
> > > > notando que 1/(1+u)^b>1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que
> > > > 1/(1+v)^a>1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
> > > > somando as desigualdades chegamos ao resultado.
> > > >
> > > > A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo.
> > > >
> > > >
> > > > []'s.
> > > >
> > > >
> > > > > Oi Vinicius,
> > > > > Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil -
> mas
> > > > > usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um
> > > tanto
> > > > > intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui..
> Falta
> > > > dar
> > > > > uma revisada, posso ter cometido algum engano.
> > > > > Um ponto que vemos clarament
