Re: [obm-l] PROBLEMA!
Oi Rafael. O problema, tal como formulado, não tem solução. Senão vejamos: denominando os números, na ordem crescente, a1,a2,a3,a4,a5,temos a1+a2=0 ou a1=-a2 <0 ; a4+a5=15(*) ; a2+a4=a1+a5=4 ; Assim, 0 -2 wrote: > EU TENTEI, TENTEI E ATÉ AGORA NÃO ENTENDI > > AÍ VAI: > > DADOS 5 NÚMEROS, AS SOMA 2 A 2 SÃO: 0, 2, 4, 4, 6, > 8, 9, 11, 13 E 15 > RESPECTIVAMENTE. > DETERMINE OS NÚMEROS. > > DESDE JÁ AGRADEÇO. > > _ > MSN Messenger: converse online com seus amigos . > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria
Pessoal, não consegui fazer muita coisa nesse. Dado um pentágono ABCDE qualquer, considere os triângulos ABE, BCE CDE e ADE. Unindo-se os baricentros desses triângulo constrói-se um quadrilátero. Determine a razão entre a área ABCD e o quadrilátero formado. A resp. é 4,5 Desde já agradeço.
[obm-l] En: [obm-l] questãp de fÃsica
> Um foguete de massa 6 TONELADAS é colocado em posição vertical para > lançamento. Se a velocidade de escape dos gases vale 1km/s, a quantidade de > gases expelida por segundo, a fim de proporcionar o empuxo necessário para > dar ao foguete uma aceleração para cima de 20 m/s^2 m(dv/dt) = -(dm/dt)Ve + F(ext) 6000*(20) = -(dm/dt)*1000- 6000*10 dm/dt = 180Kg/s Abraços Vinícius Meireles Aleixo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema do Kuratowski
Ola Pessoal, O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski : Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por F(A) o fecho de A e por C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao composta de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois distintos. SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que mesmo assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas. Depois estude os sucessivos tipos topologicos de A. O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia ) mas eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 7,1609,020405 _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo). Suponhamos, portanto, que p <> 2, 3 e 5. Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler) Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2..., teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2... de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja, p divide 10^n - 1 = 9*11...1 Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1). Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300 Assunto: [obm-l] DEmonstração Mais elementar. > > > Olá a todos. > > è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p > divide infinitos dos > números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. > Teorema de Fermat, que > não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da > expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, > que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? > > Agradeço desde já a todas as sugestões. > Um abraço a todos, > Frederico. > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Oi, Paulo:
Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
tal que:
i) A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n)
e
ii) a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
Minha explicação segue abaixo.
Como, para todo X, F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos um conjunto "inédito" é aplicando alternadamente C e F.
Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.
Assim, fazemos:
A_2 = C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==>
A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==>
A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==>
A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.
Começando com qualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos abertos dois a dois disjuntos.
Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a aparição de um aberto cujo fecho seja uma união de intervalos fechados (degenerados ou não) disjuntos dois a dois.
Por exemplo, se tivermos:
A_1 = (a,b) união (b,c), com a < b < c, então:
A_2 = F(A_1) = [a,c]
A_3 = C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
A_5 = C(A_4) = (a,c)
A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==>
obtivemos uma família de cardinalidade 5.
Esse exemplo mostra que se algum A_k for uma reunião de intervalos abertos cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de intervalos fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se intersectam se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e, possivelemnte, mais outros intervalos abertos).
A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos necessariamente A_(k+5) = A_(k+1).
A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos anteriores a A na sequência.
Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de algum conjunto B.
Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:
A_1 = [-1,0) união (0,1]
A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
A_5 = F(A_4) = [-1,1]
A_6 = C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
A_8 = C(A_7) = (-1,1)
A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==>
cardinalidade = 8.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Sat, 02 Apr 2005 19:10:51 +
Assunto:
[obm-l] Problema do Kuratowski
> Ola Pessoal,
>
> O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski :
>
> Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por F(A)
> o fecho de A e por
> C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao composta
> de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois distintos.
>
> SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de
> F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que mesmo
> assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas. Depois
> estude os sucessivos tipos topologicos de A.
>
> O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia ) mas
> eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica.
>
> Um Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 7,1609,020405
>
> _
> Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
> http://www.msn.com.br/discador
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Oi Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
A maior cardinalidade possivel e 14. Voce nao precisa seguir uma sequencia,
pode seguir por dois ou mais bracos a partir de A. Mas eu estou mais
interessado em uma solucao inteligente, nao bracal. Eu nao consegui
encontra-la uma tal solucao.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,2144,020405
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: "obm-l"
Subject: Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
Date: Sat, 2 Apr 2005 18:35:55 -0300
Oi, Paulo:
Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas
aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
tal que:
i) A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n)
e
ii) a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
Minha explicação segue abaixo.
Como, para todo X, F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos
um conjunto "inédito" é aplicando alternadamente C e F.
Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.
Assim, fazemos:
A_2 = C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==>
A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==>
A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==>
A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.
Começando com qualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e
depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa
de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos
abertos dois a dois disjuntos.
Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos
numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a
aparição de um aberto cujo fecho seja uma união de intervalos fechados
(degenerados ou não) disjuntos dois a dois.
Por exemplo, se tivermos:
A_1 = (a,b) união (b,c), com a < b < c, então:
A_2 = F(A_1) = [a,c]
A_3 = C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
A_5 = C(A_4) = (a,c)
A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==>
obtivemos uma família de cardinalidade 5.
Esse exemplo mostra que se algum A_k for uma reunião de intervalos abertos
cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de
intervalos fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se
intersectam se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e,
possivelemnte, mais outros intervalos abertos).
A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais
três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos
necessariamente A_(k+5) = A_(k+1).
A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não
sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos
anteriores a A na sequência.
Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de
algum conjunto B.
Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união
(1,+inf).
Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de
ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto
inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:
A_1 = [-1,0) união (0,1]
A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
A_5 = F(A_4) = [-1,1]
A_6 = C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
A_8 = C(A_7) = (-1,1)
A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==>
cardinalidade = 8.
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Sat, 02 Apr 2005 19:10:51 +
Assunto:[obm-l] Problema do Kuratowski
> Ola Pessoal,
>
> O problema abaixo e interessante e foi descoberto pelo Kuratowski :
>
> Seja A contido em R ( numeros reais ) um conjunto. Representaremos por
F(A)
> o fecho de A e por
> C(A) o complemento de A. EXIBA um A tal que a sucessiva aplicacao
composta
> de F's e C's fornece a quantidade maxima de conjunto dois a dois
distintos.
>
> SUGESTAO : Como claramente F(F(A)) e C(C(A)) retornan, entao parta de
> F(C(A)) e C(F(A)). Use entao A e sua fronteira, fr(A), e mostre que
mesmo
> assim as reiteradas aplicacoes retornam, vale dizer, sao periodicas.
Depois
> estude os sucessivos tipos topologicos de A.
>
> O problema nao e dificil ( a sugestao acima e baseada na minha ideia )
mas
> eu nao consegui encontra uma solucao elegante e sintetica.
>
> Um Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 7,1609,020405
>
> _
> Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
> http://www.msn.com.br/discador
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a l
[obm-l] Problemas de probabilidades
Há dois dias enviei para a lista
três exercícios de probabilidades que atá agora, infelizmente, não mereceram a
atenção de nenhum colega. Apresento a seguir a proposta de solução dos mesmos
para a análise de vocês.
1) Uma moeda equilibrada é lançada
até que, pela primeira vez, o mesmo resultado apareça duas vezes sucessivas.
Descreva o espaço amostral desse experimento e calcule a probabilidade do
seguinte evento: o
experimento terminar antes do sexto lançamento.
Solulção
proposta:
O
espaço amostral é dado por W
= {(k, k), (k, c, c), (k, c, k, k), (k, c, k, c, c),
(k, c, k, c, k), (c, c), (c, k, k), (c, k, c, c), (c, k,
c, k, k), (c, k, c, k, c)}. O número de casos favoráveis (são aqueles que
aparecem sublinhados) é 8. Portanto,a probabilidade pedida é
8/10.
2)
Seis
urnas contêm cada uma 12 bolas entre pretas e brancas. Uma urna contêm 8 bolas
brancas. Duas urnas contêm 6 bolas brancas e três urnas contêm 4 bolas brancas.
Uma urna é selecionada e três bolas são extraídas. Foram obtidas duas bolas
brancas e uma preta. Qual é a probabilidade de que a urna selecionada tenha sido
a que tinha 6 brancas e seis pretas?
Solução
proposta:
Pede-se a probabilidade
de ocorrer a urna II ou a urna III dado que foram obtidas duas bolas brancas e
uma bola preta, ou seja, é o caso de uma probabilidade condicional.
A é o evento obter duas
bolas brancas e uma bola preta:
Na urna I (há
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/10 x 5/9 x 4/8 x 3 =
1/12
Na urna II (há
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 =
3/44 (o mesmo se dá na urna III)
Na urna IV (há
probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 4/12 x 3/11 x 8/10 x 3 =
2/55 (o mesmo se dá nas urnas V e VI).
Portanto: P(A) = 1/12 +
2 x 3/44 + 3 x 2/55 = 217/660
A inter B é o evento
obter duas bolas brancas e uma bola preta extraídas da urna II ou da urna
III:
Na urna II: 1/6 x 6/12 x
5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 (o mesmo se dá na urna III)
Portanto: P(A Ç B) = 2 x
3/44 = 3/22.
Assim, 3/22 :
217/660 = 90/217.
3-
Seis dados são lançados. Qual é a probabilidade de que todos os seis números
aparecerão?
A
probabilidade de ocorrer seqüência (1, 2, 3, 4, 5, 6) é (1/6)6. Como
há 6! formas de organizar a referida seqüência, a probabilidade pedida é
(1/6)6x 6! »
1,5%.
[obm-l] PROBLEMA DA OBM
EU ACHO QUE ESTÁ FALTANDO DETALHES E INFORMAÇÕES NESTE PROBLEMA, EU NÃO SEI POIS COMO ESTA NUMA LISTA AVULSA PODE TER SIDO MAU DIGITADO. AÍ VAI: (OBM-)EM UM JOGO DE DUAS PESSOAS OS JOGADORES TIRAM, ALTERNADAMENTE, 1, 2, 3, 4 OU 5 PALITOS DE UMA PILHA QUE INICIALMENTE TEM 1000 PALITOS. GANHA O JOGADOR QUE TIRAR O ÚLTIMO PALITO DA PILHA. QUANTOS PALITOS O JOGADOR QUE COMEÇA DEVE TIRAR NA SUA JOGADA INICIAL DE MODO A ASSEGURAR A SUA VITÓRIA? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 EU ACHEI 4, LETRA D. PORÉM EU ACHEI A QUESTÃO PROBLEMÁTICA, POIS ELE NÃO ESPECIFICA SE TEM QUE SER NESTA ORDEM, SE PODE TIRAR NÚMEROS REPETIDOS OU SE NO FINAL SE ALGUM DOS DOIS TIRAR UM NÚMERO DE PALITOS MAIOR DO QUE O NECESSÁRIO ELE VENCE TAMBÉM. VALEU! AGRADEÇO! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema do Kuratowski
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 03 Apr 2005 00:47:32 + Assunto: Re:[obm-l] Problema do Kuratowski > Oi Claudio e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > > A maior cardinalidade possivel e 14. Voce nao precisa seguir uma sequencia, > pode seguir por dois ou mais bracos a partir de A. > Oi, Paulo: Não entendi o que você quer dizer com "seguir por dois ou mais braços". Você pode explicar isso e também dar um exemplo de uma sequência com cardinalidade 14? > Mas eu estou mais > interessado em uma solucao inteligente, nao bracal. Eu nao consegui > encontra-la uma tal solucao. > Bom, pra nem todo problema existe uma "sacada genial" que o resolve em 2 linhas. Eu estou convencido de que, em algum ponto, você sempre chega numa reunião de intervalos abertos com fechos disjuntos dois a dois e, a partir daí, apenas 2 novos conjuntos são gerados antes da sequência retornar. Mais problemático é o caso da união de intervalos abertos com fechos que se intersectam. No passo seguinte, quando você produz o fecho dessa união, eu disse abaixo que todos os conjuntos fechados que aparecem são intervalos fechados (possivelmente degenerados) disjuntos dois a dois, mas não tenho 100% de certeza. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de potenciaçao
Oi Brunno Você tem razão, me distraí e fiz o cálculo para >1000 ao invés de >100. A responsta fica 3^n>100 o que nos dá n>=5. Abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DA OBM
Caro Rafael Alfinito Ferreira <[EMAIL PROTECTED]>: De fato, tirando 4 no primeiro lance, o primeiro jogador deixa um multiplo de 6 (996). A partir de ai, basta, a cada lance em que o adversario tirar n, responder titarndo 6-n. Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
