RE: [obm-l] perimetro minimo
Srs, Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que á área dos quatros triângulos restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso as hipotenusas devem saer máximas o que ocorre quando cada cateto = l/2 (l=lado do quadrado original). 2 2 b) h=sqrt((l/2) +(l/2) = 1/2*sqrt(2)*l perímetro = 4 * 1/2*sqrt(2)*A =2sqrt(2)*l at Rodrigo Mensagem Original: Data: 12:32:37 06/05/2006 De: kleinad2 [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] perimetro minimo ''Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA respectivamente. ''Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero XYZW. Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z a fim de que XY + YZ e ZW + WX sejam o menor possível cada um; é simplesmente o princípio da reflexão num espelho plano. Por exemplo, vejamos onde Y tem que ficar: Tomando X' na semi reta AB tal que XB = BX', com B entre X e X', temos que XY + ZY é mínimo quando Y é a interseção de ZX' com BC. Como para qualquer Y* em BC temos Y*X = Y*X', basta ver que se Y Y* entãp ZY*X' é um triângulo, e a desigualdade triângular nos dá que ZY* + Y*X' ZX' = ZY + YX'. Repare que com isso os triângulos ZCY e YBX' são semelhantes, se sendo YBX' e YBX congruentes, temos a semelhança de ZCY com XBY, e valem as igualdes de ângulos BYX^ = CYZ^ e BXY^ = YZC^. A mesma coisa se aplica na determinação de W. Agora se pensarmos em X e Y determinados por W e Z, repetindo o argumento e juntando todas as informações (comparando ângulos e vendo as igualdades) temos que o perímetro é mínimo quando temos AXW^ = BXY^ = CZY^ = DZW^ e DWZ^ = AWX^ = XYB^ = ZYC^, o que implica que XYZW é paralelogramo e também que ZC = AX. Logo, se r = XB temos que ZC = l - r, onde l é o lado do quadrado ABCD. Assim, ZY + YX = ZX' = l*sqrt(2). Como estamos num paralelogramo, o perímetro será o dobro disso, assim, o perímetro mínimo é 2*sqrt(2)*l. Desenhando fica fácil acompanhar o argumento. Só fica faltando mostrar que é prejuízo fazer um ou mais pontos dentre X,Y,Z e W coincidirem com A,B,C ou D. Evidentemente, XYZW ser igual a ABCD é prejuízo. Se agora digamos A = X, B = Y e C Z, D W, temos que ZY ZC = l pois ZY é hipotenusa de ZCY. Pela desigualdade triangular, ZW + WX ZX, e sendo ZX hipotenusa vem que ZX l, logo o perímetro é maior que 3*l 2*sqrt(2)*l. Se agora A = X, B = Y e C = Z, temos W D. Outra vez pela desigualdade triangular, WX + ZW XZ, logo o perímetro é maior que l*(2 + sqrt(2)) 2*sqrt(2)*l. Finalmente, se digamos X = A, Y = C, então a fim de que tenhamos um quadrilátero, temos Z D W. Novamente, pela desigualde triangular, ZW + ZY WY e XW + WY XY, logo o perímetro é maior que 2*XY = 2*sqrt(2)*l. Isso conclui a prova. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] caixa colorida
ajudem nessa... Temos três caixas, uma azul, uma branca e uma vermelha, e 8 bolinhas. Cada bolinha tem um número de 1 a 8, sem repetições. Distribuímos as 8 bolinhas nas caixas, de maneira que há pelo menos duas bolinhas em cada caixa. Logo, em cada caixa, somam-se todos os números escritos nas bolinhas contidas na caixa. Os três resultados denominam-se soma azul, soma branca, e soma vermelha, segundo a cor da caixa correspondente. Encontre todas as possíveis distribuições das bolinhas tais que a soma vermelha seja igual ao dobro da soma azul, e a soma vermelha menos a soma branca seja igual a soma branca menos a soma azul. Facilte sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail no seu PC. Acesse: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: solucao IME
oi Paulo,
Agora quem vai pedir desculpas sou eu pela demora.
Vou tentar compilar sua solucao esta semana.
Mas assim que terminar eu te passo
para dar uma olhada (se voce puder, eh claro,
pois jah estou dando muito trabalho).
Gostaria de te agradecer e parabenizar pelas
solucoes. Acho que sao questoes muito
belas (fora da realidade por estarem em
um vestibular, mas isto eh outra historia).
E sua solucao do tetraedro me ensinou bastante.
Vou fechar a versao 9c com a sua solucao
deste problema e disponibiliza-la na net.
Acho que depois disto vou dar uma parada no material do
IME, pois nao tenho mais para onde ir.
Abraco,
sergio
On Sat, 6 May 2006, Paulo Santa Rita wrote:
Ola sergio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Ola Sergio. Demorei a postar a solucao porque antes tive que
escrever de forma clara. Percebo duas maneiras de fazer. Vou
apresentar a que me parece mais clara.
Esta solucao usa metodos das Geometrias Euclidiana e Analitica.
IMAGINE dois circulos C1 e C2 tais que a distancia entre os seus
centros e d. C1 tem raio a e seu centro esta na origem O=(0,0)
de um sistema de coordenadas cartesiana. C2 tem raio b e seu
centro esta no ponto D=(0,-d). Dado que estes circulos precisam
ser distintos e exteriores, vamos supor : a b e d a+b.
Nao vamos perder tempo com coisas excessivamente triviais. Assim :
e facil perceber duas coisas acerca da parabola que procuramos : o
seu eixo de simetria esta contido na reta e determinada pelos
dois centros dos circulos e a equacao Y=f(X) que a caracteriza tem
minimo, vale dizer, ela e convexa. Segue daqui que se p e o
parametro e q a ordenada do vertice, a equacao da parabola tem a
forma :
2p( Y - q ) = X^2 = Y = ( (X^2) / (2p) ) + qEQUACAO
PARABOLICA
Note que o problema consiste em encontrar p e q. Note tambem
que e facil encontrar a equacao da tangente a parabola num ponto
arbitrario (X0,Y0). Verifique que ela tem a forma :
Y = (X0 / p)*X + ( q - ( (X0^2) / 2p ) ) EQUACAO 1
Agora, seja K b um real positivo e S1 e S2 duas secantes tais que
:
A) S1 nao cruza o segmento OD, intercepta a reta e no ponto E,
determina em C1 e C2 respectivamente as cordas T11 e T12, ambas de
mesmo comprimento 2K e forma com o eixo OX um angulo agudo.
B) S2 cruza o segmento OD no ponto F, determina em C1 e C2
respectivamente as cordas T21 e T22, ambas de mesmo comprimento 2K
e forma com o eixo OX um angulo agudo.
OBS : A exigencia de formar com o eixo OX um angulo agudo e para
evitar ambiguidades ... de fato, verifique que se a retirarmos
haver?o duas retas - simetricas em relacao a reta e - atendendo
A) e duas atendendo B).
SECANTE S1
Seja G o ponto onde a perpendicular a T11 tracada por O intercepta
T11 e H o ponto onde a perpendicular a T12 tracado por D intercepta
T12. Com esta construcao, e facil ver que :
(a - OG)(a + OG) = (T11/2)^2=a^2 - (OG)^2 = K^2=
OG = raiz_qua( a^2 - K^2 )
(b - DH)(b + DH) = (T12/2)^2=b^2 - (DH)^2 = K^2=
DH = raiz_qua( b^2 - K^2 )
Os triangulos DHE e OGE sao claramente semelhantes. E facil que o
angulo GOE e igual ao angulo que a secante S1 forma com o eixo OX e
que o cosseno do angulo GOE = cos(GOE) = (OG - DH) / d. Daqui
segue imediatamente que :
tangente de GOE = tg(GOE) = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
PARAMETRO 11
Seja agora DE = z. A semelhanca de triangulos mencionada acima nos
permite escrever : DH/OG = z/(z+d). Daqui segue imediatamente que :
z + d = ( OG*d ) / (OG - DH ) PARAMETRO 12
Os parametros 11 e 12 nos permitem escrever a equacao reduzida da
secante S1 :
Y = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }* X - ( OG*d ) / (OG -
DH ) EQUACAO 2
Esta secante e tangente a parabola. Comparando a EQUACAO 1 com a
EQUACAO 2 chegamos a conclusao que deve existir na parabola um
ponto ( X0,Y0 ) tal que :
X0 / p = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
q - ( (X0^2) / 2p ) = - ( OG*d ) / (OG - DH )
Isolando X0 nas duas equacoes e comparando, chegamos a :
{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG - DH )
EQUACAO FUNDAMENTAL 1
SECANTE S2
Seja M o ponto onde a perpendicular a T21 tracada por O intercepta
T21 e N o ponto onde a perpendicular a T22 tracado por D intercepta
T22. Com esta construcao, e facil ver que :
(a - OM)(a + OM) = (T21/2)^2=a^2 - (OM)^2 = K^2=
OM = raiz_qua( a^2 - K^2 ) = OG
(b - DN)(b + DN) = (T22/2)^2=b^2 - (DN)^2 = K^2=
DN = raiz_qua( b^2 - K^2 ) = DH
Os triangulos DNF e OMF sao claramente semelhantes. E facil que o
angulo MOF e igual ao angulo que a secante S2 forma com o eixo OX e
que se fizermos OF = z, a semelhanca destacada nos permite escrever
: OM/DN = z/(d-z). Daqui segue imediatamente que :
z = OF = (OM*d) / ( DN + OM ) = (OG*d) / (OG + DH )PARAMETRO 21
Por outro lado, cos(MOF) = OM / OF = cos(MOF) = (OG + DH ) / d.
Daqui segue imediatamente que :
tangente de MOF = tg(MOF) = raiz_qua{ [d / (OG +
RE: [obm-l] perimetro minimo
''Srs, '' ''Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo '' ''a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que ''á área dos quatros triângulos '' restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso as ''hipotenusas devem saer máximas o que ocorre quando cada cateto = l/2 ''(l=lado do quadrado original). '' 2 2 ''b) h=sqrt((l/2) +(l/2) = 1/2*sqrt(2)*l '' ''perímetro = 4 * 1/2*sqrt(2)*A =2sqrt(2)*l Olá, Rodrigo. Este raciocínio está errado primeiro pelo fato de que existem infinitos quadriláteros XYZW com vértices em ABCD com perímetro 2*sqrt(2)*l, e consequentemente os triângulos exteriores podem ser um pouco diferentes dos que você sugeriu. Para todo s tal que 0 s l, considere o quadrilátero XYZW caracterizado por AX = AW = CY = CZ = s. O perímetro de todos eles é 2*sqrt(2)*l. O que é verdade é que a única possibilidade para estes triângulos exteriores é que eles sejam isósceles, logo essa parametrização via s pega todos os quadriláteros possíveis que minimizam o perímetro. Além disso, a área dos triângulos de fora nada têm a ver com o perímetro de ABCD. Se você acreditou no que eu escrevi, então para XYZW minimizando o perímetro, temos que a soma das áreas dos triângulos de fora é 2*s^2 - 2*l*s + l^2 = 2*(s - l/2)^2 + l^2/2. Portanto, essas áreas podem assumir todos os valores entre l^2/2 e l^2 (mas não podem se igualar a nenhum deles). []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] geometria plana 62
Srs, solicito ajuda em mais esse temos o triangulo ABD em AD temos o segmento AC formando o triangulo ABC sendo que o anguloCÂB=100 AC=AB e AD=BC desejamos a medida do angulo CBD esboço A C DB como AC = AB o triangulo ABC é isoceles de base BC e os angulos de base 40 graús cada mas falta relacionar AD=BC com o problema. at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] caixa colorida
Olá, vms chamas as respectivas somas de a, b, v... entao: v = 2a v - b = b - a assim, a +v = 2b 3a = 2b como a e b sao naturais: a = 2r b = 3p v = 2a = 4r entao, a soma da caixa azul é um multiplo de 2.. a soma da caixa branca eh um multiplo de 3.. a soma da caixa vermelha é um multiplo de 4.. assim, temos mais 3 restricoes... a maior soma possível será 8+7+6 = 21.. assim: a=21, b=21, v=21.. mas v = 2a ... 2a=21 ...a = 10,5 ...a = 10 logo: a=10, b=21, v=21 somando, temos: v+a = 31 ... mas v+a = 2b = 31 ... b = 15,5 ... b= 15 logo: a=10, b=15, v=21 a menor soma eh 1+2 = 3.. assim: a = 3, b=3, v= 3 novamente, a = v/2 ... v/2 = 3 ... v=6 e, 3a = 2b ... 2b/3 = 3 ... b= 4,5 .. b= 5 logo: 3 = a = 10 5 = b = 15 6 = v = 21 talvez dê para reduzir ainda mais estes intervalos.. dps penso melhor.. acho que a idéia é reduzi-los ao máximo, e entao comecar a montar as possibilidades... nao necessariamente montar.. usamos que: x+y+z = R ... onde x,y,z naturais e x,y,z = 0... entao o numero de possibilidades é: combinação de R+2 tomado 2 a 2... ou: Comb(R+2, 2) abraços, Salhab - Original Message - From: Eduardo Soares To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 07, 2006 11:31 AM Subject: [obm-l] caixa colorida ajudem nessa... Temos três caixas, uma azul, uma branca e uma vermelha, e 8 bolinhas. Cada bolinha tem um número de 1 a 8, sem repetições. Distribuímos as 8 bolinhas nas caixas, de maneira que há pelo menos duas bolinhas em cada caixa. Logo, em cada caixa, somam-se todos os números escritos nas bolinhas contidas na caixa. Os três resultados denominam-se soma azul, soma branca, e soma vermelha, segundo a cor da caixa correspondente. Encontre todas as possíveis distribuições das bolinhas tais que a soma vermelha seja igual ao dobro da soma azul, e a soma vermelha menos a soma branca seja igual a soma branca menos a soma azul. Facilte sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo ou e-mail no seu PC. Acesse: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá pessoal da lista!!!
Peguei uma lista de exercícios de um professor de Mecânica do Contínuo
e estou colocando aqui.
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
4. No espaço 2d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um quadrado unitário
em coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00,1]
[ 0,1 0 ]
b) {Eij} = [ -0,1 0]
[ 0 -0,05]
c) {Eij} = [00,08]
[ 0,08 0,05 ]
5. No espaço 3d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um cubo unitário em
coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00 0 ]
[ 0 0,1 0]
[ 0 0 -0,1]
b) {Eij} = [ 00,08 0]
[0,08 0 0]
[ 0 0 0]
Estou sem base para resolver estes exercícios. Quem tiver
conhecimentos nessa área e puder ajudar ficarei muito grato.
Agradeço a atenção de todos,
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
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[obm-l] Tres problemas olimpicos
Ola Pessoal !
( Escreverei sem acentos )
Os tres problemas seguintes cairam em Olimpiadas. Eles nao exigem profundo
conhecimento em area alguma. Exigem criatividade.
PROBLEMA 1 ) Seja K0 um conjunto FINITO de pontos do espaco. Partindo deste
conjunto podemos formar uma sequencia de conjunto K0, K1, K2, ... utilizando
a seguinte regra : ki e formado acrescentando-se a Ki-1 o conjunto A de
TODOS os pontos P do espaco tais que P nao esta em Ki-1 e existem pontos Q e
R em Ki-1 tais que P e simetrico de R em relacao a Q.
Suponha que K0 e um conjunto formado pelos vertices de um triangulo
equilatero.
Tomando a area do triangulo equilatero como unidade, qual a area do menor
poligono convexo que contem integralmente Kn ?
PROBLEMA 2) Seja dado uma matriz quadrada A de ordem P, onde P e um numero
primo. Dizemos que um conjunto B = { B1, ..., Bp } de matrizes quadradas de
ordem P e uma FAMILIA PERFEITA em relacao a matriz A se quaisquer dois
elementos de A que nao estao em uma mesma linha de A estarao UMA UNICA vez
em uma mesma linha de alguma das matrizes de B e quaisquer dois elementos de
A que estao em uma mesma linha de A nao estarao em uma mesma linha de
qualquer das matrizes de B. Descreva um algoritmo que, dado A, gera uma
FAMILIA PERFEITA.
PROBLEMA 3 ) Num quadriculado escolhemos dois pontos A e B tais que A fique
a esquerda e abaixo de B. De quantas maneiras distintas podemos avancar de A
ate B atraves dos movimentos S ( subir verticalmete uma unidade), I ( descer
verticalmente uma unidade ), D ( avancar horizontalmente uma unidade a
direita ) e E ( retroceder horizontalmente uma unidade a esquerda ) ? Mas
nao podemos sair do retangulo cujos vertices sao A e B e nao podemos passar
por um mesmo ponto mais de uma vez.
SUGESTAO : suponha A na origem de um sistema cartesiano
Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
1,2317,070506
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Seja um dos primeiros a testar o Windows Live Messenger Beta a geração do
seu MSN Messenger.
http://imagine-msn.com/minisites/messenger/default.aspx?locale=pt-br
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