[obm-l] Triângulo
Sejam a, b e c os lados de um triângulo. Considere a reta que passa pelo seu incentro e é paralela ao lado de medida a. Essa reta intercepta os lados b e c nos pontos P e Q, respectivamente. Qual a relação do segmento PQ com os lados a, b e c do triângulo? __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Triângulo
Considere um triângulo de lados a, b e c. Considere também a reta paralela ao lado a, passando pelo incentro do triângulo. Essa reta intercepta os lados b e c nos pontos P e Q. Qual a relação do segmento PQ com os lados a, b e c do triângulo??? __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Zero
Obrigado... Fiquei em dúvida em uma questão sobre isso na OBM de sábado mas acho que acabei acertando =]. Em 12/06/06, Lucas Z. Portela <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Uma questão conceitual: Em um exercício relacionado com inteiros positivos, > deve-se considerar o 0? Isto é, zero é inteiro positivo? > > -- > Carlos Eduardo > > "A política é para o momento, mas uma equação é para a eternidade". > Olá, Carlos, Na verdade, não. O conjunto dos inteiros positivos (Z+*) começa a partir do 1, e daí em diante. Para englobar o zero, existe o conjunto dos inteiros não-negativos ( Z+). O mesmo ocorre com os inteiros negativos (Z-* : sem o zero) e com os inteiros não-positivos (Z- : contando o zero). A mesma nomenclatura e representação pode ser aplicada também para os Racionais. O.k.? Abraços, __ L L U C L U C A S C A S S-- Carlos Eduardo"A política é para o momento, mas uma equação é para a eternidade".
Re:[obm-l] Zero
> Uma questão conceitual: Em um exercício relacionado com inteiros positivos, > deve-se considerar o 0? Isto é, zero é inteiro positivo? > > -- > Carlos Eduardo > > "A política é para o momento, mas uma equação é para a eternidade". > Olá, Carlos, Na verdade, não. O conjunto dos inteiros positivos (Z+*) começa a partir do 1, e daí em diante. Para englobar o zero, existe o conjunto dos inteiros não-negativos (Z+). O mesmo ocorre com os inteiros negativos (Z-* : sem o zero) e com os inteiros não-positivos (Z- : contando o zero). A mesma nomenclatura e representação pode ser aplicada também para os Racionais. O.k.? Abraços, __ L L U C L U C A S C A S S
Re: [obm-l] Zero
Não,sem seguir muitos formalismos matematicos... sendo apenas conceitual.. o zero naum pode ser incluido.. nem nos inteiros negativos... alem do q na maioria das vezes.. negativo e positivo sao apenas uma questao de "direção" o zero naum pode se enquadrar a nenhuma delas... assim como o infinito ( o simbolo) o zero eh um dos numeros mais geniais da mat =)
[obm-l] Zero
Uma questão conceitual: Em um exercício relacionado com inteiros positivos, deve-se considerar o 0? Isto é, zero é inteiro positivo?-- Carlos Eduardo"A política é para o momento, mas uma equação é para a eternidade".
Re: [obm-l] Soluções Inteiras da Eq. Segundo Grau.
Temos que as raízes são -m +- sqrt(m^2 - n), e são inteiras se, e
somente se, m^2 - n = k^2, k inteiro.
<=> m^2 = n + k^2 <=> n = m^2 - k^2.
Portanto, os pares (m, n) tais que x^2 - 2m x + n == 0 admite raízes
inteiras são {(m, m^2 - k^2), m e k inteiros}.
Bom, eu acho que é isso. Se algo estiver errado, me avisem... hehe.
[]'s
Cesar Ryudi Kawakami
On 6/12/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Inspirado no problema anterior (xx^2+yy^2= xxyy^2) andei pensando
algumas coisas e algumas questões interessantes.
Questão:
Qual relação deve existir entre m e n para que as soluções de
x^2 + 2m x + n = 0 com m e n inteiros sejam inteiras?
Eu pensei no seguinte:
Como x = -m +- sqrt(m^2 - n) temos que ter o radicando inteiro.
A soma dos primeiros m números ímpares é o quadrado de m:
m^2 = soma (i=1 até m) 2*i - 1
(m-1)^2 = soma(i=1 até m-1) 2*i - 1
==>
(m-1)^2 + (2m-1) = m^2
(m-1)^2 = m^2 - (2m-1)
Se (2m-1) = n temos:
m^2 -n = (m-1)^2
e desta forma:
x = -m +- sqrt (m^2-n)
= -m +- (m-1)
= -m + m -1 = -1
ou -m -m +1 = +1
Mas essa não é a solução geral n = 2m-1.
Se n = 2(m-1)-1 + 2m-1 eu acredito que funciona também,
pois estamos tirando os dois últimos ímpares da soma.
Existe alguma falha em meu raciocíno? Alguem consegue
achar uma solução geral usando essas idéias?
[]s.
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[obm-l] CHUTANDO BOLA!
Ok! Carlos e demais colegas! Que venha a Croácia... Cinco bolas iguais estão se movendo na mesma direção ao longo de uma reta fixa, mantendo uma certa distância de uma para outra. Na mesma direção e sentido oposto outras 5 bolas se movem de encontro às primeiras. As velocidades de todas as bolas são iguais. Quando duas bolas colidem, voltam na mesma velocidade de antes, ao longo da mesma direção. Quantas colisões entre bolas vão ocorrer? Há 1999 bolas em uma reta; algumas são vermelhas e as demais azuis (poderiam ser todas vermelhas ou todas azuis). Debaixo de cada bola escrevemos o número igual a soma da quantidade de bolas vermelhas à direita dela mais a quantidade de bolas azuis à esquerda dela. Se, na sequência de números assim obtida houver exatamente três números que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três números? Uma caixa contém 100 bolas de cores distintas. Destas, 30 são vermelhas, 30 são verdes, 30 são azuis e entre as 10 restantes, algumas são brancas e outras são pretas. O menor número de bolas que devemos tirar da caixa, sem lhes ver a cor, para termos a certeza de haver pelo menos 10 bolas da mesma cor é: Dadas n bolas aparentemente iguais e sabendo-se que apenas uma é ligeiramente mais pesada que as demais, pede-se determinar, em função de n, o número mínimo suficiente de pesadas para isolar tal bola. Bom Placar! _ JOGUE AGORA: Campeonato de Embaixadinhas Clique aqui! http://copa.br.msn.com/extra/embaixadinhas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [off-topic] Falecimento do Prof. Jos� Leite Lopes
MCT  Ministério da Ciência e Tecnologia COMUNICADO à com grande pesar que comunicamos o falecimento do Professor José Leite Lopes, ocorrido na manhã desta segunda-feira, 12 de junho. O velório será realizado à tarde, no Auditório do sexto andar do EdifÃcio Sede do CBPF, na Rua Dr. Xavier Sigaud, 150, Urca, Rio de Janeiro. Fundador do CBPF, do Instituto de FÃsica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, e primeiro Presidente da Sociedade Brasileira de FÃsica, o Professor Leite Lopes foi uma das figuras centrais da Ciência Brasileira nas últimas cinco décadas. Além de renomado cientista, com contribuições seminais à FÃsica, foi também um excelente mestre que influiu na formação de toda uma geração de cientistas. Publicou vários livros que lhe granjearam a admiração de um grande número de discÃpulos, tanto no Brasil como no exterior. Além de cientista, o Professor Leite Lopes era também um humanista excepcional. Ele era capaz de associar com habilidade um certo tom de irreverência e humor a afirmações sérias e plenas de significado cientÃfico e ético. Soube utilizar essa mistura bem balanceada de irreverência e seriedade para divulgar a ciência e discutir os problemas que afligem nossa sociedade com raro brilhantismo, sempre atraindo grande audiências em suas apresentações. Temos certeza de que o exemplo que ele nos deixa, como cientista, professor e humanista, será uma semente que frutificará saudavelmente no espÃrito de jovens cientistas brasileiros. Ricardo Galvão e Amós Troper = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Alguém ajuda?
Corrigindo o e-mail anterior:Essa soma é igual a [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10^2 + 9*11] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10 + 9*101] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9) + 9*110] = (4400 + 99) + (440 + 909) + (44 + 990) = 4884 + 1998 = 6882.
Re: [obm-l] Alguém ajuda?
Essa soma é igual a [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10^2 + 11] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10 + 101] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9) + 110] = (4400 + 11) + (440 + 101) + (44 + 110) = 4884 + 222 = 5106.
[obm-l] Alguém ajuda?
Bom dia, amigos. Empaquei por aqui. Algém me ajuda a sair dessa? São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é: Grato __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Solu��es Inteiras da Eq. Segundo Grau.
Inspirado no problema anterior (xx^2+yy^2= xxyy^2) andei pensando algumas coisas e algumas questões interessantes. Questão: Qual relação deve existir entre m e n para que as soluções de x^2 + 2m x + n = 0 com m e n inteiros sejam inteiras? Eu pensei no seguinte: Como x = -m +- sqrt(m^2 - n) temos que ter o radicando inteiro. A soma dos primeiros m números Ãmpares é o quadrado de m: m^2 = soma (i=1 até m) 2*i - 1 (m-1)^2 = soma(i=1 até m-1) 2*i - 1 ==> (m-1)^2 + (2m-1) = m^2 (m-1)^2 = m^2 - (2m-1) Se (2m-1) = n temos: m^2 -n = (m-1)^2 e desta forma: x = -m +- sqrt (m^2-n) = -m +- (m-1) = -m + m -1 = -1 ou -m -m +1 = +1 Mas essa não é a solução geral n = 2m-1. Se n = 2(m-1)-1 + 2m-1 eu acredito que funciona também, pois estamos tirando os dois últimos Ãmpares da soma. Existe alguma falha em meu raciocÃno? Alguem consegue achar uma solução geral usando essas idéias? []s. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
