Aqui vai uma solução razoavelmente feia...
Suponhamos que a equação tenha solução (x,y).
Como n = 3, temos que x^n - y^n = 2^3 - 1^3 = 7 4 == k = 3.
2 aparece com o mesmo expoentena decomposição de x e y pois, caso contrário, dividindo x e y por 2^m (m = menor expoente), ficaríamos com:
2^(k-m) = diferença entre um número par e um ímpar ==
2^(k-m)= 1 necessariamente ==
k = m ==
(x/2^m)^n - (y/2^m)^n = 1 ==
sem solução, pois n = 3 ==
contradição
Assim, podemos supor que x e y são ambos ímpares.
x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2)y + ... + y^(n-1)) = 2^k ==
x - y = 2^r com r = 1, pois x - y é par e positivo
e
o 2o. termo é uma soma de n parcelas ímpares e igual a 2^(k-r) ==
n é par
Suponhamos que n = 2^p*b, onde p = 1 eb é ímpar.
Se b 1, então, como x^n - y^n é múltiplo de
x^(b-1) + x^(b-1)y + ... + xy^(b-2) + y^(b-1) =
soma de um número ímpar de parcelas ímpares =
ímpar (e maior do que 1) ==
contradição, pois isso também divide 2^(k-r) ==
b = 1 e, portanto, n = 2^p.
x^(2^p) - y^(2^p) = 2^k ==
(x-y)(x+y)(x^2+y^2)...(x^(2^(p-1))+y^(2^(p-1))) = 2^k ==
x-y = 2^r e x+y = 2^s (1 = r s) ==
x = 2^r*(2^(s-r) + 1) e y = 2^r*(2^(s-r) - 1) ==
x e y são pares ==
contradição
Conclusão: a equação não possui soluções inteiras positivas.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Wed, 2 Aug 2006 19:30:32 + (GMT)
Assunto:
[obm-l] Equacao
Sejam k ,n inteiros positivos com n2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y).
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