Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Ok! Perfeita a solução Salhab... (da 2)Um colega meu (que também participa da lista) fez essa questão mas não conseguimos explicar o que ele assumiu para faze-la (que x-2y=1 e x+2y=4)Muito obrigado! Caro Nehab, O fato dela ter contradomínio e domínio diferentes já não garante que ela não é derivável (por não ser inversível/bijetora)? Qual é a solução que você conhece?Essa, como disse anteriormente, por ter se desdobrado naquela soma, não faço a mímina idéia de como fazer. Obrigado pelas respostas,Abraços.Em 03/11/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Renan e SalhabOk, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse que a função f é derivável... Se não o for, o que vocês fariam?Abração,NehabAt 22:40 2/11/2006, you wrote:>Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:>1>seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos >e controdominio os reais, tal que>>f(1) = 0>f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0)>>Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)>>e sabendo que>>Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e >Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é>>a) -2>b) 2>c) 3>d) 4>e) 1>>>Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = >f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive>idéias para resolver essa>>2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)>>Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema >>log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2>X² - 4Y² = 4>>Então Xo + Yo vale>>a) 7/4>b) 9/4>c) 11/4>d) 13/4>e) 17/4>>A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). >Infelizmente não é um método muito confiável =)>>Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.>>A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!>>-->Abraços,>Jonas Renan =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função LogarÃtmica?
Olá novamente,O erro que você cometeu foi o seguinte f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4)O enunciado diz:Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)O meu problema foi justamente nessa parte, se fosse dessa forma simplificaria um pouco... mas acontece que ele não define f (a + b) =\ Bom, desenvolvendo essa parte ficariaf(x1*x2*x3*x4) - f(x2+1) + f(x3+1) + f(x4+1) +f(x5+1)...a partir daà não consigo lidar com a função com a soma dentro =\Abraços e obrigado pela ajuda J.RenanEm 03/11/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá novamente, já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber que a funcao é o log, ok? por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = Soma(i=1 até n) f(xi) f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 * x3 * x4 * x5) eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * q^10 assim: f[(x1)^5 * q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1) logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4) mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x) logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q) assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) assim, temos um sistema: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) resolvendo, temos: [ 4 * 3 + 10 * 2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) .. assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 2 logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2) como f é injetiva, temos: x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2 tenho certeza que errei alguma conta... po.. ultimamente tenho feito bastante isso... mas acho que deu pra entender a ideia.. abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função LogarÃtmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domÃnio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4 A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan
Re: [obm-l] Fun��o Logar�tmica?
Renan e Salhab Ok, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse que a função f é derivável... Se não o for, o que vocês fariam? Abração, Nehab At 22:40 2/11/2006, you wrote: Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões: 1 seja a função f uma função injetora, com domÃnio em reais positivos e controdominio os reais, tal que f(1) = 0 f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos) e sabendo que Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa 2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4 Então Xo + Yo vale a) 7/4 b) 9/4 c) 11/4 d) 13/4 e) 17/4 A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda. A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal! -- Abraços, Jonas Renan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá, log[2][x+2y] - log[3][x-2y] = 2 (x+2y)(x-2y) = 4 log[2][x+2y] - log[2][x-2y] = 2 = log[2][x+2y] - log[3][x-2y] log[2][x-2y] = log[3][x-2y] x-2y = 1 ... x+2y = 4 somando: 2x = 5 ... x = 5/2 subtraindo: 4y = 3 ... y = 3/4 x + y = 10/4 + 3/4 = 13/4 letra D abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? 2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4 A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.22/512 - Release Date: 1/11/2006
[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá novamente, já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber que a funcao é o log, ok? por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = Soma(i=1 até n) f(xi) f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 * x3 * x4 * x5) eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * q^10 assim: f[(x1)^5 * q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1) logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4) mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x) logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q) assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) assim, temos um sistema: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) resolvendo, temos: [ 4 * 3 + 10 * 2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) .. assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 2 logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2) como f é injetiva, temos: x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2 tenho certeza que errei alguma conta... po.. ultimamente tenho feito bastante isso... mas acho que deu pra entender a ideia.. abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4 A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.22/512 - Release Date: 1/11/2006
Re: [obm-l] Soroban (Livro: Soroban pelo Método Moderno)
Olá, vc pode entrar nesse site www.sorobanbrasil.com.br, espero que seja. 2006/10/25, Pierry Ãngelo Pereira <[EMAIL PROTECTED]>: Pessoal da Lista, gostaria de perguntar a algum praticante do Soroban se sabem onde encontrar o livro "Soroban pelo Método Moderno" ou algum outro material em lÃngua portuguesa para um autoditada, fiquei muito interessado nesse instrumento e gostaria de aprender. Infelizmente moro no interior do Piauà e por aqui se eu falar o nome Soroban me perguntam se algo pra comer. =) Abraços,Pierry Ãngelo Pereirahttp://pierry.fronteirasonline.com msn: [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Isso serve de prova para a minha proposição, né? "Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. "Se f(y) = k * ln(y) então f(y) = log [e^1/k] (y)Ou seja, podemos transformar a base de acordo com k..Ajudou sim Salhab, abraços! Em 02/11/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, veja bem: f(xy) = f(x) + f(y) tomando y = 1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .. logo: f(1) = 0 derivando em relacao a x, temos: y f'(xy) = f'(x) fazendo x = 1, temos: y f'(y) = f'(1) = k logo: f'(y) = k / y ... integrando, temos: f(y) = k * ln(y) + c mas f(1) = 0, logo: f(1) = k * ln(1) + c = 0 logo: c = 0 assim: f(y) = k * ln(y), ou, na base 10, temos: f(y) = (k / log(e)) * log(y) ... onde k/log(e) é uma nova contante.. espero ter ajudado, abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4 A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá, veja bem: f(xy) = f(x) + f(y) tomando y = 1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .. logo: f(1) = 0 derivando em relacao a x, temos: y f'(xy) = f'(x) fazendo x = 1, temos: y f'(y) = f'(1) = k logo: f'(y) = k / y ... integrando, temos: f(y) = k * ln(y) + c mas f(1) = 0, logo: f(1) = k * ln(1) + c = 0 logo: c = 0 assim: f(y) = k * ln(y), ou, na base 10, temos: f(y) = (k / log(e)) * log(y) ... onde k/log(e) é uma nova contante.. espero ter ajudado, abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4 A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.22/512 - Release Date: 1/11/2006
[obm-l] Função LogarÃtmica?
Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domÃnio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2 c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4 A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan
Re: [obm-l] Soma de binomiais
Nao, nao trabalho nesta area, apenas me divirto :PFaço facul de computacao. Matematica, para mim, está mais para um hobby do que profissao... Em 31/10/06, Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Sauda,c~oes,Oi Renan,Para quem gosta destas somas (soma de binomiais),ver o livro "Manual de Seqüências e Séries Vol 2" emwww.escolademestres.com/qedtexte C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-...C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+...C(n,0)-C(n,2)+C(n,4)-...C(n,1)+C(n,4)+C(n,7)+...são bons treinos.[]'sLuís>From: "J. Renan" < [EMAIL PROTECTED]>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br>To: obm-l@mat.puc-rio.br>Subject: Re: [obm-l] Soma de binomiais >Date: Tue, 31 Oct 2006 02:36:42 -0300>>Foi exatamente essa a sensação: "foi muita mágica". Por mais que eu tenha>tentado, não consegui encontrar uma generalização. Mas vendo agora que, se: >>(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+C(n,3)x^3+...>>Então, querendo "filtrar" os pares,é natural utilizar i, pelo seu>"período",>por assim dizer.>>E também pareceu bem razoável utilizar uma raíz cúbida da unidade nesse >caso>que você exemplificou. Acho que é o tipo de coisa que aprendemos apenas com>o tempo e treino.. Vou fazer mais alguns exercícios desse tipo e ver se>entendi bem a essência do método.> >>Ok, obrigado Johann pela explicação e Iuri pela resposta.>_MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Ideas are bulletproof.V
Re: [obm-l] dúvidas - reflexões
A sua pergunta e no plano ou espaco?Caso do plano:Sem perda de generalidade suponha que queremos refletir na reta x=0. A transformacao e dada por(x,y) -> (x,-y)Um semiplano se escreve comoax+by+c >= 0 para certas constanmtes a,b,c A equacao da imagem resultante seriaax-by+c >= 0que e um semiplanoNo espaco a demo e quase a mesma. Em 02/11/06, Douglas Alexandre <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Caros colegas, como mostro que uma reflexão leva semi-planos em semi-planos? Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt -- Ideas are bulletproof.V
Re: [obm-l] Geometria...
Outro modo:Se S e a area, e h_i e a altura a partir do lado i, temos que 2S=ah_a=bh_b=ch_cSuponha a+c=2b (e que a<=b<=c).Assim., podemos escrever h_a+h_c=2h_b, e (a+c)(h_a+h_c)=4bh_b=4S ah_a+ah_c+ch_a+ch_c=4S ah_c+ch_a=2S Mas sabemos queah_a+ch_c=2SLogo subtraindo as coisas:a(h_c-h_a)+c(h_a-h_c)=0 (a-c)(h_c-h_a)=0 (a-c)(2S/c-2S/a)=0 (a-c)(1/c-1/a)=0Logo a=c e por conseguinte a=c=b Em 28/10/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Oi, João, Ai vai uma solução: Se os lados a, b e c estão em PA, façamos a = 2x-r, b = 2x e c = 2x+r. Se S é a área e as alturas também estão em PA, 2S/a ; 2S/b e 2S/c estão em PA, ou seja: S/b é média aritmética de S/a e S/c ou seja: 1/2x = [1/(2x-r) + 1/)2x+r) ]/2 o que acarreta r =0. Abraços, Nehab At 23:40 27/10/2006, you wrote: Estou apanhanda desse exercício há alguns dias... Alguém por favor me dá uma mão... "Se os lados e as alturas de um triângulo estão em Progressão aritmética, prove que ele é equilátero..." Muito Obrigado. João -- Ideas are bulletproof.V
[obm-l] dúvidas - reflexões
Caros colegas, como mostro que uma reflexão leva semi-planos em semi-planos? Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l]FunçãoLipschitzem um subintervalo
Obrigado.
E agora sabemos que o intervalo em que f eh Lipschitz existe sob condicoes mais
fracas do que as originalmente assumidas.
Artur
- Original Message
From: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, November 2, 2006 8:29:37 AM
Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l]FunçãoLipschitzem um subintervalo
On Wed, Nov 01, 2006 at 12:12:22PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> Oi Nicolau
>
> Conforme mostra seu exemplo, diferenciabilidade em I nao implica que f seja
> localmente Lipschitz em I. Mas, de fato, implica a existência de algum
> subintevalo I' de I na qual f seja Lipschitz. Para ver isto, a prova que me
> ocorreu baseia-se nos seguintes fatos conhecidos da Analise:
>
> (1) - Se f eh derivavel em I, entao f eh Lipschitz em I se, e somente se, a
> sua derivada f' for limitada em I. Se M = supremo {|f'(x)| | x em I} entao M
> e anmenor constante de Lipschitz de f em I.
>
> (2) - A derivada f' eh o limite de uma sequencia (g_n) de funcoes continuas
> em I.
>
> (3) Se (g_n) eh uma sequencia de funcoes continuas definidas em um espaco de
> Baire B (logo em um espaco metrico completo), tem valores em R (ou mesmo nos
> complexos) e converge ponto a ponto (nao precisa ser uniformemente) para uma
> funcao g, entao existe um subconjunto A, aberto em B, no qual a sequencia
> (g_n) eh uniformemente limitada por algum M>0. Isto implica imediatamente que
> g seja limitada em A por M.
>
>
> Particularizando para o noso caso, temos que o intervalo I de R eh um espaco
> de Baire e que f' eh o limite de uma sequencia de funcoes (g_n), continuas em
> I e com valores em R. Segundo (3), segue-se que I contem um intervalo aberto
> I' no qual f' eh limitada por algum M>0. E agora, recorrendo-se a (1)
> concluimos que |f(u) - f(v)| <= M |u - v| para todos u e v de I', ficando
> assim provada a proposicao.
>
> Alguns acham que eh uma prova tenebrosa e ateh estupida, mas acho que estah
> certo.
Acho que a sua demonstração está correta e não é "tenebrosa", o problema
é difícil mesmo. Acho que a minha demonstração também está correta
e é mais curta, mas a sua é muito mais informativa.
Repito a minha demonstraçao, explicando a parte final.
Não é preciso supor f derivável em todo ponto, basta supor
que as quatro derivadas de Dini sejam sempre finitas:
lim sup_{h -> 0, h > 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim inf_{h -> 0, h > 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim sup_{h -> 0, h < 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim inf_{h -> 0, h < 0} (f(x+h)-f(x))/h.
Suponha que f não seja Lipschitz em nenhum intervalo.
Tome a_0 < b_0, b_0 - a_0 < 2^0, tais que |f(b_0) - f(a_0)| > 2^0 (b_0 - a_0).
Como f não é Lipschitz em nenhum intervalo, tome a_0 < a_1 < b_1 < b_0,
b_1 - a_1 < 2^(-1), tais que |f(b_1) - f(a_1)| > 2^1 (b_1 - a_1)
e assim sucessivamente
a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n < ... < b_n < ... < b_2 < b_1 < b_0,
com |f(b_n) - f(a_n)| > 2^n (b_n - a_n), b_n - a_n < 2^(-n).
Tome x = lim a_n = lim b_n.
Como |(f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)| > 2^n
temos |(f(b_n) - f(x))/(b_n - x)| > 2^n ou |(f(a_n) - f(x))/(a_n - x)| > 2^n.
Assim existe um conjunto infinito de índices n para os quais vale
uma das quatro possibilidades abaixo:
(f(b_n) - f(x))/(b_n - x) > 2^n,
(f(b_n) - f(x))/(b_n - x) < -2^n,
(f(a_n) - f(x))/(a_n - x) > 2^n,
(f(a_n) - f(x))/(a_n - x) < -2^n,
e portanto uma das quatro derivadas de Dini é infinita em x.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Funçã o Lipschitz em um subintervalo
On Wed, Nov 01, 2006 at 05:33:23PM -0200, Ronaldo Luiz Alonso wrote:
>
> >Não entendi o seu argumento mas é certamente falso que diferenciabilidade
> >implique em Lipschitz local em uma vizinhança de um ponto de máximo.
> >
> Não em um ponto de máximo.
>Eu disse que se a função
> é diferenciável em [a,b] ela é contínua em [a,b] então ela alcança um
> valor máximo e um
> valor mínimo no intervalo [a,b]. Pelos cálculos apresentados é sempre
> possível achar a constante
> de Lipschitz k em termos desses dois valores:
>
> Seja max{f} o maximo da função no intervalo I.
> Então:|f(x) - f(a)|< max{f}
> Deve existir k real tal que
> max{f} < k |x-a| para todo x em I.
>
> Para ver isso seja x_inf o menor
> valor de x no intervalo I e x_sup o maior valor.
>
> Então para qualquer x e qualquer a no intervalo I temos
>
> |x-a| < x_sup - x_inf.(comprimento de I)
>
>Se fizermos k = max{f}/(x_sup - x_inf) então :
>
> |f(x) - f(a)| < max{f} = max{f}/(x_sup - x_inf) * (x_sup - x_inf)
> <= max{f}/(x_sup - x_inf) * |x-a| <= k * |x-a|
>
>Bem, agora não sei onde os argumentos acima estão errados ...
> :)
Não entendi nada. Já a primeira desigualdade é falsa: se max(f) = 0
então não temos |f(x)-f(a)| < max(f), talvez você queira dizer
que |f(x)-f(a)| < max(f) - min(f). A segunda desigualdade também não
faz sentido: |x-a| assume o valor 0 para x=a e se max(f) for 1 (digamos)
não existirá nenhum k para o qual max(f) < k |x-a| para todo x em I.
Aliás não vejo onde você está usando a hipótese de f ser derivável
exceto para concluir que f é contínua. Ora, é bem sabido que existem
funções contínuas que não são Lipschitz em nenhum intervalo.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] FunçãoLipschitz em um subintervalo
On Wed, Nov 01, 2006 at 12:12:22PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
> Oi Nicolau
>
> Conforme mostra seu exemplo, diferenciabilidade em I nao implica que f seja
> localmente Lipschitz em I. Mas, de fato, implica a existência de algum
> subintevalo I' de I na qual f seja Lipschitz. Para ver isto, a prova que me
> ocorreu baseia-se nos seguintes fatos conhecidos da Analise:
>
> (1) - Se f eh derivavel em I, entao f eh Lipschitz em I se, e somente se, a
> sua derivada f' for limitada em I. Se M = supremo {|f'(x)| | x em I} entao M
> e anmenor constante de Lipschitz de f em I.
>
> (2) - A derivada f' eh o limite de uma sequencia (g_n) de funcoes continuas
> em I.
>
> (3) Se (g_n) eh uma sequencia de funcoes continuas definidas em um espaco de
> Baire B (logo em um espaco metrico completo), tem valores em R (ou mesmo nos
> complexos) e converge ponto a ponto (nao precisa ser uniformemente) para uma
> funcao g, entao existe um subconjunto A, aberto em B, no qual a sequencia
> (g_n) eh uniformemente limitada por algum M>0. Isto implica imediatamente que
> g seja limitada em A por M.
>
>
> Particularizando para o noso caso, temos que o intervalo I de R eh um espaco
> de Baire e que f' eh o limite de uma sequencia de funcoes (g_n), continuas em
> I e com valores em R. Segundo (3), segue-se que I contem um intervalo aberto
> I' no qual f' eh limitada por algum M>0. E agora, recorrendo-se a (1)
> concluimos que |f(u) - f(v)| <= M |u - v| para todos u e v de I', ficando
> assim provada a proposicao.
>
> Alguns acham que eh uma prova tenebrosa e ateh estupida, mas acho que estah
> certo.
Acho que a sua demonstração está correta e não é "tenebrosa", o problema
é difícil mesmo. Acho que a minha demonstração também está correta
e é mais curta, mas a sua é muito mais informativa.
Repito a minha demonstraçao, explicando a parte final.
Não é preciso supor f derivável em todo ponto, basta supor
que as quatro derivadas de Dini sejam sempre finitas:
lim sup_{h -> 0, h > 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim inf_{h -> 0, h > 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim sup_{h -> 0, h < 0} (f(x+h)-f(x))/h,
lim inf_{h -> 0, h < 0} (f(x+h)-f(x))/h.
Suponha que f não seja Lipschitz em nenhum intervalo.
Tome a_0 < b_0, b_0 - a_0 < 2^0, tais que |f(b_0) - f(a_0)| > 2^0 (b_0 - a_0).
Como f não é Lipschitz em nenhum intervalo, tome a_0 < a_1 < b_1 < b_0,
b_1 - a_1 < 2^(-1), tais que |f(b_1) - f(a_1)| > 2^1 (b_1 - a_1)
e assim sucessivamente
a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n < ... < b_n < ... < b_2 < b_1 < b_0,
com |f(b_n) - f(a_n)| > 2^n (b_n - a_n), b_n - a_n < 2^(-n).
Tome x = lim a_n = lim b_n.
Como |(f(b_n)-f(a_n))/(b_n-a_n)| > 2^n
temos |(f(b_n) - f(x))/(b_n - x)| > 2^n ou |(f(a_n) - f(x))/(a_n - x)| > 2^n.
Assim existe um conjunto infinito de índices n para os quais vale
uma das quatro possibilidades abaixo:
(f(b_n) - f(x))/(b_n - x) > 2^n,
(f(b_n) - f(x))/(b_n - x) < -2^n,
(f(a_n) - f(x))/(a_n - x) > 2^n,
(f(a_n) - f(x))/(a_n - x) < -2^n,
e portanto uma das quatro derivadas de Dini é infinita em x.
[]s, N.
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