Re: [obm-l] somatorio

[Davi de Melo Jorge Barbosa]

Ela não "vale", pois não é uma série convergente.
O limite dessa série quando n -> +inf é +inf, ou seja, ela assume um valor
tão grande quando você queria.

A demonstração sai assim:

1 + 1/2 + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ( 1/9 + ... + 1/16 ) +
...

= 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ( 1/16 + ... + 1/16

) + ...
  = 1 + 1/2 + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ...

e assim você pode somar quanto quiser, sem limites.

veja mais em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29

On 11/25/06, Renato Godinho <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ?
O mais longe que cheguei foi em 1/C1,1 + 1/C2,1 + 1/C3,1 + ... + 1/Cn,1 ,
mas nao soube sair dai. Quem puder ajudar...

[]s,
Renato

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Re: [obm-l] ajuda em probabilidade

[Roger]

Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 4 brancas. Ao se
retirar simultaneamente 5 bolas ao acaso, qual a
probabilidade de se obter 3 bolas vermelhas,
aproximadamente?



-

O número de escolha possíveis para as três bolas vermelhas retirando 5
bolas:

(C4,3).7.6

Possibilidades de se escolher 5 bolas em 11:
C11,5

P = (C4,3).7.6 / C11,5 = 4 . 7. 6 /  462 = 0,36









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[obm-l] ajuda em probabilidade

[Fabio Silva]

Uma urna contém 7 bolas vermelhas e 4 brancas. Ao se
retirar simultaneamente 5 bolas ao acaso, qual a
probabilidade de se obter 3 bolas vermelhas,
aproximadamente?
(achei 19 por cento, mas tenho duvidas).

Vlw.



 

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Re: [obm-l] Desigualdade entre as médias

[Ary Medino]

Caro MP
   
  Observe que (y^3-x^3)/(y-x)=y^2+xy+x^2 <=3y^2<=z^2+yz+y^2=(z^3-y^3)/(z-y),  
sendo a primeira desigualdade para 0<=x escreveu:
  Saudações,

outro dia uma aluna me pediu que eu demonstrasse a seguinte desigualdade:

(a+b+c)/3 =< CBRT[(a^3+b^3+c^3)/3],

CBRT -> raiz cubica
para a, b e c reais positivos

eu já havia resolvido uma parecida:

(a+b+c)/3 =< SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

mas usava o fato de que a soma dos quadrados das distâncias de cada 
número até a média é não negativa:

A=(a+b+c)/3 e B=SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3]

(a-A)^2 + (b-A)^2 + (c-A)^2 >=0

a^2 + b^2 + c^2 -2A(a+b+c) + 3A^2 >=0

a^2 + b^2 + c^2 = 3B^2
(a+b+c) =3A

3B^2 -6A^2 + 3A^2 >=0

B^2 >= A^2

A =< B.

Alguem pode me ajudar na demonstração da média cúbica?

[]'s  MP




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Re: [obm-l] Binomiais e integral....

[Ary Medino]

 oi Carlos,
 você pode calcular essa integral seguindo as idéias do livro de Cálculo 
vol. II do Simmons, na seção de título "Produto de Wallis". 
 Observe esse resultado e a relação com uma observação feita por Claudio 
Buffara no email enviado a esta lista (abaixo)
 
Abraço
Ary

Carlos Gomes <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:   Alguém tem alguma sugestão?
  
 Mostre que  Binomial(2k,k)=2/pi . integral (de 0 a pi/2) de (2.senx)^(2k) dx?
  
 Valew, Cgomes


Data: Sat, 25 Nov 2006 02:46:40 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] 
Duas Questõ  es De:"claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>  Adicionar endereço 
Para:"obm-l" [input]   [input]   [input]   [input]

Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7.
Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3.
5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para 
todos os a_i).

A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar 
que:
(p+1)(p+2)(p+m)/m! = Binom(p+m,m) = inteiro.

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original
 ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 24 Nov 2006 15:07:20 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões

> Olá,
> 
> sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes 
numeros é divisivel por m!...
> 
> como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de 
representantes modulo m..
> deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei:
> 
> a_1 = km
> a_2 = km + 1
> a_3 = km + 2
> .
> .
> a_m = km + (m-1)
> 
> isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por
 diante.
> 
> assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos:
> k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m
> 
> temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1
> mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m
> assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1)
> para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante..
> novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m...
> isto é, podemos reordena-los de modo que:
> b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1...
> 
> seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1, 
m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m!
> 
> se tiver algo errado, aguardo correcoes
> abracos,
> Salhab
> 
> 
> 
>   - Original Message - 
>   From: ivanzovisk 
>   To: obm-l 
>   Sent: Friday, November 24, 2006 10:15
 AM
>   Subject: [obm-l] Duas Questões
> 
> 
>   1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e 
consecutivos é divisivel por m!
> 
> 
> 
>   2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas 
formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam 
do mesmo par? 
> 
> 



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Re: [obm-l] Binomiais e integral....

[Ary Medino]

oi Carlos,
 você pode calcular essa integral seguindo as idéias do livro de Cálculo 
vol. II do Simmons, na seção de título "Produto de Wallis". 
 Observe esse resultado e a relação com uma observação feita por Claudio 
Buffara no email enviado a esta lista (abaixo)
 
Abraço
Ary

Carlos Gomes <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:   Alguém tem alguma sugestão?
  
 Mostre que  Binomial(2k,k)=2/pi . integral (de 0 a pi/2) de (2.senx)^(2k) dx?
  
 Valew, Cgomes



Data: Sat, 25 Nov 2006 02:46:40 -0300 Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] 
Duas Questõ  es De:"claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>  Adicionar endereço 
Para:"obm-l" [input]   [input]   [input]   [input]

Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7.
Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3.
5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para 
todos os a_i).

A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar 
que:
(p+1)(p+2)(p+m)/m! = Binom(p+m,m) = inteiro.

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 24 Nov 2006 15:07:20 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões

> Olá,
> 
> sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes 
numeros é divisivel por m!...
> 
> como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de 
representantes modulo m..
> deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei:
> 
> a_1 = km
> a_2 = km + 1
> a_3 = km + 2
> .
> .
> a_m = km + (m-1)
> 
> isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por diante.
> 
> assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos:
> k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m
> 
> temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1
> mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m
> assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1)
> para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante..
> novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m...
> isto é, podemos reordena-los de modo que:
> b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1...
> 
> seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1, 
m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m!
> 
> se tiver algo errado, aguardo correcoes
> abracos,
> Salhab
> 
> 
> 
>   - Original Message - 
>   From: ivanzovisk 
>   To: obm-l 
>   Sent: Friday, November 24, 2006 10:15 AM
>   Subject: [obm-l] Duas Questões
> 
> 
>   1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e 
consecutivos é divisivel por m!
> 
> 
> 
>   2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas 
formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam 
do mesmo par? 
> 
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Alguém tem alguma sugestão?

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Valew, Cgomes

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[Renato Godinho]

Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ?
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  Renato


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