[obm-l] Convergencia/divergencia de Soma (1/(a_n + k)
Eu gostaria de uma ajuda com esta questão: Sejam (a_n) uma sequencia de reais e c um numero real tal que Soma(n=1) 1/(a_n + c) convirja (divirja). É então verdade que, para todo k tal que a_n + k nunca se anule, tenhamos que Soma(n=1) 1/(a_n + k) converge (diverge)? Por exemplo, para todo k que nao seja inteiro negativo, Soma(1/(n + k) diverge (neste caso, a conclusao eh facilmente obtida pelo teste da integral, mas hah casos mais complicados) Esta me parecendo que isso eh verdade se, e somente se, Soma((1/an))^2 convergir, comecando-se o somatorio em algum valor de n a partir do qual a_n nao se anule. Mas não estou certa. Serah quer existe uma forma mais pratica, jah que a analise da serie Soma((1/an))^2 pode ser complicada? Obrigada, bom 2007 atrasado para todos. Sandra ___ Join Excite! - http://www.excite.com The most personalized portal on the Web! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequencia de medias ponderadas
Há algumas semana alguém na lista propos a seguinte demonstracao, que nao foi porem apresentada: Sejam a_n uma sequencia de numeros reais, p_n uma sequencia de pesos positivos e s_n a sequencia das medias ponderadas dos a_n pelos p_n, isto eh, s_n = (Soma(i=1,n)(p_i * a_i))/Soma(i=1,n)(p_i) a) Se Soma (i=1, oo) p_n divergir, entao lim inf a_n = lim inf s_n = lim sup s_n = lim sup a_n (obviamente, a desigualdade do meio vale para qualquer seq. de reais). Daih concluimos que, se a_n - a, então s_n - a, mesmo que a = oo ou a = -oo nos reais expandidos. b) Se Soma (i=1, oo) p_n convergir, entao, se a_n for limitada, s_n converge em R. Logo, se a_n -a em R , entao s_n - s em R, podendo-se ter a s. O item (b) eh simples, basta ver que a sequencia do numerador eh absolutamente covergente. Mas me perdi no item (a), gostaria de alguma sugestao (e claro que, demonstradas as desigualdades, a segunda conclusao é imediata) . Obrigada Sandra ___ Join Excite! - http://www.excite.com The most personalized portal on the Web! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia/divergencia de Soma (1/(a_n + k)
On 1/8/07, Sandra [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu gostaria de uma ajuda com esta questão: Sejam (a_n) uma sequencia de reais e c um numero real tal que Soma(n=1) 1/(a_n + c) convirja (divirja). É então verdade que, para todo k tal que a_n + k nunca se anule, tenhamos que Soma(n=1) 1/(a_n + k) converge (diverge)? Note que c pode ser zero na afirmação acima. Uma observação (mais ou menos óbvia para muitos) que pode ser feita a primeira vista é que se a_n 0 e kc0 então a_n +k nunca se anula. Mais ainda a_n + k a_n + c e pelo teste da comparação se soma (a_n + c) converge então soma (a_n + k) converge. Será que a recíproca disso é verdadeira? Talvez não porque teríamos que ter 1/(a_n +k) 1/ (a_n + c) . Acho que dá pra achar alguma desigualdade entre envolvendo 1/(a_n +k) , 1/a_n e 1/k mas vou depois eu penso nisso ... []s Ronaldo Por exemplo, para todo k que nao seja inteiro negativo, Soma(1/(n + k) diverge (neste caso, a conclusao eh facilmente obtida pelo teste da integral, mas hah casos mais complicados) Esta me parecendo que isso eh verdade se, e somente se, Soma((1/an))^2 convergir, comecando-se o somatorio em algum valor de n a partir do qual a_n nao se anule. Mas não estou certa. Serah quer existe uma forma mais pratica, jah que a analise da serie Soma((1/an))^2 pode ser complicada? Obrigada, bom 2007 atrasado para todos. Sandra ___ Join Excite! - http://www.excite.com The most personalized portal on the Web! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ronaldo Luiz Alonso -- Computer Engeener LSI-TEC/USP - Brazil.
Re: [obm-l] questoes duvidosas
Caros colegas, Me corrijam se eu estiver equivocado mas uma equação segmentária *nunca*terá a forma x/a+y/b=0 pois a forma segmentária é sempre x/a+y/b=1 onde *a* é a intersecção com o eixo x e *b*, com o eixo y. Aliás, se a reta contiver a origem ela não pode ser representada na forma segmentária. Um abraço, Teixeira!! Em 27/12/06, Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] escreveu: Amigo Geraldo, 1ª questão. Seja o polinômio: p(x) = (x - 1)*(x - 2)*(...)*(x - 9) obviamente: p(1) = 0 = p(2) = p(3) = ... = p(9) como p(x) está completamente fatorado em binômios de grau 1, pelo Teo. de D'Alembert: 1, 2, 3, ... e 9 são AS ÚNICAS raízes de p(x). Assim, analisemos as sentenças: 1. p(x) tem 10 divisores de grau 1 Falso. São nove. A saber: (x - 1) , (x - 2) , (...) e (x - 9) 2. p(x) tem 45 divisores de grau 2 Falso. São 36. A saber: (x - 1)*(x - 2), (x - 1)*(x - 3), (x - 1)*(x - 4), ... e (x - 8)*(x - 9) Total de divisores: Combinação de 9, 2 a 2. C(9,2) = 36 4. o produto das raizes de p(x) é igual a (2^7)*(3^4)*5*7 Verdadeiro. O produto das raízes será: 1*2*3*4*5*6*7*8*9. Separando os fatores primos: (2^7)*(3^4)*5*7 8. a soma das raizes de p(x) é igual a 45 Verdadeiro. A soma das raízes será: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 :) 16. todas as raizes de p(x) tem multiplicidade 2 Falso. Nenhuma das raízes aparece duas vezes. Na verdade, todas são de multiplicidade 1. - A 2ª questão (do plano complexo) precisa de uma imagem em anexo. Portanto, não pode ser publicada nessa lista. Me mande um e-mail para eu enviar a solução. [EMAIL PROTECTED] - 3ª questão: Uma dúvida sobre o enunciado: há restrições para os coeficientes a e b da equação segmentaria? Se esses coeficientes puderem assumir quaisquer valores reais não-nulos, segue a resposta: Resposta: A condição é passar pela origem dos eixos coordenados. Toda reta r que passa pela origem dos eixos ordenados tem equação reduzida da forma r: y=A.x (onde A um real não-nulo) Ao transformarmos a equação de r da forma reduzida para a forma geral, obteremos a tal da equação segmentaria. --- Acho que isso é tudo. Espero estar isento de falhas. Abraços, FC. From: GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: Lista _OBM obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questoes duvidosas Date: Wed, 27 Dec 2006 10:59:29 + (GMT) 0la pssoal, Gostaria que vcs dessem uma olhada nessas questoes pra mim e me mostrassem como faze-las. 1.Sobre o polinomio p(x) = (x - 1)*(x - 2)*(...)*(x - 9), analise as proposiçoes abaixo identificando as verdadeiras. 1. p(x) tem 10 divisores de grau 1 2. p(x) tem 45 divisores de grau 2 4. o produto das raizes de p(x) é igual a (2^7)*(3^4)*5*7 8. a soma das raizes de p(x) é igual a 45 16. todas as raizes de p(x) tem multiplicidade 2 2. a representação de um numero complexo z = a + b*i, no plano cartesiano, é o ponto P(a,b). Suponha que os pontos A, B e C sejam as representações das raizes cubicas da unidade e que o percurso de uma marcha atletica, com 42 km de extensao, seja representado pelo triangulo ABC, cujos lados sao medidos em km. Nesse sentido, quantas vezes um atleta, partindo de A, passará pelo ponto B, para completar a prova? OBS: Use sqrt3 = 1,73. 3. Qual a condição para que uma reta possua equação segmentaria igual a zero. Ex: x/a + y/b = 0 ? Aguardo respostas. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] EN-90/91
1) Os triângulos ABC e ABD são equiláteros e estão situados em planos perpendiculares. O cos CÂD é igual a? a) 1/2. b) 1/4.c) 1/6. d) 1/8. = Solução: 1°) Traçar as alturas relativas à base AB de ambos os triângulos (CH e DH). 2°) Construir o triângulo CHD. Sabendo q CHD é retângulo em H e que CH = HD = (lado).(rq3) / 2, descobrimos o valor do lado CD. 3°) Tome o triângulo CAD. De posse dos valores dos seus lados, podemos (por lei dos cossenos) descobrir o valor do cos(CÂD) 4°) A resposta é a letra B. Confira! Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergencia/divergencia de Soma (1/(a_n + k)
Acho que a hipotese da Sandra quanto aa convergencia de Soma (1/a_n)^2 estah certa. Suponhamos que Soma(n=1) 1/(a_n + c) convirja e seja k conforme citado no enunciado. A diferenca entre as sequencias das somas parciais de (1/(a_n + k) e 1/(a_n + c) eh a sequencia das somas parciais de 1/(a_n + k) - 1/(a_n + c) = (c-k)/((a_n +k)*(a_n+c)) . Como Soma(n=1) 1/(a_n + c) converge, lim 1/(a_n + c) = 0 = |a_n +c| - oo = |a_n| - oo, de modo que para n suficientemente grande temos |a_n| 0 e (a_n +k)*(a_n+c) 0 = 1/((a_n +k)*(a_n+c)) 0 . Alem disto, lim 1/(a_n^2)/(1/(a_n +k)*(a_n+c) ) = lim ((a_n +k)*(a_n+c))/(a_n)^2 = 1 0. Pelo teste do limite, temos que as series Soma 1/(a_n^2) e Soma ((a_n +k)*(a_n+c)) sao ambas convergente ou ambas divergentes. dada que a primeira, por hipotese, eh convergente, temos que a segunda tambem eh, o que implica que Soma (c-k)/((a_n +k)*(a_n+c)) = Soma (/(a_n + k) - 1/(a_n + c)) convirja eque, por sua vez, implica que Soma (1/(a_n + k)) convirja para todo k tal que a_n + k nunca se anule. Por um raciocinio similar, vemos que, se Soma(n=1) 1/(a_n + c) convergir para um c e Soma (1/a_n)^2 divergir, entao Soma (1/(a_n + k)) diverge para todo kc. Vemos ainda que, se Soma(n=1) 1/(a_n + c) divergir para um c e Soma (1/a_n)^2 convergir, entao Soma (1/(a_n + k)) diverge para todo kc . Exemplos: Soma(1/(n^2 + k) converge para todo k que nao seja o negativo de um quadrado perfeito Soma(1/(n+ k) diverge para todo real k (supondo-se denominadores nao nulos) Soma((-1)^(n)/(raiz(n) converge (c = 0) mas Soma((-1)^(n)/(raiz(n) + k) diverge para todo real k (supondo-se denominadores nao nulos). Sendo p_n o n-gésimo primo positivo, Soma1/(p_n + k) diverge para todo k que nao seja um primo negativo. E creio que ainda temos as seguintes conclusoes, visto que as hipoteses implicam a convergencia de Soma (1/a_n)^2 (sempre supondo-se denominadores nao nulos)) Se Soma(n=1) 1/(a_n + c) convergir absolutamente, entao Soma(n=1) 1/(a_n + k) converge absolutamente para todo k. Se Soma(n=1) 1/(a_n + c) convergir e a_n for limitada superior ou inferiormente, entao Soma(n=1) 1/(a_n + k) converge para todo k. Espero que isto ajude. favor checar quanto enganos. Artur - Original Message From: Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 8, 2007 1:12:58 PM Subject: Re: [obm-l] Convergencia/divergencia de Soma (1/(a_n + k) On 1/8/07, Sandra [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu gostaria de uma ajuda com esta questão: Sejam (a_n) uma sequencia de reais e c um numero real tal que Soma(n=1) 1/(a_n + c) convirja (divirja). É então verdade que, para todo k tal que a_n + k nunca se anule, tenhamos que Soma(n=1) 1/(a_n + k) converge (diverge)? Note que c pode ser zero na afirmação acima. Uma observação (mais ou menos óbvia para muitos) que pode ser feita a primeira vista é que se a_n 0 e kc0 então a_n +k nunca se anula. Mais ainda a_n + k a_n + c e pelo teste da comparação se soma (a_n + c) converge então soma (a_n + k) converge. Será que a recíproca disso é verdadeira? Talvez não porque teríamos que ter 1/(a_n +k) 1/ (a_n + c) . Acho que dá pra achar alguma desigualdade entre envolvendo 1/(a_n +k) , 1/a_n e 1/k mas vou depois eu penso nisso ... []s Ronaldo Por exemplo, para todo k que nao seja inteiro negativo, Soma(1/(n + k) diverge (neste caso, a conclusao eh facilmente obtida pelo teste da integral, mas hah casos mais complicados) Esta me parecendo que isso eh verdade se, e somente se, Soma((1/an))^2 convergir, comecando-se o somatorio em algum valor de n a partir do qual a_n nao se anule. Mas não estou certa. Serah quer existe uma forma mais pratica, jah que a analise da serie Soma((1/an))^2 pode ser complicada? Obrigada, bom 2007 atrasado para todos. Sandra ___ Join Excite! - http://www.excite.com The most personalized portal on the Web! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ronaldo Luiz Alonso -- Computer Engeener LSI-TEC/USP - Brazil. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] prova para prof do rio
Perdão, mas alguém conseguiu solucionar a questão 1 desta lista? Se alguém tiver favor me enviar, obrigado! Em 26/12/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: opa... 3) y= (a + 1)x^2 - 2ax - (3a + 7) queremos encontrar os valores de x, tal que y nao dependa de a! para isso, vamos fazer o seguinte: y = a(x^2 - 2x -3) + x^2 - 7 x^2 - 2x - 3 = 0 = x = -1 ou x = 3 x = -1 = y = -6 x = 3 = y = 2 comprimento da corda = || (-1, -6) - (3, 2) || = || (-4, -8) || = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 2sqrt(20) = 4sqrt(5) letra D 4) vamos considerar que dancaram apenas homens e mulheres, entao, H + M = 20... seguindo a ideia do enunciado, vamos ter que a mulher numero M, dancou com M + 6 homens.. como nina dancou com todos, temos que ter M + (M+6) = 20 = 2M + 6 = 20 = M = 7 = H = 13 letra B 2) (x - 1)^2 - 3y = 9 (i) (x - 1)^2 + y = 9 (ii) dado um ponto qquer (a, b) pertencendo a (i) = (a - 1)^2 - 3b = 9 reta vertical: x = a, temos que encontrar a interseccao com (ii), entao: (a-1)^2 + y = 9 = y = 9 - (a-1)^2 reta horizontal: y = b, temos que encontrar a interseccao com (i), entao: (x-1)^2 - 3b = 9 = (x-1)^2 = 9 + 3b = | x-1 | = sqrt(9 + 3b) = x = 1 +- sqrt(9 + 3b) ok.. agora, o perimetro é dado por: 2P = 2 * [ 9 - (a-1)^2 - b ] + 2 * [ 1 + sqrt(9 + 3b) - 1 + sqrt(9 + 3b) ] mas: (a-1)^2 - 9 = 3b = 2P = 2 * [-b - 3b] + 2 * [2 * sqrt(9 + 3b) ] = 2P = -8b + 4sqrt(9 + 3b) bom.. acho que devo ter errado alguma coisa.. :) pq nao da nenhuma das alternativas abraços, Salhab - Original Message - *From:* mentebrilhante brilhante [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, December 25, 2006 10:09 PM *Subject:* [obm-l] prova para prof do rio algumas questões que eu não consegui resolve 1 - Considere um Trapézio ABCD retângulo em A , cuja medida do lado BC é o dobro da medida do lado AB , Sendo esta a base menor do trapézio .Seja ainda M o ponto médio do lado BC e 114º a medida do ângulo BMD . Nestas condições , a medida do menor ângulo do trapézio é : A 36º B 48º C 66ºD 76º 2 - Inscrevem-se retângulos na região definida pelas desigualdades (x - 1)^2 - 3y= 9 e ( x - 1 )^2 + y = 9 . Em tais condições , o retângulo de´perímetro máximo possui área de : A- 64/3B - 27C - 20 D - 11 3- Considerem - se as funções quadráticas definidas por y= (a + 1)x^2 - 2ax - (3a + 7) na variável x , com o parâmetro ''a'' . Todos os gráficos destas funções apresentam uma corda comum . O comprimento da corda é : A- raiz de 5B - 2 raiz de 5 C - 3 raiz de 5 D - 4 raiz de 5 4 - Em uma festa , 20 pessoas dançaram . Ana dançou com 7 , alga com 8 , vera com 9 e assim por diante , ate Nina , que dançou com todos . O número de homens na festa é A- 15 B - 13C - 11 D - 7 Desde já agradeço __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.26/601 - Release Date: 24/12/2006
