Re: [obm-l] Paradoxo de Newcomb
Que nada, não precisa pedir desculpas de nada mas muito obrigado pela cordialidade. De qualquer forma, está um pouco ´off- topic´ e também achei um pouco ´enrrolado´ ou ´capenga´, não sei- então deixemos o ´Newcomb´ pra lá! Um abração, Miglo 2007/2/2, Paulo Cesar [EMAIL PROTECTED]: Acredito que a simples idéia de onipotência e onisciência sempre nos levará a paradoxos. Poder tudo e Saber tudo contradizem a própria condição humana. O curioso é podermos achar que poder tudo e saber tudo são idéias tangíveis ao nosso raciocínio. Eu, muito particularmente, acredito que não. Um paradoxo famoso é: Se Deus é onipotente, pode Ele criar uma pedra que Ele mesmo não consiga levantar? Excelente post este do Nicolau, mesmo que tenha cara de OFF-TOPIC. Se algum religioso radical ler isto, seremos todos queimados numa enorme fogueira!! []'s PC
Re: [obm-l] Paradoxo do teste surpresa
On Thu, Feb 01, 2007 at 10:47:41PM +, Rogerio Ponce wrote: Ola' Nicolau e colegas da lista, eu acho intuitivo entender-se como surpresa (ou inesperado) o fato de um evento ocorrer sem conhecimento previo. Assim, o evento e' uma surpresa (o dia escolhido e' inesperado) quando os alunos nao sabem in advance qual a decisao do professor, antes que esta seja proclamada (manifestada). Consideremos que as aulas vao das 8hs ate' as 17hs, e que os testes tem uma hora de duracao. Entao vejamos o que aconteceu: alguns alunos afirmaram que se o teste nao fosse feito ate' a quinta-feira, entao a realizacao do mesmo na sexta-feira descaracterizaria a qualidade de inesperado. Entretanto, ate' o ultimo segundo (15:59:59) em que fosse possivel ao professor optar pela realizacao do teste na quinta-feira, ninguem saberia em que dia o mesmo ocorreria. E mesmo durante o ultimo segundo, o professor poderia, ou nao, mudar de ideia. Dessa forma, somente exatamente na passagem do ultimo instante e' que se saberia da decisao do professor. Portanto, mesmo calado, o professor sempre surpreenderia os alunos ao decidir fazer o exame na sexta. E assim, toda a inducao dos alunos e' furada... E' interessante notar que o ultimo instante nada tem a ver com a meia-noite de quinta, mas com o final do intervalo de tempo destinado a decisao do professor (que neste exemplo ocorreria 'as 16hs de quinta-feira). A idéia do paradoxo é que o conjunto de opcões para dia-hora-local do teste é finito. Por exemplo, podemos entender que o teste será das 11hs às 12hs na sala 160L e que isto será anunciado no quadro de avisos da escola às 9hs no dia do teste. A única coisa que não se sabe é o dia do teste. A idéia é que o teste deixa de ser surpresa se às 18hs da véspera os alunos já sabem com certeza o dia do teste (antes do aviso ser afixado, portanto). Se o teste não ocorreu até 5a feira, às 18hs de 5a feira os alunos sabem com certeza que o teste será 6a feira (desde que os alunos possam considerar certo que de fato haverá um teste em algum dia da semana, que eles não tenham esquecido que o teste de fato já ocorreu na 3a feira, que o professor não vá marcar o teste para o sábado, que o calendário não será reformulado do dia para a noite e desde que os alunos sejam capazes de fazer raciocínios simples sem errar). Neste sentido acho bem razoável dizer que se o professor aplicar o teste na 6a feira ele cumpriu sua promessa de aplicar o teste, mas não cumpriu a promessa de que o teste seria surpresa. Claro que o professor pode ter dado outra interpretacão para a palavra surpresa... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencias
Soh pra complementar: sen(log(n+1)) - sen(log(n)) - 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) - 0 e a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer dizer que |sen(x) - sen(y)| = |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R. Pra ver isso, faca: |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| = 2*|sen((x-y)/2)| = 2*|(x-y)/2| = |x-y|. O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n divergente implica sen(x_n) divergente. Por exemplo, se a_n - a entao x_n = a_n + 2*pi*n - infinito, mas sen(x_n) - sen(a). O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons tempos aqueles...). No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de aderencia. Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) - 0 (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, podemos tomar indices n_1, n_2, tais que: n_k = maior indice tal que x_n_k = k*pi + pi/2 == x_n_k = k*pi + pi/2 x_(n_k + 1) (**) Mas (x_(n+1) - x_n) - 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso quer dizer que: lim(k - +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. Logo, como seno eh continua: (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) - sen((2m-1)*pi + pi/2) = -1; e (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) - sen(2m*pi + pi/2) = 1. Acho que eh isso. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200 Assunto: Re: [obm-l] sequencias Olá Artur, sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf, entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ... deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x) diverge qdo x-inf.. bom, qquer erro, por favor, me corrija! abraços, Salhab - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM Subject: RES: [obm-l] sequencias Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente valida Artur -Mensagem original- De: Artur Costa Steiner Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] sequencias No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq. cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes dadas mas não converge. Artur -Mensagem original- De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] sequencias sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que (x_n) é limitada. Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). Mostre que 1 = a_n = 2. Na primeira não tive muito progresso. Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não consegui, cheguei a_n = 3. _ Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] Aritmetica
Tres estudantes conbinaram em fazer uma excurssão. 0 1º concorreu com uma quantia de 2450, o 2º como 1895 e o 3º com 6000. Na volta contaram a sobra e viram que sobrou 1038. Quanto cada um deverá receber desse resto para que a despesa fique dividida em partes iguais? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Aritmetica
At 10:15 2/2/2007, Marcus Aurélio wrote: Tres estudantes conbinaram em fazer uma excurssão. 0 1º concorreu com uma quantia de 2450, o 2º como 1895 e o 3º com 6000. Na volta contaram a sobra e viram que sobrou 1038. Quanto cada um deverá receber desse resto para que a despesa fique dividida em partes iguais? Oi Marcus, blz? Me parece q esse é um caso onde se deve usar a proporcionalidade. Vc deve determinar em % quanto cada um contribuiu para o total. Depois é só aplicar esse percentual de cada um ao que sobrou (1038) para saber quanto cada um deve receber. Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] sequencias
De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) - oo e l(n+1) - ln(n) - 0. Uma forma de ver isso dem formalizar: à media em que n vai aumentando, vamos percorrendo o círculo, sendo que a diferença entre pontos consecutivos é cada vez menor. Assim , se x está em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro que isso noa eh prova, soh a ideia Artur -Mensagem original- De: claudio.buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] sequencias Soh pra complementar: sen(log(n+1)) - sen(log(n)) - 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) - 0 e a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer dizer que |sen(x) - sen(y)| = |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R. Pra ver isso, faca: |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| = 2*|sen((x-y)/2)| = 2*|(x-y)/2| = |x-y|. O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n divergente implica sen(x_n) divergente. Por exemplo, se a_n - a entao x_n = a_n + 2*pi*n - infinito, mas sen(x_n) - sen(a). O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons tempos aqueles...). No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de aderencia. Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) - 0 (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, podemos tomar indices n_1, n_2, tais que: n_k = maior indice tal que x_n_k = k*pi + pi/2 == x_n_k = k*pi + pi/2 x_(n_k + 1) (**) Mas (x_(n+1) - x_n) - 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso quer dizer que: lim(k - +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. Logo, como seno eh continua: (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) - sen((2m-1)*pi + pi/2) = -1; e (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) - sen(2m*pi + pi/2) = 1. Acho que eh isso. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200 Assunto: Re: [obm-l] sequencias Olá Artur, sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf, entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ... deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x) diverge qdo x-inf.. bom, qquer erro, por favor, me corrija! abraços, Salhab - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM Subject: RES: [obm-l] sequencias Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente valida Artur -Mensagem original- De: Artur Costa Steiner Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] sequencias No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq. cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes dadas mas não converge. Artur -Mensagem original- De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] sequencias sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que (x_n) é limitada. Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). Mostre que 1 = a_n = 2. Na primeira não tive muito progresso. Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não consegui, cheguei a_n = 3. _ Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Re: [obm-l] Paradoxo do teste surpresa
Temos q levar em consideração a não-realização do teste. Ou seja: se ele NÃO aplicar o teste 2ªf. já é uma surpresa. O ideal seria q o professor não falasse q haveria teste. Aí sim seria surpresa! Hehehe Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Aritmetica
Tres estudantes conbinaram em fazer uma excurssão. 0 1º concorreu com uma quantia de 2450, o 2º como 1895 e o 3º com 6000. Na volta contaram a sobra e viram que sobrou 1038. Quanto cada um deverá receber desse resto para que a despesa fique dividida em partes iguais? == Despesa inicial total: 2450 + 1895 + 6000 = 10.345 Sobrou 1.038. Logo, a despesa real foi de: 10.345 - 1.038 = 9.307 Assim, bastaria que cada um tivesse desembolsado: 9.307 / 3 = 3.102,33 Como o 3° estudante gastou 6.000, vamos devolver tudo o que sobrou a ele. Assim, cada um gastou: 1°) 2.450 2°) 1.895 3°) 6.000 - 1.038 = 4.962 Para que a despesa fique dividida em partes iguais (em 3.102,33), o 1° e o 2° estudantes terão q desembolsar mais uma grana para o 3°. O 1° ainda falta completar: 3.102,33 - 2.450 = 652,33 O 2° ainda falta completar: 3.102,33 - 1.895 = 1.207,33 O 3° terá que receber o que gastou a mais: 4.962 - 3.102,33 = 1859,67 (quantia essa q é a soma das dívidas dos outros 2) == Resumindo: Devolvemos tudo q sobrou pro 3° estudante. O 1° ainda tem q pagar 652,33 ao 3° O 2° ainda tem q pagar 1.207,33 ao 3° Assim todos gastam a mesma quantia (de 3.102,33) E o 3° ainda sai no prejú de 1 centavo! Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] sequencias
Ola Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, O caso i) ja foi resolvido e discutido aqui por varios colegas. O caso ii) e absolutamente trivial, pois se a_(n+1) 2 para algum n teriamos (a_n) * [ 2 - (a_n/2)] 2 = (a_n)^2 - 4*(a_n) + 4 0 = (a_n - 2)^20 = quadrado de numero real negativo ... ABSURDO !!! Assim, como queriamos demonstrar, deve ser a_n = 2 para todo n . Agora um outro sobre sequencias e series, nao tao simples como este : Seja ( a_n) um sequencia tal a_n 0 para todo n e [ a_(n+1) / a_n ] = q^n, onde q e constante e 0 q 1. Calcule o valor da serie S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ... Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 6,120B,020207 -Mensagem original- De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] sequencias sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que (x_n) é limitada. Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). Mostre que 1 = a_n = 2. Na primeira não tive muito progresso. Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não consegui, cheguei a_n = 3. _ Busque em qualquer página da Web com alta proteção. Obtenha o Windows Live Toolbar GRATUITO ainda hoje! http://toolbar.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Paradoxo do teste surpresa
Neste sentido acho bem razoável dizer que se o professor aplicar o teste na 6a feira ele cumpriu sua promessa de aplicar o teste, mas não cumpriu a promessa de que o teste seria surpresa. Claro que o professor pode ter dado outra interpretacão para a palavra surpresa... Novamente então toda a discussão se volta, como o ilustre professor Nicolau havia colocado desde a primeira mensagem, para a SEMÂNTICA da palavra supresa que não pode ser definida com precisão.Sempre achei interessante o assunto de representar a semântica de algo de forma não equivocada. Certamente com linguagens naturais como o português não é possível fazer isso. Por exemplo, considere a frase: Eu vi o robô idiota na montanha com o telescópio. Note que há 4 ( !! ) ambiguidades: 1) O robo poderia estar usando um telescópio e eu poderia estar na montanha. 2) O robo poderia estar na montanha com o telescópio e eu poderia estar olhando para a paisagem 3) Eu poderia estar olhando com um telescópio o robo que estava na montanha 4) Eu poderia estar na montanha com um telescópio olhando o robô. Cabe lembrar que o assunto representação do conhecimento é uma das áreas de pesquisa da inteligência artificial. A maioria do pessoal aqui da lista lembra da tentativa de David Hilbert de transformar a matemática em um engenho mecânico onde se colocava os axiomas de um lado e todo um conjunto de teoremas era gerado de outro. Também lembramos a crítica de Poincaré a essa abordagem dizendo que um matemático que a aplicasse as regras formais sem entender seu significado poderia até deduzir bons teoremas, mas a essência deles sempre lhe escaparia. Quem quiser ler mais sobre esses assuntos recomendo o artigo da Scientific American do mês de dezembro do ano passado: A vanguarda matemática e os limites da razão. Um paradoxo interessante apresentado neste artigo, já que estamos discutindo paradoxos, é o paradoxo de Russel: Seja X o conjunto de todos os subconjuntos de X que não contém X. Pergunta: X está contido em si mesmo? []s a todos. Ronaldo []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ronaldo Luiz Alonso -- Computer Engeener LSI-TEC/USP - Brazil.
Re:[obm-l] OIMU 99 - Produto de Vetores
Em R^3 define-se o produto o do seguinte modo: (x, y, z) o (u, v, t) = (xu + yt + zv, xv + yu + zt, xt + yv + zu). Demonstrar que para qualquer k natural, se (x, y, z) ^k = (0, 0, 0) então x = y = z = 0. Nota: Define-se (x, y, z)^k = (x, y, z) ^(k-1) o (x, y, z) para qualquer inteiro k 1, e (x, y, z) ^1= (x, y, z). Seja (x(n),y(n),z(n)) = (x,y,z)^n para n = 1. Da definicao da operacao, obtemos a seguinte recorrência: x(n+1) = x*x(n) + z*y(n) + y*z(n) y(n+1) = y*x(n) + x*y(n) + z*z(n) z(n+1) = z*x(n) + y*y(n) + x*z(n) (n=1) A matriz dessa recorrência é A = x z y y x z z y x a qual é semelhante a: D = diag( x + y + z , a + bi , a - bi ) onde: a = x - y/2 - z/2 e b = raiz(3y^2 - 2yz + 3z^2)/2. (o autovalor real e a parte real dos dois autovalores complexos saem por inspeção. b requer algumas contas) Pondo V(n) = (x(n),y(n),z(n))^t, teremos que: V(n+1) = A*V(n) = A^n*V(1). Existe uma matriz invertível P tal que: V(n+1) = P*D*P^(-1)*V(n) = P*D^n*P^(-1)*V(1) == P^(-1)*V(n+1) = D^n*P^(-1)*V(1) (%) Suponhamos que V(1) = (x,y,z)^t (0,0,0)^t mas que, para algum n em N, V(n+1) = (0,0,0)^t. Como P é invertível, P^(-1)*V(1) (0,0,0)^t. Assim, em virtude de (%), V(n+1) = (0,0,0)^t == D^n = 0. Como D é diagonal, D^n = 0 == D = 0 == x + y + z = x - y/2 - z/2 = 3y^2 - 2yz + 3z^2 = 0 == x = y = z = 0 == V(1) = (0,0,0)^t == contradição. Logo, se V(1) (0,0,0)^t então V(n) (0,0,0)^t para todo n em N ou, equivalentemente, se para algum n em N, V(n) = (0,0,0)^t, então x = y = z = 0. []s, Claudio.
[obm-l] Analise?
A minha duvida e a seguinte. conhecendo as funçoes G(x) e F(x),tal que intuitivamente percebemos que G(x)=F(x) para todo x ou apenas em um intervalo, como provar que isso e verdade?Algumas vezez analisando a derivada da função G(x)-F(x) pode-se provar, mas acho isso meio seco, ja que na matematica uma prova mais rigorosa compensa mais! _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função
Ela não sabe muito sobre o assunto , e esta querendo aprender, não custa nada escrever umas linhas que não duram nem alguns minutos explicando. On 1/29/07, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote: se g(1+x)=(x)/(x^2+1) então g(3) vale: a)0 b)3 c)1/2 d)3/10 e)2/5 -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro
vc pode conseguir com os professores ou com os vendedores de livros que vendem por fora, mas nao va espalhar isso para todo mundo. On 1/31/07, Itamar Sales [EMAIL PROTECTED] wrote: Ei pessoal, vocês sabem me dizer se o livro Fundamentos de Matemática Elementar volume 11, edição com novos testes de vestibulares, já tem pra vender? E caso tenha, aonde? Ah, mais uma coisa: O manual do professor não é comercializado, como já vi, mas de que maneira eu posso conseguí-lo? Peço desculpas se o assunto desse tópico é repetido, pois não me recordo de nenhum outro. Grato. :) _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] função
ache f(-2/3)=1, agora substitua em f de novo que da, ai vc usa a outra funçao, 1 ae maior do que zero, fof(-2/3)=f(1)=8, para achar a funçao inversa, vc nota que 21 e maior que zero e que o valor maximo do ramo de 3x+3 e 3 e a funçao e crescente no ramo da parabola, lembrando que a funçao inversa e encontrada isolando o x em funçao do f, ou seja de y, vc tem que achar o x que faz o y dar 21. 21=x^2+4x+3 considerando que esse ramo e formado pelos x0 x^2+4x-18=0 delta=16+72=88 letra a esta errada x^2+4x+3=99 x^2+4x-96=0 delta=16+ 384=400 x=(-4+-20)/2=8 logo, vc tem que fof(-2/3)=f-1(99)=8 resta saber se a funçao e bijetora, como imagem e igual ao contradominio que e o conjunto dos reais e para cada ramo existe apenas um valor de x tal que f(x) tem apenas um valor, a funçao e bijetora, a resposta e a letra b. On 1/18/07, Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja f : R em R definida por: f(x) = 3x + 3, x =0 x^2 + 4x + 3 , x 0 a) é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(21). b) é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(99). c) é sobrejetora mas não é injetora. d)é injetora mas não é sobrejetora. e) é bijetora e (fof) (-2/3) = f-1(3). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] mistura
Olá pessoal. Alguém pode resolver, por favor, esta: Dois recipientes iguais, com capacidade de 30 L cada um, contém juntos um total de 30 L de álcool. Enchendo-se totalmente o primeiro recipiente com água forma-se uma mistura que é usada para encher completamente o segundo recipiente. Assim, após o segundo recipiente ficar repleto de líquido, toma-se 12 L dessa nova mistura e adiciona-se ao primeiro recipiente. Calcular, em litros, o módulo da diferença das quantidades de álcool que inicialmente havia nos recipientes sabendo que, no final das operações, o segundo recipiente continha 2 litros de álcool a menos que o primeiro.
Re:RES: [obm-l] sequencias
Pensando bem, a formalizacao eh uma adaptacao simples da solucao abaixo. Dado a em [-1,1], tome b em [-pi/2,pi/2] tal que sen(b) = a. Tome a subsequencia (x_n_k) onde n_k eh o maior indice tal que: x_n_k = 2*pi*k + b x_(n_k + 1). Entao sen(x_n_k) converge para sen(b) = a. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 14:21:44 -0200 Assunto: RES: [obm-l] sequencias De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) - oo e l(n+1) - ln(n) - 0. Uma forma de ver isso dem formalizar: à media em que n vai aumentando, vamos percorrendo o círculo, sendo que a diferença entre pontos consecutivos é cada vez menor. Assim , se x está em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro que isso noa eh prova, soh a ideia Artur -Mensagem original- De: claudio.buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] sequencias Soh pra complementar: sen(log(n+1)) - sen(log(n)) - 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) - 0 e a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer dizer que |sen(x) - sen(y)| = |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R. Pra ver isso, faca: |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| = 2*|sen((x-y)/2)| = 2*|(x-y)/2| = |x-y|. O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n divergente implica sen(x_n) divergente. Por exemplo, se a_n - a entao x_n = a_n + 2*pi*n - infinito, mas sen(x_n) - sen(a). O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons tempos aqueles...). No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de aderencia. Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) - 0 (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, podemos tomar indices n_1, n_2, tais que: n_k = maior indice tal que x_n_k = k*pi + pi/2 == x_n_k = k*pi + pi/2 x_(n_k + 1) (**) Mas (x_(n+1) - x_n) - 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso quer dizer que: lim(k - +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. Logo, como seno eh continua: (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) - sen((2m-1)*pi + pi/2) = -1; e (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) - sen(2m*pi + pi/2) = 1. Acho que eh isso. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200 Assunto: Re: [obm-l] sequencias Olá Artur, sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf, entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ... deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x) diverge qdo x-inf.. bom, qquer erro, por favor, me corrija! abraços, Salhab - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM Subject: RES: [obm-l] sequencias Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente valida Artur -Mensagem original- De: Artur Costa Steiner Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] sequencias No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq. cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes dadas mas não converge. Artur -Mensagem original- De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] sequencias sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que (x_n) é limitada. Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). Mostre que 1 = a_n = 2. Na primeira não tive muito progresso. Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não consegui, cheguei
[obm-l] ITA-71
POR FAVOR, ENVIEM AS RESOLUÇÕES. DESDE JÁ AGRADEÇO. (ITA-71) Qual é o maior número de partes em que um plano pode ser dividido por n linhas retas? a) n2. b) n(n + 1).c) n(n + 1)/2. d) (n2 + n + 2)/2.e) n.d.r.a. (ITA-71) Se f é uma função real de variável real dada por f(x) = x2, então f(x2 + y2) é igual a: a) f(f(x)) + f(y) + 2f(x)f(y) para todo x e y. b) f(x2) + 2f(f(x)) + f(x)f(y) para todo x e y. c) f(x2) + f(y2) + f(x)f(y) para todo x e y.d) f(f(x)) + f(f(y)) + 2f(x)f(y) para todo x e y. e) f(f(x)) + 2f(y2) + 2f(x)f(y) para todo x e y.
