RE: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonom�trica.
Boa Shine! Sds, Rogério From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Date: Wed, 28 Feb 2007 16:44:13 -0800 (PST) Ah, esse é um grande clássico! Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus. Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica parecida, mas mais simples, que é a soma 1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89) de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que 1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1) Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = -1, de modo que a soma é igual a (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89 Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal que 1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1) Tirando o mÃnimo e eliminando denominadores, encontramos 1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k Parece alguma fórmula familiar? Compare com sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a (forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k) Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é difÃcil ver que C = -1/sen 1. Assim 1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1)) e a soma pedida é 1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + (sen88/cos88 - sen89/cos89)) = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89) = -1/sen1(0 - cos1/sen1) = cos1/sen^2(1). []'s Shine - Original Message From: Rogério Possi Júnior <[EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Caros, Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? (USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Sucker-punch spam with award-winning protection. Try the free Yahoo! Mail Beta. http://advision.webevents.yahoo.com/mailbeta/features_spam.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.
Ah, esse é um grande clássico! Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus. Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica parecida, mas mais simples, que é a soma 1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89) de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que 1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1) Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = -1, de modo que a soma é igual a (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89 Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal que 1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1) Tirando o mÃnimo e eliminando denominadores, encontramos 1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k Parece alguma fórmula familiar? Compare com sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a (forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k) Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é difÃcil ver que C = -1/sen 1. Assim 1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1)) e a soma pedida é 1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + (sen88/cos88 - sen89/cos89)) = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89) = -1/sen1(0 - cos1/sen1) = cos1/sen^2(1). []'s Shine - Original Message From: Rogério Possi Júnior <[EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Caros, Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? (USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Sucker-punch spam with award-winning protection. Try the free Yahoo! Mail Beta. http://advision.webevents.yahoo.com/mailbeta/features_spam.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] USAMO - Soma trigonom�trica.
Caros, Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? (USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Linha curva
Ola' Klaus, pensando no plano XY, a ideia e' dividir a curva em "pedacinhos infinitesimais" , e soma-los . Os tais "pedacinhos" (pense no comprimento da hipotenusa em funcao dos catetos) corresponderao a algo como sqrt[ (dx)^2 + (dy)^2 ] Assim, a "soma dos pedacos infinitesimais" e,' na verdade, a integral da expressao anterior. Para uma curva definida por y=F(x) , o integrando pode ser reescrito como sqrt[ 1 + (dy/dx)^2 ] * dx ou seja, sqrt[ 1 + F'(x) ^2 ] * dx []'s Rogerio Ponce. Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Alguém sabe como faço para calcular o comprimento de uma linha curva? Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Probabilidade
Ola' Arkon, do universo de 14 combinacoes de cores distintas ha' 10 com uma peca azul. Portanto, a probabilidade e' de 10/14 = 0.7143. # combinacoes de cores distintas: Se houvesse camisa bege e paleto azul, teriamos um total de (4 opcoes para calca) * (3 opcoes para camisa) * (2 opcoes para paleto) = 24 Agora precisamos descontar as opcoes com camisa bege: (3 opcoes para calca) * (2 opcoes para paleto) = 6 Tambem precisamos descontar as opcoes com paleto azul: (3 opcoes para calca) * (2 opcoes para camisa) = 6 Entretanto, nesses descontos acabamos descontando duas vezes as opcoes com camisa bege e paleto azul simultaneos.( = 2 opcoes para calca). Portanto, precisamos "diminuir o desconto" de 2. Assim, o universo de combinacoes distintas e' de 24 - ( 6 + 6 - 2) = 14 Com raciocinio analogo voce conclui que as combinacoes com uma peca azul somam 10. []'s Rogerio Ponce arkon <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Pessoal, poderiam resolver está, por favor? Abraços. Uma pessoa tem 4 calças (azul, cinza, marrom e bege), 3 camisas (azul, cinza e marrom) e 3 paletós (cinza, marrom e bege) . Se essa pessoa se vestiu usando uma calça, uma camisa e um paletó, todos de cores distintas, calcule, em porcentagem, a probabilidade de uma das peças (calça, camisa ou paletó) ser azul. Desconsidere a parte decimal, caso exista. Resposta: 71. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] trigonometria
solução da 1:
(senx)^3-(cosx)^3=1 => (senx-cosx)(1+senx.cosx)=1 fazendo senx – cosx = y,
temos :
a.( 1 + (1-a^2)/2 ) = 1 => a^3 – 3a + 2 = 0 => a =1,1,-2
Para a=1 , temos:
senx – cosx =1 => sen(x-pi/4)=senpi/4 => x={pi/2,pi}+ 2kpi
Para a = -2 ,temos;
senx – cosx = -2 => sen(x-pi/4)= -√2 (impossivel)
Veja a questão do IME 95/96 questão 2 (essa questão foi de uma IMO)
Solução da 2:
Seja a = tg(x/2) => senx = 2a/(1+a^2) cosx = (1-a^2)/(1+a^2)
Substituindo na equação 2 obtemos uma equação em a:
a^4 + 6a^3 + 6a^2 – 6a + 1 = 0 dividindo por a^2 , temos:
(a^2 + 1/a^2) + 6(a - 1/a) + 6 = 0 seja y= a-1/a , então a equação fica:
y^2 + 6y + 8 = 0 y_1= -4y_2=-2
para y = -4 temos a = -2 ± √5
para y = -2 temos a = -1 ± √2
logo x = 2 arctg{-2 ± √5, -1 ± √2}
Acho que é isso
[ ]s,Ricardo J.F.
- Original Message -
From: Graciliano Antonio Damazo
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, February 27, 2007 8:19 PM
Subject: [obm-l] trigonometria
estou com dificuldades nessa duas equaçoes. Alguem poderia me ajudar?
Já agradeço antecipadamente
1) (senx)^3 - (cosx)^3 = 1
2) 5(senx)^2 - 3(senx)(cosx) + 4(cosx)^2 = 3
__
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[obm-l] Re: [obm-l] Alguém pode me ajudar?
Pela desigualdade das médias temos:
(a^4+b^4+c^4) / 3 > sqrt{3}{a^4.b^4.c^4}
(a^4+b^4+c^4) / 3 > abcd . sqrt{3}{abc}
Mas sqrt{3}{abc}< (a + b + c)/3
logo
(a^4+b^4+c^4) / 3 > abcd . (a + b + c)/3 => a^4+b^4+c^4 > abc(a+b+c)
solução 2 -Muirhead(bunching)
1/2 . S sym (a^4) > 1/2 . S sym (a^2.b.c)
(4,00) majora (2,1,1)
[ ]s,Ricardo J.F.
- Original Message -
From: Ricardo Teixeira
To: obm-l
Sent: Tuesday, February 27, 2007 5:45 PM
Subject: [obm-l] Alguém pode me ajudar?
Como provo que a^4+b^4+c^4>abc(a+b+c)?
Grato, Teixeira.
