Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
De fato,T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0). O meu contra
exemplo mostra que apesar disso ser verdadeiro não se pode concluir que
T(0)=0. Abaixo segue a demostração que T(0)=0.
Defina A_n = {x em B/ |T(x)-T(0)|1/n } e B_n = {x em B/ |x|1/n }
Sejam C = intersecção dos A_n , com n variando de 1 a infinito
e D = intersecção dos B_n , com n variando de 1 a infinito, é facil
mostrar que C = {T(0)} e D = { 0 }. Agora como |T(x)-T(0)|=|x| então
A_n = B_n para todo n em N e portanto C = D, isto é, T(0)= 0 .
Abs.
Rivaldo.
Oi, Rivaldo:
Voce admite que se T eh isometria, entao:
T(b) e T(-b) sao simetricos em relacao a T(0)?
Soh pra facilitar, repito aqui a demonstracao:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
|T(-b) - a| =|T(-b) - T(0)| = |-b - 0| = |b| (**)
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular, que associada a (*) e (**) implica
que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
O que isso significa pro seu contra-exemplo?
[]s,
Claudio.
Ok, o problema continua em aberto, pois como mostrei anteriormente, no
R^2, tomando b_n = (1 - 1/(2n),0), temos
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n), mas a não eh necessariamente
o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Abs.
Rivaldo
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0)
dai
temos: |b_n| = 1 - 1/(2n)
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um
segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence
a
B.
Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a
(0,0),
T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2).
Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede
raiz(3).
Logo, se n 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n 1.75 raiz(3).
Logo, n 4 == pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B.
[]s,
Claudio.
Abs.
Rivaldo.
Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n)
nem
precisa ter um limite.
Basta que o limite de |b_n| seja 1.
Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo:
Se T(0) = a 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter
a
como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) 2.
Logo, para n 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) 1 - |a|^2/2
raiz(1
- |a|^2).
Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) 2*raiz(1 - |a|^2).
Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a
norma de R^(k+1) adotada, se a 0, entao a maior
corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente
inferior a a.
De qualquer forma, T eh isometria ==
T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==
T eh uniformemente continua ==
T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante
seja
uniformemente continua em fecho(B).
Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em
fecho(B).
Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha.
[]s,
Claudio.
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Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria
Ola Claudio.
Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
B = {x em R^(n+1) | |x| 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos
uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da
sequencia
ainda esta em B.
Abs.
Rivaldo.
Tem razao. Mancada minha...
O problema eh provar que:
T:B - B eh isometria == T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| 1}
Aqui vai uma nova tentativa:
Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| =
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==
igualdade na desigualdade triangular,
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 -
1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n
contido
em B.
Quando n - infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de
comprimento
2 eh a origem.
Logo, se a 0, entao, para n suficientemente grande, a nao
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equaç ão do terceiro grau
Desculpe-me vc nao me entendeu. O que eu gostaria de saber era sobre o Mathematica e a questão abaixo. Mas não é relevante outro dia verei isso com mais calma. Abraços Tio Cabri - Original Message - From: saulo nilson To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 16, 2007 9:07 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau se vc sabe uma vc reduz a equaçao para uma de 2o grau. On 5/15/07, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote: Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica, porém das 3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém poderia colocar essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou Matlab ou confirmar esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado Tio Cabri - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) Assunto: [obm-l] equação do terceiro grau Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0 Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1 f(-1) = -3 0 f(-1/2) = 1 0 == tem uma raiz entre -1 e -1/2 f(0) = -1 0 == tem uma raiz entre -1/2 e 0 f(1) = 1 0 == tem uma raiz entre 0 e 1 Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo 1. Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t). Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t). Especificamente, cos(3t) = cos(2t+t) = cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) = 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) = 4*cos^3(t) - 3*cos(t) (que sorte...) x = cos(t) é raiz da equação == 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 == 2*cos(3t) = 1 == cos(3t) = 1/2. Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos: 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 == t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 == cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9) (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9)) Logo, as raízes da equação são: cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9). []s, Claudio.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida ( área m ínima )
Valeu Rafael Muito obrigado. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Derivabilidade e Continuidade
Olá, peço ajuda da lista na resolução do seguinte exercício 1. Seja g:R ! R uma funçãoo contínua, com g(0) = 2 e tal que g não é derivável em x = 0. (a) Considere a função f(x) = x g(x). Calcule f'(0), se existir. Caso contrário, justifique. (b) Seja f(x) = x(1 + e| x|). Calcule f'(0), se existir. -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Re: Derivabilidade e Continuidade
Pessoal, com a ajuda do Salhab resolvi o exercício Em 17/05/07, J. Renan [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, peço ajuda da lista na resolução do seguinte exercício 1. Seja g:R ! R uma funçãoo contínua, com g(0) = 2 e tal que g não é derivável em x = 0. (a) Considere a função f(x) = x g(x). Calcule f'(0), se existir. Caso contrário, justifique. (b) Seja f(x) = x(1 + e| x|). Calcule f'(0), se existir. -- Abraços, J.Renan -- Abraços, J.Renan
Re: [obm-l] Derivabilidade e Continuidade
a) f´(x)=g(x)+x*g´(x) I g nao e derivavel em x=0 mas xg pode ser sendo assim f´(x)*g(x)+f(x)*g´(x)=g^2(x) II f´*g+f*(f´-g)/x =^g^2 f´(g+f/x)=g(g+f/x) f´=g f´(0)=g(0)=2 (b) f(x)=x(1+x) x0 f(x)=x(1-x) x0 f´(0)=1 On 5/17/07, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, peço ajuda da lista na resolução do seguinte exercício 1. Seja g:R ! R uma funçãoo contínua, com g(0) = 2 e tal que g não é derivável em x = 0. (a) Considere a função f(x) = x g(x). Calcule f'(0), se existir. Caso contrário, justifique. (b) Seja f(x) = x(1 + e| x|). Calcule f'(0), se existir. -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Problema da Eureka 25
Olá!!! Estou tentando resolver o segundo problema da XI Olimpíada de Maio - Primeiro Nível. Problema: Um número inteiro chama-se autodivi se é divisível pelo número de dois algarismos formado por seus dois últimos dígitos (dezenas e unidades). Por exemplo, 78013 é autodivi pois é divisível por 13, 8517 é autodivi pois é divisível por 17. Encontre 6 números inteiros consecutivos que sejam autodivi e que tenham os dígitos das unidades, das dezenas e das centenas distintos de 0. Solução: Como os três últimos dígitos dos números devem ser diferentes de 0, o último dígito do primeiro número da seqüência só poderá ser 1, 2, 3 ou 4 já que se for 5, 6, 7, 8 ou 9 um dos outros cinco terão como último dígito zero, já que são consecutivos. Considerando apenas o primeiro número dos 6 e seja este número na forma a1a2...anXY, onde 1 = X = 9, 1 = Y = 4, 0 = a1, a2, ..., an-1 = 9 e 1 = an = 9. Este número pode ser escrito como a1a2...an00 + XY. Nesta soma XY é divisível por XY e a1a2...an00 é divisível por 100. Portanto, se a1a2...an for divisível por XY, XY+1, XY+2, XY+3, XY+4, XY+5 então teremos a seqüência de números em que cada número é divisível pelo número composto por seus 2 últimos dígitos. O problema é que o número a1a2...an sempre terminará em 0, pois ele deve ser divisível por um número par X2,X4,X6 ou X8 e também divisível por X5. Mas o problema pede que o dígito das centenas não seja 0. Caso não fosse informado que o dígito das centenas não pode ser zero, qualquer seqüência de número consecutivos de 2 algarismos diferentes de 0 seria uma resposta. Gostaria de saber onde errei e qual seria a solução correta para o problema. Muito obrigado! -- Henrique
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. On 5/17/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá!!! Estou tentando resolver o segundo problema da XI Olimpíada de Maio - Primeiro Nível. Problema: Um número inteiro chama-se autodivi se é divisível pelo número de dois algarismos formado por seus dois últimos dígitos (dezenas e unidades). Por exemplo, 78013 é autodivi pois é divisível por 13, 8517 é autodivi pois é divisível por 17. Encontre 6 números inteiros consecutivos que sejam autodivi e que tenham os dígitos das unidades, das dezenas e das centenas distintos de 0. Solução: Como os três últimos dígitos dos números devem ser diferentes de 0, o último dígito do primeiro número da seqüência só poderá ser 1, 2, 3 ou 4 já que se for 5, 6, 7, 8 ou 9 um dos outros cinco terão como último dígito zero, já que são consecutivos. Considerando apenas o primeiro número dos 6 e seja este número na forma a1a2...anXY, onde 1 = X = 9, 1 = Y = 4, 0 = a1, a2, ..., an-1 = 9 e 1 = an = 9. Este número pode ser escrito como a1a2...an00 + XY. Nesta soma XY é divisível por XY e a1a2...an00 é divisível por 100. Portanto, se a1a2...an for divisível por XY, XY+1, XY+2, XY+3, XY+4, XY+5 então teremos a seqüência de números em que cada número é divisível pelo número composto por seus 2 últimos dígitos. O problema é que o número a1a2...an sempre terminará em 0, pois ele deve ser divisível por um número par X2,X4,X6 ou X8 e também divisível por X5. Mas o problema pede que o dígito das centenas não seja 0. Caso não fosse informado que o dígito das centenas não pode ser zero, qualquer seqüência de número consecutivos de 2 algarismos diferentes de 0 seria uma resposta. Gostaria de saber onde errei e qual seria a solução correta para o problema. Muito obrigado! -- Henrique
[obm-l] [obm-l] Combinatória: número de soluções d e uma equação
Saudações, amigos da lista. Bem, surgiu aqui uma dúvida quando eu estava estudando combinatória. É em relação a uma variação não tão clássica do problema clássico do número de soluções inteiras não-negativas de uma equação. x_1+x_2+x_3...+x_n = k O número de soluções não-negativas e inteiras, para k também inteiro, é (k+n-1)/[k!*(n-1)!]. É fácil visualizar isso utlizando 'bolinhas' e 'barrinhas'. Limitar por baixo o valor das incógnitas (garantir que todas ou algumas delas não possam ser inferiores a algum valor dado) também é simples. O problema é limitar 'por cima'. Exemplo: x1+x2+x3+x4 = 21 x_i = 6, para qualquer i inteiro. Como eu determino o número de soluções dessa equação? Abraços, Pedro Lazéra Cardoso _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
