[obm-l] Bulgaria

2008-05-17 Por tôpico vitoriogauss 
Pensei nessa e ralei muito pra resolver..

Encontrar as triplas ordenadas (x,y,z) de números naturais sabendo que y é um 
número primo e que y e 3 não dividem z e que  x^3-y^3 = z^2

[obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 -- 2ª qu estão

2008-05-17 Por tôpico douglas paula 
  XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
  TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 (Ensino Médio)
  PRIMEIRO DIA
   
  PROBLEMA 2
  Para quantos números inteiros c, − 2007 ≤ c ≤ 2007 , existe 
um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007?
   
  alguém se habilita?
   
  grato, 
   Douglas

   
-
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Re: [obm-l] Polinomio 4º grau

2008-05-17 Por tôpico Felipe Diniz 
Chute =p
4 eh raiz =p
dividindo
(x-4)(x^3 +4 x^2 -20x -61)


2008/5/17 douglas paula <[EMAIL PROTECTED]>:

>
>
> *Thelio Gama <[EMAIL PROTECTED]>* escreveu:
>
> Bom dia , senhores,
>
> gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem
> conhecer nenhuma delas:
>
> x^4-36x²-x+324=0
>
> Obrigado,
>
> Thelio
>
> Thelio,
>
>  acho que é de seu interesse 
> http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdf é
> um método de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu
> quando ele tinha 14 anos
>
> abraços
>
> --
> Abra sua conta no Yahoo! 
> Mail,
> o único sem limite de espaço para armazenamento!
>

Re: [obm-l] Polinomio 4º grau

2008-05-17 Por tôpico douglas paula 


Thelio Gama <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:Bom dia , senhores,
   
  gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem 
conhecer nenhuma delas:
   
  x^4-36x²-x+324=0
   
  Obrigado,
   
  Thelio
  Thelio,
   
   acho que é de seu interesse http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdf é um método 
de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu quando ele 
tinha 14 anos
   
  abraços


   
-
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[obm-l] trigonometria 2

2008-05-17 Por tôpico Pedro 
Feras da lista como faço issa?



Prove que : 
<>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Logistic map e Bifurca ção

2008-05-17 Por tôpico Angelo Schranko 
A First Course in Chaotic Dynamical Systems
An Introduction to Chaotic Dynamical Systems
Differential Equations, Dynamical System and an Introduction to Chaos

Todos do Devaney.

http://math.bu.edu/people/bob/

[ ]´s
Angelo

--- Em sáb, 17/5/08, César Santos <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

> De: César Santos <[EMAIL PROTECTED]>
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Logistic map e Bifurcação
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Sábado, 17 de Maio de 2008, 18:56
> Eu estudei recentemente sobre esse assunto através do livro
> Computational Physics, do Nicholas Giordano e o Hisao
> Nakanishi http://www.physics.purdue.edu/~hisao/book/, não
> sei se é permitido colocar o link do site, mas desde já
> deixo claro que não há nenhum intuito comercial nisso.
> Esse livro é nível para estudantes de graduação em
> Física (como é o meu caso), o assunto é abordado no
> capítulo 3, onde se discursa sobre o caos.
> No livro há gráficos (inclusive são requesitados nos
> exercícios para que você construa alguns desses
> gráficos, obviamente via computacional) a respeito do mapa
> logístico e sobre como ocorre sua rota para caos, via
> dobramento de período o que é mais adequadamente
> observado através do diagrama de bifurcação.
> Anteriormente a isso se discursa sobre o caos em um
> pêndulo anarmônico forçado, onde se descreve o estudo
> dos atratores e secções de Poincaré. Eu acho que é uma
> abordagem útil, ao menos para quem se encontra no nível
> que eu citei.
> 
> --- Em sex, 16/5/08, Bruno França dos Reis
> <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> 
> De: Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>
> Assunto: [obm-l] Logistic map e Bifurcação
> Para: "OBM" 
> Data: Sexta-feira, 16 de Maio de 2008, 18:00
> 
> 
> Olá.
> Estou interessado em estudar as propriedades do logistic
> map. Alguém conhece uma boa referência? Ele está tão
> "popular" que uma busca por "logistic
> map" no google nos fornece muitos textos superficiais.
> Alguém sabe de uma referência boa sobre isso e sobre a
> teoria da bifurcação?
> 
> 
> Bruno
> -- 
> Bruno FRANÇA DOS REIS
> 
> msn: [EMAIL PROTECTED]
> skype: brunoreis666
> tel:  33 (0)6 28 43 42 16
> 
> e^(pi*i) 1=0 
> 
> 
> 
>   Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de
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> 
> Instruções
> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 


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[obm-l] Trigonometria

2008-05-17 Por tôpico Pedro 
 Como faço essa?

 <>

[obm-l] Re: [obm-l] Logistic map e Bifurcação

2008-05-17 Por tôpico César Santos 
Eu estudei recentemente sobre esse assunto através do livro Computational Physics, do Nicholas Giordano e o Hisao Nakanishi http://www.physics.purdue.edu/~hisao/book/, não sei se é permitido colocar o link do site, mas desde já deixo claro que não há nenhum intuito comercial nisso.
Esse livro é nível para estudantes de graduação em Física (como é o meu caso), o assunto é abordado no capítulo 3, onde se discursa sobre o caos.
No livro há gráficos (inclusive são requesitados nos exercícios para que você construa alguns desses gráficos, obviamente via computacional) a respeito do mapa logístico e sobre como ocorre sua rota para caos, via dobramento de período o que é mais adequadamente observado através do diagrama de bifurcação. Anteriormente a isso se discursa sobre o caos em um pêndulo anarmônico forçado, onde se descreve o estudo dos atratores e secções de Poincaré. Eu acho que é uma abordagem útil, ao menos para quem se encontra no nível que eu citei.--- Em sex, 16/5/08, Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] Logistic map e BifurcaçãoPara: "OBM" Data: Sexta-feira, 16 de Maio de 2008, 18:00
Olá.Estou interessado em estudar as propriedades do logistic map. Alguém conhece uma boa referência? Ele está tão "popular" que uma busca por "logistic map" no google nos fornece muitos textos superficiais.Alguém sabe de uma referência boa sobre isso e sobre a teoria da bifurcação?Bruno-- Bruno FRANÇA DOS REISmsn: [EMAIL PROTECTED]skype: brunoreis666tel: +33 (0)6 28 43 42 16e^(pi*i)+1=0 


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[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa

2008-05-17 Por tôpico Ojesed Mirror 
Ribamar, o método de Cardano/Tartaglia, resulta nas raizes de um polinômio de 
grau 3, sendo elas reais ou complexas.
  - Original Message - 
  From: J. R. Smolka 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, May 15, 2008 10:06 AM
  Subject: Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa


  Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma substituição de variável do tipo 
z=(x+1) para simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá para aplicar 
Cardano diretamente, porque (repito) este é um polinômio de variável complexa. 
Cardano serve para resolver equações cúbicas de variável real (possivelmente 
válido até se os coeficientes forem complexos), que não é o caso aqui.

  Não é a primeira vez que esta confusão acontece. Será porque a variável usada 
é x (que induz a pensar em números reais) em vez de z (como é comum para 
números complexos)? Pensar em x como um "vetor" de coordenadas cartesianas 
(a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio.

  Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C 
em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um 
subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand.

  Neste caso, como a função é um polinômio de grau 3, cada ponto x do plano 
domínio é mapeado para um ponto do plano imagem através das translações e 
rotações provocadas pela  potenciação de x e pela multiplicação de x por 
números reais.

  A questão inicial, então, é descobrir que região do plano de Argand pode 
possuir raízes de P(x)=0. Depois determinar a localização destes pontos nesta 
região (em função de k, que é um número real). E, finalmente, analisar a figura 
geométrica descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k 
varia entre 0 e +inf.

  Exemplo do raciocínio da primeira parte: não existe x tal que P(x)=0 na 
região do plano de Argand definida por 0<=arg(x)0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna impossível que im(P(z))=0.

  Como disse antes, consigo enxergar as regiões do plano de Argand definidas 
por arg(z)=pi/2 (o semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem) e por 
arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo, também excluída a origem) como candidatas 
a hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a minha visão geométrica está 
correta e completa?

  Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para verificar se um, outro ou 
ambos são compatíveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto por puro 
diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). 
Mas continuo interessado em idéias a respeito.

  [ ]'s


Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um 
pouco o enunciado.

Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. 
Desenhar no plano complexo o lugar geométrico  das raízes de P(x)=0 para todos 
os valores possíveis de k.

Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica 
que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e 
b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem 
intratáveis.

Alguma outra idéia?
  J. R. Smolka

[obm-l] Re: [obm-l] questão obm 2007 - Ter ceira Fase

2008-05-17 Por tôpico vitoriogauss 
Ok

Cheguei a estes resultados fazendo

(3-x , 3-y) = (1,y^2)

(3-x , 3-y) = (y^2,1)

(3-x , 3-y) = (y, y)

E encontrei os pares ordenados

... mas parece que exclui alguem... vou rever ..


Primeiro, cuidado pois os pares (x,x) também
> funcionam.
>
> Se x - y não é zero, aí cancelamos:
> x^2 + xy + y^2 = 3(x + y).
>
> Podemos ver essa equação como do segundo grau em x:
> x^2 + (y-3)x + y^2-3y = 0
>
> O discriminante desse equação é
> (y-3)^2 - 4(y^2-3y) = (y-3)(y-3 - 4y) = -3*(y-3)(y+1)
> e ele só vai poder ser não negativo quando y-3 e y+1
> tiverem sinais opostos, ou seja, y-3 é negativo e y+1
> é positivo. Isso só nos deixa os casos y = -1, 0, 1,
> 2, 3. Aí é só trocar y por cada um desses valores e
> tirar os possíveis valores de x.
>
> []'s
> Shine
>
> --- vitoriogauss wrote:
>
> > Olá...
> >
> > Estava pensando na questão da OBM N2 Terceira Fase:
> >
> >
> > x^3-y^3 = 3(x^2-y^2)
> >
> > Encontrei como resultado os pares ordenados: (0,3) e
> > (2,-1)
> >
> > Usei fatoração e lei do cancelamento. Porém...
> > pensei no seguinte:
> >
> > Há como provar que estes são os únicos pares
> > ordenados, com x e y inteiros, possíveis que são
> > soluções da questão?
> >
>
>
>
>
> = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> = 
>
Vitório Gauss

[obm-l] diferenca de distancias minimas

2008-05-17 Por tôpico Bernardo Amorim 
*** Dar na reta r: 3x-y-1=0 um ponto P de maneira que a diferenca de suas
distancias aos pontos A(4,1) e B(0,4) seja maxima ***
No gabarito a resposta eh P=(2,5) , que eh o ponto no qual o angulo entre r
e PB eh igual ao angulo entre r e PA. Alguem poderia resolver o problema e
me dizer se esse resultado foi coincidencia ou se vale sempre ?

Re: [obm-l] quest�o obm 2007 - Terceira Fase

2008-05-17 Por tôpico Carlos Yuzo Shine 
Primeiro, cuidado pois os pares (x,x) também
funcionam.

Se x - y não é zero, aí cancelamos:
 x^2 + xy + y^2 = 3(x + y).

Podemos ver essa equação como do segundo grau em x:
 x^2 + (y-3)x + y^2-3y = 0

O discriminante desse equação é
 (y-3)^2 - 4(y^2-3y) = (y-3)(y-3 - 4y) = -3*(y-3)(y+1)
e ele só vai poder ser não negativo quando y-3 e y+1
tiverem sinais opostos, ou seja, y-3 é negativo e y+1
é positivo. Isso só nos deixa os casos y = -1, 0, 1,
2, 3. Aí é só trocar y por cada um desses valores e
tirar os possíveis valores de x.

[]'s
Shine

--- vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Olá...
> 
> Estava pensando na questão da OBM N2 Terceira Fase:
> 
> 
> x^3-y^3 = 3(x^2-y^2)
> 
> Encontrei como resultado os pares ordenados: (0,3) e
> (2,-1)
> 
> Usei fatoração e lei do cancelamento. Porém...
> pensei no seguinte:
> 
> Há como provar que estes são os únicos pares
> ordenados, com x e y inteiros,  possíveis que são
> soluções da questão?
> 



  
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Quest�o da Terceira fase N2

2008-05-17 Por tôpico Carlos Yuzo Shine 
Acho que já havia respondido faz um tempo, mas, via
das dúvidas, aí vai de novo. A solução é um pouco
longa; prepare-se!

Queremos mostrar que existe a tal que N = (a^29 -
1)/(a-1) tem pelo menos 2007 fatores primos.

Primeiro note que se a = x^2, temos
N = ((x^2)^29 - 1)/(x^2 - 1) 
  = [(x^29 + 1)/(x + 1)]*[(x^29 - 1)/(x - 1)].

Veja que (x^29 + 1)/(x + 1) e (x^29 - 1)/(x - 1) são
ambos inteiros (divida os polinômios!). Além disso,
sendo d = mdc(x^29 + 1, x^29 - 1), temos que x^29 + 1
e x^29 - 1 são ambos múltiplos de d, o que implica em
(x^29 + 1) - (x^29 - 1) = 2 ser múltiplo de d. Logo d
= 1 ou d = 2. Se escolhermos x par, teremos d = 1.

Assim, escolhendo x par, x^29 + 1 e x^29 - 1 têm mdc
igual a 1, ou seja, são primos entre si. Em outras
palavras, x^29 + 1 e x^29 - 1 não têm fatores primos
comuns. Deste modo, (x^29 + 1)/(x + 1) e (x^29 - 1)/(x
- 1) não podem ter fatores primos comuns (afinal, só
dividimos dois caras sem fatores comuns por outros
números; não é assim que vão aparecer fatores comuns,
certo?). 

Isso é legal pois faz aparecer fatores primos
diferentes: N = [(x^29 + 1)/(x + 1)][(x^29 - 1)/(x -
1)] já tem pelo menos dois fatores primos distintos:
um de (x^29 + 1)/(x + 1) e outro de (x^29 - 1)/(x - 1)
(lembre-se, eles não têm fatores comuns, então não
podem aparecer primos repetidos).

Tudo bem, ainda estamos longe de obter 2007 fatores
primos distintos, mas basta repetir a idéia! Lembrando
a fatoração de livro texto
  x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
e, estendendo um pouco,
  x^8 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1),
nota-se que
x^{2^2007} - 1
 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)...(x^{2^2006} + 1)

Façamos, então, a = x^{2^2007}. Obtemos
   N = [(x^{2^2007})^29 - 1]/[x^{2^2007} - 1]

O numerador é igual a
  (x^29-1)(x^29+1)(x^(2*29)+1)...(x^{2^2006*29}+1)

De maneira completamente análoga à que fizemos acima,
provamos que quaisquer dois dos fatores acima são
primos entre si: basta notar que x^{2^k} + 1 e x^{2^k}
- 1 são primos entre si e "desfazer" a fatoração. Fica
mais fácil ver para x^{8*29} - 1, por exemplo:
  x^{8*29} - 1 = (x^{4*29} - 1)(x^{4*29} + 1)
x^{4*29} + 1 e x^{4*29} - 1 são primos entre si;
portanto x^{4*29} + 1 é primo com todos os fatores de
x^{4*29} - 1.
  x^{4*29} - 1 = (x^{2*29} - 1)(x^{2*29} + 1)
x^{2*29} + 1 e x^{2*29} - 1 são primos entre si e com
x^{4*29} + 1, etc.

O denominador já calculamos lá em cima.

Então (vou escrever na forma de fração mesmo):
(x^29-1)(x^29+1)(x^(2*29)+1)...(x^{2^2006*29}+1)
N = ,
  (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)...(x^{2^2006} + 1)
que é igual ao produto dos 2007 inteiros da forma
(y^29-1)/(y-1) ou (y^29+1)/(y+1)
  (x^29 - 1)/(x - 1),
  (x^29 + 1)/(x + 1),
  (x^{2*29} + 1)/(x^2 + 1),
 ...
  (x^{2^2006*29} + 1)/(x^{2^2006} + 1),
todos primos dois a dois.

Cada um vai prover um primo diferente e, tomando x
par, obtemos (infinitos) N da forma (a^29 - 1)/(a - 1)
com pelo menos 2007 fatores primos distintos.

Eu sei que a solução acima é um pouco longa, mas é por
isso que as provas da OBM têm 4 horas e meia, certo?
Além disso, a matéria usada é elementar, mesmo para
quem está no final do EF: fatoração, muito pouco de
polinômios, divisibilidade e mdc.

[]'s
Shine

--- vitoriogauss <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> afinal..como ficou a solução da questão:
> 
> 
> (a^29 - 1)/a-1 , existem 2007 fatores primos
> 
> 



  
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Seq

2008-05-17 Por tôpico Artur Costa Steiner 
 Temos que a_2 = 2 e vemos por inducao que a_ = 2 para
todo n. Isto prova tudo com limite 2. Sem graca, nao,
e?

Artur  

--- Francis Alves <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Mostre que a sequencia definida por
> 
> a_1=2
> 
> a_(n+1)= 3 -1/(3 - a_n)
> 
> i) é crescente;
> 
> ii)a_n<3 para todo n;
> 
> iii) é convergente;
> 
> iv) calcule seu limite.
> 
> 
> Fran ;-)
> 
>
_
> Conheça o Windows Live Spaces, a rede de
> relacionamentos do Messenger!
> http://www.amigosdomessenger.com.br/



  
=
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