Re: [obm-l] 2 de Teoria dos Números

2008-09-04 Por tôpico Rafael Ando 
a não pode ser multiplo de 7, pois nesse caso não seria primo com 91...

On Fri, Sep 5, 2008 at 1:18 AM, Artur Costa Steiner <
[EMAIL PROTECTED]> wrote:

>  S b  = 1, isto não é verdade. Se a for multiplo de 7, entao a^12 é
> multiplo de 7 e a^12 - 1 nao eh, o que implica que nao seja multiplo de 91 =
> 7 x 13. A afirmacao talvez seja valida para a,b>1.
> Artur
>
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> 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.
>
> Obrigado (^_ ^)
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Rafael

RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números

2008-09-04 Por tôpico Artur Costa Steiner 
S b  = 1, isto não é verdade. Se a for multiplo de 7, entao a^12 é multiplo de 
7 e a^12 - 1 nao eh, o que implica que nao seja multiplo de 91 = 7 x 13. A 
afirmacao talvez seja valida para a,b>1.
Artur


2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.

Obrigado (^_ ^)


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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Teoria dos Números

2008-09-04 Por tôpico Albert Bouskela 

Eq. Diofantina
 
z2 = 12xy3 – 3x4
 
Soluções triviais:
 
1)   [x, y, z] = [0, m, 0] ... “m” é um inteiro qualquer;
2)   [x, y, z] = [m, m, (+/-)3m2] .
 
Excetuando as soluções triviais acima, não há outra solução:
 
z2 = 3(4xy3 – x4)
 
Logo “z2” é múltiplo de “3”.
 
Em relação à divisibilidade por “3”, as hipóteses possíveis para “z” são:
z = {3m, 3m+1, 3m+2}
Entretanto, apenas para z=3m, “z2” é múltiplo de “3” (Verifique!).
Logo “z” é múltiplo de “3” à z=3z1 .
 
9z12 = 3(4xy3 – x4) à 3z12 = 4xy3 – x4
 
Logo “4xy3 – x4” é múltiplo de “3”.
 
A condição necessária e suficiente para que “4xy3 – x4” seja múltiplo de “3” é:
 
{[x, y]} = {[3p, y] , [3p+r, 3q+r]}
"p", "q" e "r" são inteiros quaisquer.
 
I.e., “x” é múltiplo de “3”, OU a divisão de “x” e de “y” por “3” tem o mesmo 
resto (r). 
 
Bem, eu estava certo de que, a partir deste ponto do desenvolvimento, o 
problema poderia ser resolvido através da "descida para o infinito" de Fermat. 
Mas tal não ocorreu...
 
Só consegui evoluir até aqui. Não vejo como concluir...
 
Sds.,[EMAIL PROTECTED]

Date: Wed, 3 Sep 2008 14:02:15 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] RE: 
[obm-l] Ajuda Teoria dos NúmerosTo: obm-l@mat.puc-rio.br




Olá,
 
Esta restrição é para evitar as soluções inteiras em que x=y e z=3x^2 
 
Ficarei aguardando a solução.
 
Abs
Felipe--- Em qua, 3/9/08, Albert Bouskela <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Albert Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: RE: [obm-l] Ajuda Teoria dos 
NúmerosPara: [EMAIL PROTECTED]: Quarta-feira, 3 de Setembro de 2008, 14:50


Olá! Esta Eq. Diofantina não tem solução - apresentarei a "prova" asap. A 
propósito: a restrição "y>x" não é (exatamente) [EMAIL PROTECTED]

Date: Tue, 2 Sep 2008 05:48:55 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Ajuda 
Teoria dos NúmerosTo: obm-l@mat.puc-rio.br




Pessoal,
 
Alguém poderia me ajudar na resolução da equação diofantina abaixo :
 
z2 = 12xy3 – 3x4 

  

A restrição é que y>x. Verificar se existem soluções inteiras não triviais. 
Caso sim, determiná-las. 


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[obm-l] Projetos

2008-09-04 Por tôpico warley ferreira 
Queria saber onde posso encontrar modelos de projetos, especialmente na área de 
Educação Matemática.Ou se alguém possuir algum e poder enviar via e-mail, 
ficaria grato!
Att.
Warley Souza


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[obm-l] O Conectivo L�gico "se..., ent�o..."

2008-09-04 Por tôpico Albert Bouskela 

LEIAM ATÉ O FINAL!
 

Um dos problemas passados desta Lista tratava de analisar se era verdadeira ou 
falsa a seguinte proposição:
 

SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde.
 

E isto não é tão simples! Leiam até o final!
 

Inicialmente, acho que, nas respostas a este problema, houve uma discussão 
desnecessária, que incluiu a chamada "hipótese vazia" ou "vacuidade".
 

Explico-me: o cerne da questão está na análise de uma proposição do tipo P->Q 
(SE "P" ENTÃO "Q") , na qual P é 0 (falso). Neste caso, a proposição P->Q é 
sempre 1 (verdadeira). Isto é decorrência da DEFINIÇÃO do conectivo lógico 
"se... então..." (->). Esta DEFINIÇÃO é feita através da seguinte 
tabela-verdade:


P  Q  P->Q

0  11

0  01

1  00

1  11


Esta DEFINIÇÃO, é claro, é compatível (assemelha-se) com a linguagem humana, 
que não é, formal e necessariamente, lógica.


Em síntese, quer dizer o seguinte: partindo-se de uma hipótese falsa, pode-se 
(deve-se) concluir que qualquer proposição (falsa ou verdadeira) seja 
verdadeira. Exemplos:
 

"SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Presidente do Brasil" 
... 1 (proposição verdadeira). 

"SE o meu cachorro mora na Lua, ENTÃO o Lula está (é) o Imperador do Japão" ... 
1 (proposição verdadeira - pode até ser que o Lula pense que é mesmo o 
Imperador do Japão...).


Bem, o que interessa é que SE (P)=0, ENTÃO (P->Q)=1.

 
A melhor maneira de ENTENDER isto (esta DEFINIÇÃO) é construir uma proposição 
lógica equivalente, que seja mais "palatável" à linguagem humana. Por exemplo: 
(~PvQ) (~=NÃO ; v=OU). Vejam as respectivas tabelas-verdade:

 

P  Q  P->Q  ~P  Q  ~PvQ

0  11   1   1  1

0  01   1   0  1

1  00   0   0  0

1  11   0   1  1

 

Assim:  (P->Q) = (~PvQ) , pois têm tabelas-verdade idênticas.


E a proposição do aluno fica, claramente, verdadeira (LEIAM ATÉ O FINAL!):

SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde.

É equivalente à proposição:

"x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU "x" é verde.

P [ "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) ] é, obviamente, 1. Por DEFINIÇÃO, 
o conectivo "v" (OU) exige, para ser 1, que APENAS uma das proposições (dentre 
P e Q) seja 1. Logo, a proposição [ "x" NÃO pertence ao { } (conjunto vazio) OU 
"x" é verde ] é 1, qualquer que seja Q [ "x" é verde ]. Q pode ser 1 ou 0.

 
É claro que a DEFINIÇÃO do conectivo "v" (OU) é também compatível com a 
linguagem humana.

 

IMPORTANTE:

A dificuldade que se tem para se admitir como verdadeira qualquer proposição do 
tipo P->Q , na qual P é 0 (e Q é 0 ou 1), está no fato de pensar (achar) que se 
afirma (se prova) que Q seja 1 - e isto não é verdade! O que se afirma é que a 
proposição P->Q é verdadeira e, não, a proposição Q.


Então, posso perguntar: Provou-se que é verdadeira a proposição "SE "x" 
pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde"? E a resposta é: DEPENDE!!!


Sim, depende!
 

Toda a argumentação que apresentei baseia-se na admissão de uma hipótese 
(implícita) fundamental: as proposições básicas (P e Q) devem ser DECIDÍVEIS 
(i.e., é possível saber se são verdadeiras ou, este "ou" é exclusivo, falsas)! 
Esta hipótese é necessária para todas as análises no âmbito da Lógica Clássica, 
na qual se baseia a Teoria dos Conjuntos (antes de Gödel).


Exemplo: 

Não é possível concluir se é verdadeira ou falsa a seguinte proposição:

"SE o meu cachorro recita Camões, ENTÃO o número de fios de cabelo que eu tinha 
ontem na cabeça é primo" (P é 0 e Q é indecidível). UMA PROPOSIÇÃO DESTE TIPO 
NÃO FAZ PARTE DO UNIVERSO DE ANÁLISE DA LÓGICA CLÁSSICA!

 

Voltando à proposição:

SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é verde.

Para afirmar que esta proposição é verdadeira, é necessário admitir que se 
possa DECIDIR (saber) se "x" pode ser verde, ou não. I.e., ter cor DEVE ser um 
dos atributos de "x"! Implicitamente, "x" parece ser uma variável numérica e, 
portanto, não tem o atributo "cor".

 
Um exemplo melhor:

SE o meu cachorro recita Camões, ENTÃO minha casa é gorda.

Ser "gorda" (ou "magra") não é um atributo lógico do elemento "casa". E, assim, 
o exemplo dado não pode ser analisado no âmbito da Lógica Clássica.

 

Concluindo, a proposição original ficaria melhor, e indubitavelmente 
verdadeira, se fosse escrita assim:

SE "x" pertence ao { } (conjunto vazio), ENTÃO "x" é múltiplo de 213.

 

Sds.,

AB

[EMAIL PROTECTED]

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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
===

RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números

2008-09-04 Por tôpico Artur Costa Steiner 
1) Seja

P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x => P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 => P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3  + 30x =>   P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 => p'''(1) = 210
P(x) = 360x => p(1) = 360
P'(x) = 360 => P(1) = 360


Pelo Teoerema de Taylor,

P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5)

Logo, P(x +1) = 15 + 37x +  45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x +  35x^3 + 3x^5 
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5  + 30x + 30x^3 +  15(1 + 3x^2 + x^4)  = 
P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x

Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)

Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que 
P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por 
inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 
5n^3 + 7n.

Depois penso no 2

Artur






-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert Rivera
Enviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Números




Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo:

1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.

2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.

Obrigado (^_ ^)


  _

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[obm-l] Revista Eureka! No. 28

2008-09-04 Por tôpico Olimpiada Brasileira de Matematica 

Caros(as) Professores(as) e amigos(as) da OBM,

Já está no site da OBM o número 28 da Revista Eureka!
Confiram!
www.obm.org.br/frameset-eureka.htm

Cordialmente,

--
Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática 
Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, 
Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil

Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023
e-mail: [EMAIL PROTECTED] 
web site: www.obm.org.br   


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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