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RE: [obm-l] ajuda 5 problemas
Sim, a_n é inteiro positivo. > Date: Fri, 25 Sep 2009 09:47:22 +0200 > Subject: Re: [obm-l] ajuda 5 problemas > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2009/9/24 Patricia Ruel : > > 4) Considere uma sequência de inteiros positivos tal que > > a_(n+2)=a_(n+1)+a_n, para todo n>0. Se a_7=120, determine a_8. > Esse problema é bem interessante. Uma dica, usa a fórmula geral para a > recorrência, e em seguida escreva a_7 em função de duas constantes a_1 > e a_2, que são inteiras positivas. Em seguida, veja que você vai ter > uma equação diofantina com uma única solução em inteiros positivos! > > > 5) a_(n+3)=[a_(n+2)].[a_(n+1)+a_n], para todo n>0. Sabendo que a_6=144, > > calcule a_7. > Aqui não falta nenhum dado não? Do tipo a_n ser inteiro para n>0? Se > for exatamente isso, fatore 144 e expanda a recorrência o máximo > possível, você terá uns poucos casos a testar e pronto ! > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
Res: [obm-l] Respostas erradas!
rapaz.. bem na hora... obrigado por ter avisado... valeu pela nova solução dos problemas. obrigado pela atenção. Abraços Diogo FN De: Osmundo Bragança Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 27 de Setembro de 2009 19:08:00 Assunto: [obm-l] Respostas erradas! Olá colegas da lista e, particularmente, Diogo F.N. Caro Diogo F.N., há alguns dias respondi três perguntas que você mandou para a nossa lista. Infelizmente dei uma resposta errada para o problema nº 01. O problema dizia: sejam a e b inteiros tais que (a , b )=1 , isto é, a e b são relativamente primos. Pede-se provar que ( a + 2b , b + 2a ) = 1 ou 3. Seja d o mdc entre a + 2b e b + 2a . Assim d I a + 2b e d I b + 2a . Portanto d I ( a + 2b ) + ( b + 2a ) = 3 ( a + b ) e daí d I ( 3a + 6b ) – ( 3a + 3b ) = 3b . Analogamente d I 3a . Pelo teorema de Bézou existem inteiros x e y tais que a x + b y = 1 e, portanto, (3a) x + (3b) y = 3. Agora se d I 3a e dI 3b então d I 3 , assim d é igual a 1 ou 3 . Só percebi meu erro quando passei o problema para meus alunos e tentei resolve-lo no quadro negro. Quanto ao segundo problema também há uma solução muito melhor do que a que eu mencionei. Provar que, sendo k um inteiro, k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1 é um quadrado perfeito. De fato, vamos fatorar a expressão dada da seguinde forma: k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1= [ k ( k + 3 ) ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ] + 1 = [ k ^2 + 3k ] [ k^2 + 3k + 2 } = [(k^2 + 3k + 1 ) – 1 ] [ (k^2 + 3k + 1 ) + 1 ] + 1 = (k^2 + 3k + 1 )^2 – 1 + 1 = (k^2 + 3k + 1 ) ^2. Expressão que exibe o quadrado perfeito. Caro Diogo queira desculpar minha falha. Um abraço Osmundo Bragança Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] Problema
Prezados, mais uma vez muito obrigado a todos por atenderem a minha dificuldade. peço desculpas em responder.è que estou com problemas no Velox, e meu micro não é lá essas coisas. Um abraço Paulo Barclay. --- Em qui, 24/9/09, Helton Duarte escreveu: De: Helton Duarte Assunto: RE: [obm-l] Problema Para: "OBM - Lista" Data: Quinta-feira, 24 de Setembro de 2009, 19:23 Olá Paulo, A soma dos números naturais de 3 algarismos é a seguinte: 100 + 101 + ... + 998 + 999 = (100+999)900/2 = 494550 Esse problema foi resolvido usando a fórmula de soma dos n primeiros termos de uma PA, caso não a conheça, segue abaixo a demonstração: S = 100 + 101 + ... + 998 + 999 invertendo os termos S = 999 + 998 + ... + 101 + 100 S + S = (100 + 999) + (101 + 998) + ... + (998 + 101) + (999 + 100) 2 S = (100+999)900 => S = (100+999)900/2 <= Atenciosamente, Helton de Melo Duarte heltonduarte.com twitter.com/heltonduarte Date: Thu, 24 Sep 2009 09:54:40 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Problema To: obm-l@mat.puc-rio.br Prezados, Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema: Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos? Desde já agradeço a gentileza Paulo Barclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Respostas erradas!
Ola pessoal, Para este primeiro problema, podemos usar o seguinte tb : mdc (a+2b,b+2a)= p a=-2b (mod p) Substituindo : b - 4b = 0 (mod p) -3b = 0 (mod p) e , analogamente, -3a = 0 (mod p). Como mdc(a,b)=1, então p=1 ou 3. Abs Felipe --- Em dom, 27/9/09, Osmundo Bragança escreveu: De: Osmundo Bragança Assunto: [obm-l] Respostas erradas! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 27 de Setembro de 2009, 19:08 Olá colegas da lista e, particularmente, Diogo F.N. Caro Diogo F.N., há alguns dias respondi três perguntas que você mandou para a nossa lista. Infelizmente dei uma resposta errada para o problema nº 01. O problema dizia: sejam a e b inteiros tais que (a , b )=1 , isto é, a e b são relativamente primos. Pede-se provar que ( a + 2b , b + 2a ) = 1 ou 3. Seja d o mdc entre a + 2b e b + 2a . Assim d I a + 2b e d I b + 2a . Portanto d I ( a + 2b ) + ( b + 2a ) = 3 ( a + b ) e daí d I ( 3a + 6b ) – ( 3a + 3b ) = 3b . Analogamente d I 3a . Pelo teorema de Bézou existem inteiros x e y tais que a x + b y = 1 e, portanto, (3a) x + (3b) y = 3. Agora se d I 3a e dI 3b então d I 3 , assim d é igual a 1 ou 3 . Só percebi meu erro quando passei o problema para meus alunos e tentei resolve-lo no quadro negro. Quanto ao segundo problema também há uma solução muito melhor do que a que eu mencionei. Provar que, sendo k um inteiro, k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1 é um quadrado perfeito. De fato, vamos fatorar a expressão dada da seguinde forma: k (k + 1) ( k +2 ) ( k + 3 ) + 1= [ k ( k + 3 ) ] [ ( k + 1 ) ( k + 2 ) ] + 1 = [ k ^2 + 3k ] [ k^2 + 3k + 2 } = [(k^2 + 3k + 1 ) – 1 ] [ (k^2 + 3k + 1 ) + 1 ] + 1 = (k^2 + 3k + 1 )^2 – 1 + 1 = (k^2 + 3k + 1 ) ^2. Expressão que exibe o quadrado perfeito. Caro Diogo queira desculpar minha falha. Um abraço Osmundo Bragança Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
