Res: RES: [obm-l] Geometria
Obrigado Osmundo. Depois de algumas horas tb consegui visualizar isso prolongando a base menor menor e a outra diagonal do trapézio. Esse problema é um daqueles em que o desenho bem feitos facilita mt a solução. Abraços De: Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 18 de Julho de 2010 15:20:54 Assunto: RES: [obm-l] Geometria Seja ABCD o trapézio com a propriedade: a base AD é o dobro da base BC e a área do mesmo é 1. Ponhamos A à esquerda de D e abaixo de B, assim ABCD é em sentido horário. Seja M o ponto médio da base AD , claro está que ABCM é um paralelogramo de diagonais AC e BM. O ponto K é a intersecção dessas diagonais. Assim sendo os triângulos ABC, ACM e DCM tem área igual a 1/3. Tracemos a reta DK, ela corta AB em L e CM em G. Note que G é o baricentro do triângulo ACD. A área do triângulo BCK vale 1/6 ( metade de 1/3 ). O triângulo BLK é congruente ao triângulo MGK e este é semelhante ao triângulo CGD cuja área é 1/3 da área do triângulo ACD ( que vale 2/3 ) assim esse triângulo CGD tem área igual a 1/3 x 2/3 ou 2/9. A razão de semelhança entre os triângulos MGK e CGD é de ½ ( pois G é o baricentro ), a razão entre suas áreas é portanto ¼. Contas feitas a área do Triângulo MGK vale 1/18 . Agora a área do quadrilátero BCKL é a soma 1/6 + 1/18, o que nos dá 2/9. É essa a resposta. Espero ter sido claro. Um abraço do colega Osmundo Bragança. De:owner- obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner- obm-l@mat.puc-rio.br ] Em nome de Fabio Bernardo Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2010 21:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Geometria Alguém pode me ajudar nesse: Em um trapézio ABCD de área 1, a base BC mede a metade da base AD. Seja K o ponto médio da diagonal AC. A reta DK corta o lado AB no ponto L. A área do quadrilátero BCKL é: a) 3/4 b) 2/3 c) 1/3 d) 2/9 e) 1/9
[obm-l] MATEMÁTICA RECREATIV A!
Turma! Estranhamente não estou conseguindo resolver os probleminhas propostos pelo colega Rogério Possi Júnior a começar pelo mais simples: Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa... Grato pela ajuda! Cada um de vocês tem de escolher um número inteiro entre 0 e 100. Suponha que duplas de estudantes serão formadas aleatoriamente e de cada dupla sairá vencedor o estudante que escolher o maior inteiro que não for maior que 2/3 da média dos dois números escolhidos pela dupla. Justifique a sua escolha. Cada um de vocês tem de escolher um número inteiro entre 0 e 100. Cada estudante que escolher o maior inteiro que não for maior que 2/3 da média de todas as respostas ganhará um bilhete premiado da Mega-Sena. Justifique a sua escolha. Você está participando em um jogo com 4 outros jogadores. No jogo cada jogador recebe R$100,00. Você tem que decidir como distribuir este dinheiro entre dois fundos de investimentos diferentes: 1. Seu fundo pessoal: para cada real que você investe em seu fundo pessoal, somente você receberá R$4,00. 2. Fundo participativo: para cada real que qualquer jogador investir neste fundo participativo, todos os jogadores receberão R$2,00 , independentemente de quanto cada jogador tenha ele próprio investido neste fundo. Você pode distribuir o dinheiro da maneira que você desejar. Diga quantos reais você investirá no fundo participativo e justifique sua escolha. Afinal! Qual o mais vantajoso: comprar um disco de 10 dólares pagando com dinheiro falso após ter perdido 10 dólares verdadeiro ou comprar um disco de 10 dólares pagando com dinheiro verdadeiro após ter quebrado o anterior pago com 10 dólares falso? Divirtam-se! _ ACESSE SEUS EMAILS DE QUALQUER LUGAR PELO SEU CELULAR. CLIQUE E VEJA COMO FAZER ISSO. http://celular.windowslive.com.br/hotmail.asp?produto=Hotmailutm_source=Live_Hotmailutm_medium=Taglineutm_content=ACESSESEUS85utm_campaign=MobileServices
[obm-l] [obm-l] lógica de primeira segunda ordem livros
olá caros colegas estou iniciando meus estudos em lógica e gostaria de sugestões de livros. aqui onde moro, os livros são muitos desatualizados (para se ter uma ideia, o livro que estou lendo é da década de 70) gostaria de comprar, fazer download ou coisas do tipo livros em português seriam bom, mas sei da 'grandiosidade' do inglês. valeu!!!
[obm-l] esfera
olá caros colegas me surgiu uma dúvida se calcularmos a área de um circulo de raio r teremos pi*r^2, se derivarmos esse resultado em relação a r, teremos 2*pi*r, seu comprimento. se fizermso isso para esfera, mesmo resultado. [v=(4*pi*r^3)/3, dv/dr=4*pi*r^2]. se fizermso para dimensões maiores, obteremos o mesmo resultado. agora tentei verificar se as esferas eram os únicos objetos que teriam essa propriedade (posso chamar assim?). mas não sei como introduzir um parâmetro (aqui no caso acima, seria o raio) tem como? valeu!!
RE: [obm-l] Geometria Olimpica
Entendi,obrigado! Date: Sun, 18 Jul 2010 19:57:37 -0700 From: cysh...@yahoo.com Subject: Re: [obm-l] Geometria Olimpica To: obm-l@mat.puc-rio.br Claro! Para facilitar, seja BC o lado de medida a, AB o lado de medida a-d e AC o lado de medida a+d. O ponto médio é M e o pé da bissetriz é T. Temos BM = a/2. Pelo teorema das bissetrizes, CT/BT = AC/AB, ou seja, BC/BT = (AB+AC)/AB (basta somar 1 de cada lado). Logo BT = BA*BC/(AB+AC) = (a-d)*a/(a-d+a+d) = (a-d)/2. É daí que veio a expressão. []'s Shine From: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sun, July 18, 2010 9:00:35 PM Subject: FW: [obm-l] Geometria Olimpica From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica Date: Mon, 19 Jul 2010 00:40:49 + Daria para explicar como obter a expressão (a/2-a(a-d)/(a-d+a+d))? Date: Fri, 16 Jul 2010 08:19:49 -0700 From: cysh...@yahoo.com Subject: Re: [obm-l] Geometria Olimpica To: obm-l@mat.puc-rio.br Nossa, quantas soluções bacanas! Eu pensei nessa aqui: Sejam a - d, a, a + d os lados do triângulo. Então o raio da circunferência inscrita é r = S/p, em que S é a área e p = (a-d + a + a+d)/2 = 3a/2 é o semiperímetro. Mas S = ah/2, sendo h a altura relativa ao lado de medida a. Assim, r = ah/3a = h/3, ou seja, o incentro está a 1/3 da altura de distância do lado de medida a. Mas o baricentro também está a essa mesma altura, porque divide a mediana na razão 2:1. Isso quer dizer que a reta que liga o baricentro e o incentro é paralela ao lado de medida a. Assim, o segmento que liga esses dois centros é igual a 2/3 do segmento que liga o ponto médio ao pé da bissetriz no lado de medida a, que é 2/3(a/2 - a(a-d)/(a-d+a+d)) = d/3. []'s Shine From: Luís Lopes qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Fri, July 16, 2010 11:31:23 AM Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica Sauda,c~oes, Seria legal conhecer outras soluções dos membros da lista e da própria OBM. Seguem outra solução de ND e correções de APH. []'s Luis = Lemma 1: In every triangle: Lemma 1: GI^2 = (bc+ca+ab)/3 - (a^2+b^2+c^2)/9 - 4Rr Lemma 2: If 2b = a + c [: b = a+d, c = a+2d ] == ac = 6Rr L1 /\ L2 == 9GI^2 = b^2 - ac = (a+d)^2 - a(a+2d) = d^2 == GI = d/3 APH == Dear Tuan, very good! Another proof with vectors: We have GA + GB + GC = 0 a.IA + b.IB + c.IC = 0 or (a + b + c).IG + a.GA + b.GB + c.GC = 0 or 3b.IG + (a - b)GA + (c - b)GC = 0 or 3b.IG = d.(GA - GC) = d.CA and hence |IG| = |CA|.d/3b = d/3. Best regards Nikos Dergiades From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica Date: Thu, 15 Jul 2010 20:06:14 + Sauda,c~oes, Três soluções de um outro grupo. []'s Luis == 1) Dear Luis, Let b = a + d, c = b + d, or a + c = 2b then s = (a + b + c) / 2 = 3b/2, s - b = b/2 and since s.r = (s - b) rb we get that rb = 3r where r, rb are the radi of incircle and B_excircle. The line IG has equation in barycentrics (b - c)x + (c - a)y + (a - b)z = 0 or -x + 2y - z = 0 and meets the line BC at D (0 : 1 : 2) which means that BD/DC = 2 and the line IG is parallel to AC. If M is the midpoint of AC and the line BI meets AC at J then CJ = ab/(a + c) = a/2 MJ = b/2 - a/2 = d/2 and GI = 2MJ/3 = d/3. The Nagel point Na is known that lies on line IG and if BNa meets AC at K then AK = s - c = 3b/2 - c and KM = AM - AK = b/2 - (3b/2 - c) = c - b = d Hence NaG = 2KM/3 = 2d/3 Best regards Nikos Dergiades == 2) Dear Luis Lemma 1: In every triangle: GI^2 = (bc+ca+ab)/3 - (a^2+b^2+c2)/9 - 4Rr Lemma 2: If 2b = a + c [: a = b+d, c = b+2d ] == ac = 6Rr L1 /\ L2 == 9GI^2 = b^2 - 3ac = (c-a)^2 == 3GI = c-a = d == GI = d/3 APH == 3) Dear Luis and Nikos, We can solve the problem by construction triangle ABC (b = a+d = c-d) as following: Choose b = AC as one segment. X as any point on segment AC and CX = d. X1 = reflection of X in C X2 = reflection of X in midpoint of AC B = intersection of two circles centered at C passing X2 and centered at A passing X1 Y1 = midpoint of BX1 Y2 = midpoint of BX2 A1 = midpoint of BC C1 = midpoint of AB I = intesection of AY1 and CY2 G = intesection of AA1 and CC1 From this construction: GI//AC and GI = 2/3*A1Y1 = 2/3*1/2*CX1 = 1/3*CX1 = d/3 Best regards, Bui Quang Tuan From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica Date: Tue, 13 Jul 2010 21:51:15 + Muito ´´bonito´´ mesmo.Seria muito interessante ver soluções diferentes postadas aqui neste fabuloso espaço. Date: Tue, 13 Jul 2010 14:36:06 -0700 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: RE: [obm-l] Geometria Olimpica To: obm-l@mat.puc-rio.br Estou enviando, pois achei o problema muito bonito. Abs Felipe --- Em ter, 13/7/10, Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com escreveu: De: Thiago Tarraf Varella
