Re: [obm-l] distancia no trapezio
Depois de traçar a paralela ao lado BC, o triângulo EDA é isósceles porque o ângulo CDA é 2*alfa e ao traçar a paralela ED, prolongando no ponto D os segmentos ED e CD o ângulo formado pelas extensões dos segmentos fora do trapézio é alfa, ou seja, o ângulo CDE é alfa (ângulos opostos pelo vértice). Assim, o ângulo EDA também é alfa (ângulo CDA - ângulo CDE = 2*alfa - alfa = alfa) e o triângulo EDA é isósceles (ângulo DEA = alfa e ângulo EDA = alfa). Como DA = 6, EA também = 6 e já que BE = 4 (mesma medida de CD), AB = 10. Da forma que você fez, traçando a outra paralela, não pode se dizer nada, pois não se sabe qual o valor do ângulo DCB, já que não há esse dado no problema. Em 10 de janeiro de 2011 11:04, Luís Lopes escreveu: > Sauda¸c~oes, oi Carlos Victor, > > Fiz como vc, soh que tracei por C a paralela ao lado AD. Mas n~ao observei > que o triângulo CBE é isósceles com base BC. > > Obrigado. > > Abraços, > > Luis > > > > Date: Sun, 9 Jan 2011 18:07:16 -0200 > Subject: Re: [obm-l] distancia no trapezio > From: victorcar...@globo.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Olá Luis, > > Trace de D uma paralela ao lado BC que encontra AB por exemplo em E. Observe > que BE = 4 e o triângulo EDA é isósceles e, donde EA = 6. Logo AB = 10 , ok > ? . Verifique se esta ideia está correta . > > Abraços > > Carlos Victor > > Em 9 de janeiro de 2011 13:56, Luís Lopes escreveu: > > Sauda¸c~oes, > > Pediram-me para resolver o seguinte problema. > > No trapezio ABCD, CD=4 e DA=6. E tambem B=\alpha e D=2\alpha. > Calcular AB. > > O "desenho" do trapezio eh > > C o---o D > > > > B o---o A > > > Abra¸cos, > Luis > > > -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] outra soma de série
Pessoal, Como calcular a soma de 1/[n(n+1)(n+2)...(n+p)], com n de 1 a infinito, e p natural fixado? Já tentei usar frações parciais, porém não consegui muita coisa... Obrigado, Eder
[obm-l] Re: [obm-l] Função
Oi Marcelo, 1) faça x=2 ; f(2) + f(-2) = 2 2) faça x-> x/(1+x) e depois x= -2 e determine f(-2) .Por (1) encontre f(2) . Abraços Pacini Bores 2011/1/8 Marcelo Costa > Seja f: IR --> IR tal que f(x) + f(x/(1- x)) = x, para todo x real > diferente de 0 ou 1. Calcule f(2).
[obm-l] FW: Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Equação do segundo grau(raiz inteira) Date: Sun, 9 Jan 2011 02:27:05 + Sejam a,b números inteiros .Sabendo que a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes. Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1?
Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, Marcone,expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0
Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0
Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.
Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1
Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.
Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k
Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).
Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab
As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }
(0, 0) não pode ser.
Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.
Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2 < 0, logo, não tem raízes reais.
Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe
Abraços,
Salhab
2011/1/9 marcone augusto araújo borges
Sejam a,b números inteiros .Sabendo que a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x
tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.
RE: [obm-l] TRUQUES MATEMATICOS!
Essa brincadeira existe em outras versões.Veja,por favor,as operações(contas)feitas para chegar ao número final.Acho q faltou algo. Abraço. > Date: Fri, 14 Jan 2011 13:09:53 -0200 > Subject: Re: [obm-l] TRUQUES MATEMATICOS! > From: ghae...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Seus colegas phd's estão mal hein... > > Em 13 de janeiro de 2011 16:19, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis > escreveu: > > Olá, João e demais colegas! O Eduardo tem razão quanto a resposta correta do > > número de pedreiros no teste de Q.I. E quanto as chances de ganhar a > > Ferrari, seria mais uma versão sofisticada do problema dos bodes? > > Brincadeiras à parte, vejam que mágica realmente espantosa: Convida-se uma > > pessoa a tirar da estante qualquer livro; deve abri-lo ao acaso e escolher > > uma palavra nas primeiras nove linhas da página que tiver na sua frente e de > > cujo número tomará nota, multiplicando a seguir, por 10; ao produto 25 e o > > numero da linha em que está a palavra escolhida. O resultado assim obtido > > volta a ser multiplicado por 10 juntando-se ao produto o número de ordem da > > palavra na linha. Recebe-se então o livro e um pedaço de papel, onde está > > escrito o número obtido, mas sem as operações, e, depois de alguns momentos > > de reflexão, conseguiremos abrir o livro e encontrar a palavra escolhida. > > Afinal! Como chegar a esse espantoso resultado? > > > > Essas brincadeiras de "gente grande" me faz lembrar do problema dos dados de > > RPG e do truque de cartas cuja ordem lexicográfica devemos enviar na > > "cápsula do tempo" como testemunho da engenhosidade humana. > > > > Aproveitando a "hora do recreio" vamos nos divertir com uma versão da > > incrível mágica da cartelinha ou truques das senhas bancárias. Curiosamente, > > a maioria dos meus colegas phd's não conseguem descobrir o macete. > > Fantástico, não! > > > > > > Clique no Link: > > http://sorisomail.com/email/21823/adivinhando-o-teu-numero.html > > > > > > > > > > > > Divirtam-se! > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Encontrei 6561 = 81^2, 6+5+6+1 = 18 e 8281 = 91^2, 8+2+8+1 = 19, mas a
resposta correta seria 6561, pois obedece a uma restrição dada no
desenvolvimento.
O menor quadrado perfeito com quatro dígitos é 1024 = 32^2 e o maior é
9801 = 99^2. Logo, a raíz quadrada precisa ser maior ou igual a 32 e
menor ou igual a 99.
Sejam a1, a2, a3, a4 os dígitos do quadrado perfeito e n a sua raíz
quadrada com dígitos n1 e n2. Assim,
1000*a1 + 100*a2 + 10*a3 + a4 = n^2 = (10*n1 + n2)^2 = 100*n1^2 +
20*n1*n2 + n2^2
Aplicando módulo 10 a ambos os lados da igualdade:
a4 = n2^2
Assim, como a4 é um dígito e possui valores 0,1,...,9 e é um quadrado
perfeito, a4 pode ser 0, 1, 4, 9, ou seja, n2 pode ser 0, 1, 2, 3.
Como a soma a1+ a2 + a3 + a4 = 10*n2 + n1, podemos escrever:
1: 1000*a1 + 100*a2 + 10*a3 + a4 = 999*a1 + 99*a2 + 9*a3 + a1+ a2 + a3
+ a4 = 999*a1 + 99*a2 + 9*a3 + 10*n2 + n1 = 999*a1 + 99*a2 + 9*a3 +
9*n2 + n2 + n1
2: 100*n1^2 + 20*n1*n2 + n2^2 = 99*n1^2 + 18*n1*n2 + n1^2 + 2*n1*n2 + n2^2
999*a1 + 99*a2 + 9*a3 + 9*n2 + n2 + n1 = 99*n1^2 + 18*n1*n2 + n1^2 +
2*n1*n2 + n2^2
Aplicando módulo 9 a ambos os lados da igualdade:
(n2 + n1) mod 9 = (n1^2 + 2*n1*n2 + n2^2) mod 9 = (n1 + n2)^2 mod 9
Como a*b mod x = [(a mod x)*(b mod x)] mod x:
(n1 + n2)^2 mod 9 = {[(n1 + n2) mod 9]*[(n1 + n2) mod 9]} mod 9
Assim, (n2 + n1) mod 9 = {[(n1 + n2) mod 9]*[(n1 + n2) mod 9]} mod 9, ou seja:
n2 + n1 = [(n1 + n2) mod 9]*[(n1 + n2) mod 9]
Portanto, n2 + n1 é igual a multiplicação de dois números, sendo cada
um deles entre 0 e 8, inclusive.
n2 pode ser 0, 1, 2, 3, então a soma n2 + n1 é no máximo 12, já que n1
pode ser no máximo 9.
Verificando as possibilidades de n1 e n2 para cada soma e considerando
apenas aquelas que formam um número maior ou igual a 32 e menor ou
igual a 99 ou que n1 esteja entre 0 e 8, inclusive e n2 esteja entre 0
e 3, inclusive:
0: n1 = 0, n2 = 0, n = 0 (inválido)
1: n1 = 1, n2 = 1, n = 11 (inválido)
2: n1 = 1, n2 = 2, n = 12 (inválido); n1 = 2, n2 = 1, n = 21 (inválido)
3: n1 = 1, n2 = 3, n = 13 (inválido); n1 = 3, n2 = 1, n = 31 (inválido)
4: n1 = 4, n2 = 1, n = 41 (válido); n1 = 2, n2 = 2, n = 22 (inválido)
5: n1 = 5, n2 = 1, n = 51 (válido)
6: n1 = 6, n2 = 1, n = 61 (válido); n1 = 2, n2 = 3, n = 23 (inválido);
n1 = 3, n2 = 2, n = 32 (válido)
7: n1 = 7, n2 = 1, n = 71 (válido)
8: n1 = 8, n2 = 1, n = 81 (válido); n1 = 4, n2 = 2, n = 42 (válido);
n1 = 2, n2 = 4, n = 24 (inválido)
9: n1 = 9, n2 = 1, n = 91 (inválido); n1 = 3, n2 = 3, = 33 (válido)
10: n1 = 5, n2 = 2, n = 52 (válido)
11: inválido
12: n1 = 6, n2 = 2, n = 62 (válido); n1 = 4, n2 = 3, n = 43 (válido);
n1 = 3, n2 = 4, n = 34 (válido)
Não encontrei outra forma além de testar cada um dos n marcados como
válidos, que são:
41, 51, 61, 32, 71, 81, 42, 33, 52, 62, 43, 34.
Desses, apenas 81 atende às condições do problema. Será que há outro número?
Em 18 de janeiro de 2011 17:32, Marcelo Costa escreveu:
> Considere um número x que é um quadrado perfeito de quatro algarismos e cuja
> a soma desses algarismos é igual ao número que se obtém lendo sua raiz
> quadrada ao contrários. Encontre todos os números de x.
>
> Agradeço desde já a atenção dada, obrigado!
>
--
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] soma de série
pi/8 Em 17 de janeiro de 2011 16:21, Eder Albuquerque escreveu: > Olá a todos. > > Alguém tem uma dica para calcular o somatório de 1/[(4n+1)(4n+3)] com n > variando de 1 a infinito? > > Obrigado, > > Eder > > -- Vinícius Côrtes (Harlock) cortes...@gmail.com from: Saint'Ana's Fair, Bahia
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teoria dos números 2
Aplica-se semelhança para encontrar a altura da broca que perfurou o cone: (16-h)/2 = 16/6 --> 48-3h = 16 --> 3h = 32 --> h = 32/3 V = (1/3)*(pi*4)*(32/3) = 128*pi/9 Em 19 de janeiro de 2011 12:55, Ana Paula Almeida escreveu: > > > Quem puder dar uma ajuda no exercício abaixo : > > Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 16 e > raio R = 6 > ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado > conforme > ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então > -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Raízes irracionais
Basta demonstrar que, se a e b > 0 são racionais tais que raiz(b) é irracional, então, se a + raiz(b) é raiz de P (P com coeficientes racionais), então a - raiz(b) é também raiz de P. Sem perda de generalidade, basta demonstrar para o caso a = 0. (Demonstrado para este caso, se a + raiz(b) for raiz de P, então raiz(b) é raiz de Q(x) = P(x + a), cujos coeficientes são racionais. Logo, -raiz(b) é raiz de Q, de modo que P(a - raiz(b)) = Q(-raiz(b)) = 0). Como b é racional e raiz(b) é irracional, então potências pares de raiz(b) são racionais e potências ímpares são irracionais da forma b^k raiz(b), com k inteiro >= 0. Sendo n o grau de P, se agruparmos as potências pares e ímpares de raiz(b) (deixo para vc os detalhes), vamos obter algo do tipo P(raiz(b)) = A + B raiz(b) P(-raiz(b)) = A - B raiz(b) Onde A e B são racionais. Como raiz(b) é irracional e P(raiz(b)) = 0, temos necessariamente que A = B = 0, o que implica P(-raiz(b)) = 0. Abraços Artur -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: quinta-feira, 20 de janeiro de 2011 07:58 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Raízes irracionais 2011/1/20 marcone augusto araújo borges : > Se um número como 3 + raíz(2),por exemplo, é raiz de uma equação do segundo > grau,então 3 - raíz(2) também é. > Isso vale ,em geral,para uma equação de grau n?SE vale,como provar? Bom, primeiro, você tem que acertar o enunciado... se a equação for x^2 - 6 x + 11 + 2 raiz(2) x + 6 raiz(2) = (x - 3 - raiz(2))^2 = 0, você não terá 3 - raiz(2) Algo mais exato talvez seja "Se P(x) é um polinômio com coeficientes inteiros / racionais, e se a + b*raiz(c) é uma raiz de P(x) = 0, com a, b e c racionais, então a - b * raiz(c) também é raiz de P(x) = 0". A melhor forma de provar isso é começar como você pensou na equação de segundo grau. Você deve conseguir, usando a fórmula explícita da solução, provar que as "raízes conjugadas sempre aparecem". Para demonstrar mais geralmente, você talvez tenha que saber um pouco de álgebra. Aliás, isso é bem parecido com o fato de "se uma raiz de um polinômio com coeficientes reais for complexa, então tem outra raiz complexa, a conjugada *complexa*", e vale a pena ver como funcionam esses dois casos. Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] FW: Raízes irracionais
2011/1/20 marcone augusto araújo borges : > Se um número como 3 + raíz(2),por exemplo, é raiz de uma equação do segundo > grau,então 3 - raíz(2) também é. > Isso vale ,em geral,para uma equação de grau n?SE vale,como provar? Bom, primeiro, você tem que acertar o enunciado... se a equação for x^2 - 6 x + 11 + 2 raiz(2) x + 6 raiz(2) = (x - 3 - raiz(2))^2 = 0, você não terá 3 - raiz(2) Algo mais exato talvez seja "Se P(x) é um polinômio com coeficientes inteiros / racionais, e se a + b*raiz(c) é uma raiz de P(x) = 0, com a, b e c racionais, então a - b * raiz(c) também é raiz de P(x) = 0". A melhor forma de provar isso é começar como você pensou na equação de segundo grau. Você deve conseguir, usando a fórmula explícita da solução, provar que as "raízes conjugadas sempre aparecem". Para demonstrar mais geralmente, você talvez tenha que saber um pouco de álgebra. Aliás, isso é bem parecido com o fato de "se uma raiz de um polinômio com coeficientes reais for complexa, então tem outra raiz complexa, a conjugada *complexa*", e vale a pena ver como funcionam esses dois casos. Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
