Re: [obm-l] questao estranha
Eu acho que a II é falsa. Exemplo: Retas x=0=y e x=0, y=1. Elas são paralelas por estarem contidas no plano x=0 e não se tocarem. Uma delas está contida no plano y=0, a outra não. Mas isso é mais uma questão de (falta de) definição... Para mim, interceptar = "interseção não vazia", o que é o caso. Enfim... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2011/4/7 João Maldonado : > Na verdade o conceito de retas paralelas em R3 é diferente do usual: > Duas retas são paralelas SE 1) pertencem ao mesmo plano e 2) não se > encontram > Um plano é uma superfície 2d infinita > I) V -> podemos traçar um só plano entre um ponto e uma reta. No plano > somente uma reta passa pelo ponto e é paralela à outra > II) V (?) -> Interpretando "interceptar" como "passar dentro de" sendo > diferente a "tangenciar" ou "conter", é verdade , já que o plano teria que > formar um ângulo > 0 com a reta e como o plano é infinito, tocaria a outra. > Interpretando interceptar como sendo um possível tangenciar, falso > III) V (óbvio) > IV) V -> Pense assim. Temos uma reta, traçamos um plano perpendicular a > esta. Planos paralelos à reta t~em que ser automaticamente perpendiculares > ao primeiro plano. Logo a intersecção destes planos também é perp. com o > primeiro e consequentementte paralela à reta. > Alternativa A > []'s > João > > From: sswai...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] questao estranha > Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + > > Considere as quatro sentencas a seguir: > (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma > só paralela a essa reta. > (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas > intercepta a outra. > (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. > (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a > interseçãoao deles. > Assinale a alternativa correta. > (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. > (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. > (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. > (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. > (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. > > Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o > que vcs acham? > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Termo Geral de uma sequência
Olá pessoal, tenho muita dificuldade em calcular o termo geral de sequências do tipo: 0,1,2,0,1,2,... 0,3,0,3,0,3,... Existe alguma técnica?? abraços, -- Emanuel = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] QUESTAO DE TRIANGULOS
Num triângulo ABC tem-se que o ângulo ABC é igual ao ângulo ACB que vale 40 graus . Prolongando-se o lado AB, no sentido de A para B, até um ponto D tal que AD igual a BC, a medida do ângulo BCD é igual a: Felipe Araujo Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] conj untos, difícil
Oi Bernardo, muito obrigado pela explicação. Já comecei a gostar deste tema.
Vou continuar estudando este tema que está muito interessante.
Só vou parar alguns dias, pois tenho provas a semana próxima. Após as provas,
volto no assunto.
Obrigado
abraços
Julio Saldaña
-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Mon, 4 Apr 2011 18:17:36 +0200
Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conj untos,
difícil
2011/4/4 Julio César Saldaña :
Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de
distância.
Oi Julio,
Só para conferir
Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
distância entre eles seria: 5, isso é correto?
Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1.
Vamos lá, com calma. A definição, pra começar:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) < r e
para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) < r}
Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que
pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o
problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B,
e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos
para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a
definição em \"distância de A até B\" e \"distância de B até A\", cada uma
sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o \"r\" valha
para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias
(que não são simétricas, por isso que a gente não as usa)
Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto
\"mais longe\" do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r > 3
existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância
menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b)
correspondentes no outro círculo também, de forma que a \"distância de
A até B\" é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como
definida pelo Samuel) é 3.
Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A =
segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a \"distância de A até B\" como eu
defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância <= a 2 do
[2,20]. Por outro lado, a \"distância de B até A\" é 19, porque o ponto
20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A.
Agora, de volta ao problema:
Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte:
defina a \"distância entre x e A\" (um conjunto) como a menor distância
entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a
A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto
fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de
distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A,
logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância <
constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma
subseqüência.
Agora, defina d(A -> B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = \"distância
de A até B\", e h(A,B) = max{d(A -> B), d(B -> A)}. Isso quer dizer que
B inter {vizinhança de espessura r > h(A,B) em volta de A} é não vazio
para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que
pedir que B esteja contido na \"bola em volta de A\" de raio r. (\"bola
em volta de A\" = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja
distância a A é menor do que r).
Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade
triangular original, mais o fato que h(A,B) < r te dá um ponto em B
para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C) < s para fazer pontos em
C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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RE: [obm-l] questao estranha
Na verdade o conceito de retas paralelas em R3 é diferente do usual:Duas retas são paralelas SE 1) pertencem ao mesmo plano e 2) não se encontramUm plano é uma superfície 2d infinita I) V -> podemos traçar um só plano entre um ponto e uma reta. No plano somente uma reta passa pelo ponto e é paralela à outraII) V (?) -> Interpretando "interceptar" como "passar dentro de" sendo diferente a "tangenciar" ou "conter", é verdade , já que o plano teria que formar um ângulo > 0 com a reta e como o plano é infinito, tocaria a outra. Interpretando interceptar como sendo um possível tangenciar, falsoIII) V (óbvio)IV) V -> Pense assim. Temos uma reta, traçamos um plano perpendicular a esta. Planos paralelos à reta t~em que ser automaticamente perpendiculares ao primeiro plano. Logo a intersecção destes planos também é perp. com o primeiro e consequentementte paralela à reta. Alternativa A []'sJoão From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham?
RE: [obm-l] quadrado perfeito
Sim, é verdade. A demonstração que conhço só requer conhecimentos em aritmética
elementar. Pode ser demonstrado facilmente. Farei isso usando somente conceitos
de números primos e fatoração.
Para determinar os divisores de um número ''inteiro positivo'' A^z (suponha que
A é um número primo) deve-se primeiro fatorá-lo e depois criar uma outra coluna
do lado direito dos fatores primos de A^z e no topo dela colocar 1( um é
divisor de qualquer número). Multiplica-se o primeiro fator primo de A^z por 1
e, sucessivamente, os fatores primos seguintes pelos produtos obtidos
anteriormente, tendo o cuidade de não obter produtos (divisores) anteriormente
repetidos. Assim teremos todos os divisores de A ao lado da fatoração, logo
D(A^z)={1 , A^1, A^2, A^3, A^4, A^5,... A^z}. Logo o NÚMERO de divisores de A^z
será 1+z. A condição para um número ser quadrado perfeito é que sua
decomposição em fatores primos produza expoente(s) multiplo(s) de 2. Logo, A^z
sendo quadrado perfeito terá um número de divisores ímpares, porque z é igual
a 2n (n é um número natural) e teremos então 2n+1 divisores para qualquer
quadrado perfeito.
From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] quadrado perfeito
Date: Wed, 6 Apr 2011 22:45:01 +
é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de
divisores?
isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim.
RE: [obm-l] quadrado perfeito
Pessoalmente achei a resolução do ralph muito mais bonitinha mais se você quer demonstrar pela fórmula dos divisores de um número: Dado k = (a1^b1)(a2^b2)...(an^bn), sendo ax os fatores primos de k e bx os expoentesse n = k² = (a1^2b1)(a2^2b2)...(an^2bn) Aplicando a fórmula:D = (2b1+1)(2b2+1)...(2bn+1), que é o produto de n números ímpares e é ímpar []'sJoão Date: Wed, 6 Apr 2011 21:28:49 -0300 Subject: Re: [obm-l] quadrado perfeito From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Dado um inteiro n, voce pode "parear" cada divisor d com o divisor n/d. Entao o numero de divisores serah sempre par... ...a menos que haja um par com dois numeros repetidos, isto eh, d=n/d; entao n seria um quadrado perfeito. Abraco, Ralph. 2011/4/6 Samuel Wainer é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de divisores? isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim.
Re: [obm-l] quadrado perfeito
Dado um inteiro n, voce pode "parear" cada divisor d com o divisor n/d. Entao o numero de divisores serah sempre par... ...a menos que haja um par com dois numeros repetidos, isto eh, d=n/d; entao n seria um quadrado perfeito. Abraco, Ralph. 2011/4/6 Samuel Wainer > é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de > divisores? > > isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim. >
Re: [obm-l] quadrado perfeito
Isso é bem fácil mostrar se vc conhece a formula para o numero de divisores de um numero p1^n1*...*pk^nk que é (n1+1)*...*(nk+1), que pode ser demonstrada facilmente usando combinatoria 2011/4/6 Samuel Wainer > é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de > divisores? > > isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim. >
[obm-l] quadrado perfeito
é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de divisores? isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim.
[obm-l] questao estranha
Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham?
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios independentes
Tente escrever cada x^n como uma combinação destes polinômios. 2011/4/6 Samuel Wainer > Sejam a, b doiselementos não nulos no corpo F. Provar que os polinômios 1, > (aX + b), (aX + b)^2, (aX + b)^3, ... formam uma base de F[X]. Onde F[X] é > o espaço dos polinômios sobre F. > > > > Para mostrar que eles são LI, preciso abrir os expoentes e ver que cada um > deles contém um termo X^n que o outro não tem e portanto são LI. Está certo > isso? > E o fato deles gerarem todo o espaço? > > Desde já agradeço. > > > > -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] polinômios independentes
Sejam a, b doiselementos não nulos no corpo F. Provar que os polinômios 1, (aX + b), (aX + b)^2, (aX + b)^3, ... formam uma base de F[X]. Onde F[X] é o espaço dos polinômios sobre F. Para mostrar que eles são LI, preciso abrir os expoentes e ver que cada um deles contém um termo X^n que o outro não tem e portanto são LI. Está certo isso? E o fato deles gerarem todo o espaço? Desde já agradeço.
[obm-l] Res: QUETAO GEOMETRIA PLANA TRIANGULOS
Julio, obrigado pela soluçao. Foi bem clara. Felipe Araujo Costa Cel: 78706408 / ID: 10*65017 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br - Mensagem original De: felipe araujo costa Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 4 de Abril de 2011 3:22:22 Assunto: QUETAO GEOMETRIA PLANA TRIANGULOS Olá, Queria uma outra solução mais simples que pela trigonometria. Se alguem conseguir??? === Seja P um ponto do interior de um triângulo isósceles ABC tal que AB igual a BC, o angulo ABC VALE 80o , o angulo PAC = 40o e o angulo ACP = 30o . A medida do ângulo BPC é igual a: Obrigado; Felipe Araujo Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Matrizes
Olá amigos, Fiquei "parado " no seguinte problema desde sexta (principalmente nas letras C e D), se alguém puder me ajudar eu agradeço Dada uma matriz quadrada 16x16 com linhas e com linhas e colunas numeradas de 1 a 16, o elemente Aij (elemento da linha i e coluna j) vale i+j. Escolhem-se 16 elementos, sem que haja algum emuma mesma linha ou coluna e multiplica-os. a) Qual o menor produto que se pode obter dessa forma? b) Qual o maior produto que se pode obter dessa forma? c) Qual o (s) produto (s) mais provável (is) de ser (em) obtido dessa forma? d) Quantos produtos podemos obter dessa forma? []'s João
