[obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/23 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com
Os números 1, 2, ..., 20 são escritos em um quadro negro. Podemos apagar
dois deles a e b e escrever no lugar o numero a+b+ab. Após muitas
operações ficamos apenas com um numero.
Qual deve ser esse numero?
O invariante vai ser a soma dos termos a_i1 * a_i2 * ... * a_ir, para cada
combinação {i1, i2, ..., ir} do conjunto {1, 2, 3, ..., n}.
Na sequência sem o 'a' e 'b' mas com a+b+ab (a sequência transformada), o
termo (a + b + ab) * x na forma acima está associado a 3 termos distintos
da sequência original: a*x, b*x e ab*x.
A volta também é verdadeira: dá pra agruparmos 3 termos da sequência
original para formarmos este termo na sequência transformada. Ou seja, a
invariante existe.
Então precisamos obter justamente esta soma.
Basta então lançarmos mão sobre a recorrência S_n = a_n*S_{n-1} + S_{n-1} =
n*S_{n-1} + S_{n-1}. Ela soma os termos com o n e sem o n.
Assim S_n = (n+1) S_{n-1}
Como S_1 = 1, S_n = (n+1)!/2.
--
[]'s
Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/24 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br
2013/2/23 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com
Os números 1, 2, ..., 20 são escritos em um quadro negro. Podemos apagar
dois deles a e b e escrever no lugar o numero a+b+ab. Após muitas
operações ficamos apenas com um numero.
Qual deve ser esse numero?
O invariante vai ser a soma dos termos a_i1 * a_i2 * ... * a_ir, para cada
combinação {i1, i2, ..., ir} do conjunto {1, 2, 3, ..., n}.
Na sequência sem o 'a' e 'b' mas com a+b+ab (a sequência transformada), o
termo (a + b + ab) * x na forma acima está associado a 3 termos distintos
da sequência original: a*x, b*x e ab*x.
A volta também é verdadeira: dá pra agruparmos 3 termos da sequência
original para formarmos este termo na sequência transformada. Ou seja, a
invariante existe.
Então precisamos obter justamente esta soma.
Basta então lançarmos mão sobre a recorrência S_n = a_n*S_{n-1} + S_{n-1}
= n*S_{n-1} + S_{n-1}. Ela soma os termos com o n e sem o n.
Assim S_n = (n+1) S_{n-1}
Como S_1 = 1, S_n = (n+1)!/2.
Uma correção:
Na verdade a recorrência é S_n = n S_{n-1} + n + S_{n-1},
Isso dá S_n + 1 = (n+1)(S_{n-1} + 1). Que, como Douglas mostrou, dá S_n =
(n+1)! - 1.
--
[]'s
Lucas
[obm-l] Fwd: Teoria dos números
Original Message SUBJECT: Teoria dos números DATE: Mon, 11 Feb 2013 18:17:24 -0200 FROM: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br TO: Olá amigos estou precisando de uma ajuda na seguinte questão Se 31^1995 divide aˆ2+b^2, o resto da divisõ de 31^1996 por ab é igual a: a)0 b)1 c)2 d)30 e)31 Um abraço do Douglas Oliveira
Re: [obm-l] Ajuda em um grande problema!
2013/2/24 douglas.olive...@grupoolimpo.com.br ** Considere um sistema de eixos cartesianos ortogonais, e dois pontos A e B , o ponto A localizado em (0,600) e o ponto B localizado em (800,0), assim ambos partem ao mesmo tempo e com mesmas velocidades , o ponto A Anda na direção NORTE-SUL( no sentido negativo de Y) e o ponto B na direção de A (seguindo o A). Pergunta-se, para um tempo muito grande o ponto B deve estar alinhado atrás de A, e quando isso acontecer , qual a distância entre eles? O que significa estar alinhado? -- []'s Lucas
[obm-l] Integral interessante
Seja f uma função real ímpar, contínua em toda a reta real. Seja a 0. Determine Int[-a, a] 1/(e^(f(x)) + 1) dx Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda em um grande problema!
2013/2/24 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Simplificacao 1: suponha que as velocidades de ambos sao 1 (se nao for, voce muda a escala de tempo para que sejam) Simplificacao 2: vou colocar o referencial em A. Entao A estah agora no ponto (0,0) o tempo todo. Seja (x(t),y(t)) a posicao de B com relacao a A. O que voce nos disse eh que a velocidade de B eh na direcao de A com modulo 1, isto eh: dx/dt=-x/(sqrt(x^2+y^2)) dy/dt=-y/sqrt(x^2+y^2)) Mas, pera ai, estah errado -- do lado esquerdo eu escrevi a velocidade de B no referencial original (e, do lado direito, eu usei o x e y do referencial novo)! Para consertar isto: dx/dt=-x/sqrt(x^2+y^2) dy/dt=-y/sqrt(x^2+y^2) + 1 Isto eh um sistema de EDOs nao linear, e portanto meio chato de resolver na mao... Mas estah perfeito para resolver numericamente pelo PPLANE: http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html Vah aaquele site, coloque as EDOs na caixinha, faca o grafico na janela (-10,10)x(-10,10). Clique no ponto (8,-6) para ver a trajetoria de B em relacao a A (eu re-escalei tudo em 100 para os numeros ficarem menores, isto nao altera o problema), ou entao clique no menu em Solution/Keyboard Input of Initial Value e coloque x=8 e y=-6. A trajetoria de B eh uma curva que parece uma parabola (nao eh), e se aproxima seria de (0,2)? Por ali, nao sei. Mas note que a curva se aproxima desse ponto aa medida que o tempo vai para INFINITO, entao B nunca se alinha com A no sentido que eu entendi a sua pergunta. Eu estou meio enferrujado em EDOs, então posso estar completamente enganado, então eu pergunto: Daria pra fazer y em função de x dividindo (dy/dt) por (dx/dt)? Se der, o Wolfram Alpha resolveu a EDO resultante fazendo y = x v(x), cuja solução é y(x) = x sinh (c_1 + ln x)). Eu ainda não sei exatamente o que alinhado significa, mas se der pra fazer assim, tá aí. -- []'s Lucas
[obm-l] Análise Combinatória
Boa noite, amigos. Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE. De quantos modos podemos permutá-las, tal que não haja duas letras consecutivas iguais? Um abraço. Anderson
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/24 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com Obrigado a todos pelas orientações... acredito que a ideia do Ralph está mais adequada por usar invariância que é o recurso solicitado na resolução. A minha solução não? -- []'s Lucas
Re: [obm-l] Análise Combinatória
Acho que podemos raciocinar assim: Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao desejado. Abraços Artur Costa Steiner Em 24/02/2013, às 19:27, Anderson Weber anderswe...@bol.com.br escreveu: Boa noite, amigos. Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE. De quantos modos podemos permutá-las, tal que não haja duas letras consecutivas iguais? Um abraço. Anderson
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão sobre invariantes - alguém poderia ajudar?
2013/2/24 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br 2013/2/24 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com Obrigado a todos pelas orientações... acredito que a ideia do Ralph está mais adequada por usar invariância que é o recurso solicitado na resolução. A minha solução não? A propósito, só pra esclarecer: eu achei a solução do Ralph ótima também hehehe Eu só queria chamar atenção que a minha solução também usava invariância, pq do jeito que Maurício falou ficou parecendo que não. :) -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
Inclusão-exclusão. Sendo A, B, C, D, E os conjuntos dos anagramas com As, Bs, Cs, Ds, Es seguidos, temos que calcular 10!/2^5 - n(A U B U C U D U E). Mas n(A) = n(B) = ... = n(E) = 9!/2^4, n(interseção de dois) = 8!/2^3, n(interseção de três) = 7!/2^2, n(interseção de quatro) = 6!/2 e n(interseção dos cinco) = 5!. Aí o total é 10!/2^5 - 5.9!/2^4 + 10.8!/2^3 - 10.7!/2^2 + 5.6!/2 - 5!, e aí é fazer a conta. Não acho que haja uma fórmula bonitinha no caso geral, como é de praxe nos problemas de inclusão-exclusão. []'s Shine From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, February 24, 2013 8:31 PM Subject: Re: [obm-l] Análise Combinatória Acho que podemos raciocinar assim: Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao desejado. Abraços Artur Costa Steiner Em 24/02/2013, às 19:27, Anderson Weber anderswe...@bol.com.br escreveu: Boa noite, amigos. Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE. De quantos modos podemos permutá-las, tal que não haja duas letras consecutivas iguais? Um abraço. Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
