Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função totiente de Euler
OK!
Minha prova foi bem semelhante.
Partícipe mais.
Abraços.
Artur
Artur Costa Steiner
Mensagem original
De : Cassio Anderson Feitosa
Data:
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Função totiente de Euler
Só uma correção: no começo, quando digo que nenhum a_k é zero, a condição na
verdade é que nenhum b_k seja zero. E no fim, a condição é que nenhum a_k seja
zero.
Em 21 de abril de 2013 11:10, Cassio Anderson Feitosa
escreveu:
Bom, acho que como muitos, sou um dos que acompanham a lista sem se manifestar,
mas pelo menos essa acho que sei que fazer... rsrs
Sendo
m= P_1^{a_1} . P_2^{a_2} . . . P_i^{a_i}, onde nenhum a_k é zero,
e
n = P_1^{b_1} . P_2^{b_2} . . . P_i^{b_i}
temos que m|n se, e somente se a_k <= b_k, para todo 1<= k <= i
Sabendo que
phi(m)= (P_1 - 1)( P_2 - 1) . . . (P_i - 1) . P_1^{a_1 - 1} . P_2^{a_2
- 1} . . .P_i^{a_i - 1} e que
phi(n)= (P_1 - 1)( P_2 - 1) . . . (P_i - 1) . P_1^{b_1 - 1} . P_2^{b_2
- 1} . . .P_i^{b_i - 1} [lembrando que a fórmula é aplicada apenas aos
primos que dividem n, ou seja, caso algum b_k seja zero, não entre no produto)
Daí, [phi(m)] / [phi(n)] = [ P_1^{a_1 - 1} . P_2^{a_2 - 1} . .
.P_i^{a_i - 1} ] / [ P_1^{b_1 - 1} . P_2^{b_2 - 1} . . .P_i^{b_i
- 1} ].
Como a_k<=b_k, então a_k - 1 <= b_k - 1 para todo 1<=k<=i.
Creio que seja isso.
Em 20 de abril de 2013 22:35, Artur Costa Steiner
escreveu:
Eu não sei se essa conclusão é muito conhecida. Achei interessante.
Mostre que, se m e n são inteiros positivos tais que m|n, então phi(m)|phi(n).
Abraços
Artur Costa Steiner
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função totiente de Euler
Só uma correção: no começo, quando digo que nenhum a_k é zero, a condição
na verdade é que nenhum b_k seja zero. E no fim, a condição é que nenhum
a_k seja zero.
Em 21 de abril de 2013 11:10, Cassio Anderson Feitosa <
cassiofeito...@gmail.com> escreveu:
> Bom, acho que como muitos, sou um dos que acompanham a lista sem se
> manifestar, mas pelo menos essa acho que sei que fazer... rsrs
>
> Sendo
>
> m= P_1^{a_1} . P_2^{a_2} . . . P_i^{a_i}, onde nenhum a_k é zero,
> e
>
> n = P_1^{b_1} . P_2^{b_2} . . . P_i^{b_i}
>
> temos que m|n se, e somente se a_k <= b_k, para todo 1<= k <= i
>
> Sabendo que
>
> phi(m)= (P_1 - 1)( P_2 - 1) . . . (P_i - 1) . P_1^{a_1 - 1} .
> P_2^{a_2 - 1} . . .P_i^{a_i - 1} e que
>
> phi(n)= (P_1 - 1)( P_2 - 1) . . . (P_i - 1) . P_1^{b_1 - 1} .
> P_2^{b_2 - 1} . . .P_i^{b_i - 1} [lembrando que a fórmula é aplicada
> apenas aos primos que dividem n, ou seja, caso algum b_k seja zero, não
> entre no produto)
>
> Daí, [phi(m)] / [phi(n)] = [ P_1^{a_1 - 1} . P_2^{a_2 - 1} . .
> .P_i^{a_i - 1} ]/[ P_1^{b_1 - 1} . P_2^{b_2 - 1} . .
> .P_i^{b_i - 1} ].
>
> Como a_k<=b_k, então a_k - 1 <= b_k - 1 para todo
> 1<=k<=i.
>
> Creio que seja isso.
>
>
>
> Em 20 de abril de 2013 22:35, Artur Costa Steiner
> escreveu:
>
> Eu não sei se essa conclusão é muito conhecida. Achei interessante.
>>
>> Mostre que, se m e n são inteiros positivos tais que m|n, então
>> phi(m)|phi(n).
>>
>> Abraços
>>
>> Artur Costa Steiner
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função totiente de Euler
Bom, acho que como muitos, sou um dos que acompanham a lista sem se
manifestar, mas pelo menos essa acho que sei que fazer... rsrs
Sendo
m= P_1^{a_1} . P_2^{a_2} . . . P_i^{a_i}, onde nenhum a_k é zero,
e
n = P_1^{b_1} . P_2^{b_2} . . . P_i^{b_i}
temos que m|n se, e somente se a_k <= b_k, para todo 1<= k <= i
Sabendo que
phi(m)= (P_1 - 1)( P_2 - 1) . . . (P_i - 1) . P_1^{a_1 - 1} .
P_2^{a_2 - 1} . . .P_i^{a_i - 1} e que
phi(n)= (P_1 - 1)( P_2 - 1) . . . (P_i - 1) . P_1^{b_1 - 1} .
P_2^{b_2 - 1} . . .P_i^{b_i - 1} [lembrando que a fórmula é aplicada
apenas aos primos que dividem n, ou seja, caso algum b_k seja zero, não
entre no produto)
Daí, [phi(m)] / [phi(n)] = [ P_1^{a_1 - 1} . P_2^{a_2 - 1} . .
.P_i^{a_i - 1} ]/[ P_1^{b_1 - 1} . P_2^{b_2 - 1} . .
.P_i^{b_i - 1} ].
Como a_k<=b_k, então a_k - 1 <= b_k - 1 para todo
1<=k<=i.
Creio que seja isso.
Em 20 de abril de 2013 22:35, Artur Costa Steiner
escreveu:
> Eu não sei se essa conclusão é muito conhecida. Achei interessante.
>
> Mostre que, se m e n são inteiros positivos tais que m|n, então
> phi(m)|phi(n).
>
> Abraços
>
> Artur Costa Steiner
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] sobre a resolução de problemas em geral
Além dos livros citados pelo Marcelo, vale a pena ler: 1) A Matemática do Ensino Médio; Vol 4 – Elon Lages Lima e outros - SBM 2) Techniques of Problem Solving – Steven G. Karntz – MAS 3) 2) The Art of Problem Solving – Editado por Alfred S. Posamentier – Corwin Press 4) First Steps for Math Olympians – MAA 5) The Art and Craft of Problem Solving; Second Edition – Paul Zeitz – Wiley 6) The Heart of Mathematics – Edward B. Burger & Michael Starbird 7) The Inquisitive Problem Solver – Paul Vaderlind; Richard Guy; Loren Larson – MAA 8) A Decade of the Berkeley Math Circle – Zvezdeline Stankov; Tom Rike - AMS Benedito De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Marcelo de Moura Costa Enviada em: domingo, 21 de abril de 2013 08:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] sobre a resolução de problemas em geral Há um livro interessante: 21 aulas de Matemática Olímpica, da SBM. Não sei se ele irá atender suas necessidades e há o famoso: A Arte de Resolver Problemas, do G.Polya. Não sei se ajudei, mas é o que vem na minha memória. Abraços Marcelo Em 21 de abril de 2013 01:13, Listeiro 037 mailto:listeiro_...@yahoo.com.br> > escreveu: Bom dia a todos. Tenho acompanhado discretamente há algum tempo esta lista. Pensei um pouco antes dessa dúvida. No momento não viso a meta desportiva/competitiva, mas aprender melhor como seria uma demonstração adequada de uma inadequada através de observação. Longe de conseguir resolver qualquer questão de pronto, mas entender alguns mecanismos de solução, o problema seria expressar melhor no pouco ou no muito, até para adquirir maior confiança posteriormente. Há algum texto que trabalhe essas características? Desde já agradeço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�s e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] sobre a resolução de problemas em geral
Há um livro interessante: 21 aulas de Matemática Olímpica, da SBM. Não sei se ele irá atender suas necessidades e há o famoso: A Arte de Resolver Problemas, do G.Polya. Não sei se ajudei, mas é o que vem na minha memória. Abraços Marcelo Em 21 de abril de 2013 01:13, Listeiro 037 escreveu: > > Bom dia a todos. > > Tenho acompanhado discretamente há algum tempo esta lista. Pensei um > pouco antes dessa dúvida. > > No momento não viso a meta desportiva/competitiva, mas aprender melhor > como seria uma demonstração adequada de uma inadequada através de > observação. > > Longe de conseguir resolver qualquer questão de pronto, mas entender > alguns mecanismos de solução, o problema seria expressar melhor no pouco > ou no muito, até para adquirir maior confiança posteriormente. > > Há algum texto que trabalhe essas características? Desde já agradeço. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
