Re: [obm-l] trigonometria
Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu: Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - *1* = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
correção 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma comemoração Abraço a todos Hermann - Original Message - From: Carlos Victor To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 AM Subject: Re: [obm-l] trigonometria Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu: Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - 1 = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
2014-1974=50 essa aula fará bodas de ouro ano que vem, merece uma comemoração. Abraços a todos Hermann - Original Message - From: Carlos Victor To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 AM Subject: Re: [obm-l] trigonometria Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu: Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - 1 = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] trigonometria
Essa foi muito legal. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300 correção 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma comemoração Abraço a todos Hermann - Original Message - From: Carlos Victor To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 AM Subject: Re: [obm-l] trigonometria Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu: Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - 1 = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
2013/8/3 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com 000 Acho que o gabarito está errado... Você pode pensar assim, considerando uma correspondência: 1 o 1 o 1 o 1 o 1 o 1 corresponde ao número 111.111 1 1 1 o o o o o 1 1 1 corresponde ao número 300.003 o o 1 1 1 1 o o 1 1 o corresponde ao número 004020 ou 4.020 o o o o o 1 1 1 1 1 1 corresponde ao número 06 ou 6 Logo o que se quer será igual a permutação de 11 elementos onde 6 são iguais a 1 e 5 são iguais a o... N = 11!/(6!.5!) = 462 que é C(11,6)... Se não cometi algum erro acho que é isso... -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever : acertando a expressão dada chegamos a sen(66-x) = 2sen18.cosx tomando 36-x =y ,teremos sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny] sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny usando que o Nehab lembrou , teremos (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny . Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ; logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí x= k180 +36 . Agradecendo ao Nehab , Abraços Carlos Victor Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Essa foi muito legal. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300 correção 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma comemoração Abraço a todos Hermann - Original Message - *From:* Carlos Victor victorcar...@globo.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu: Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - *1* = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
Desculpem , digitei errado na linha (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny que na verdade é (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cosy +2sen18.sen36.seny . Abraços Carlos Victor Em 4 de agosto de 2013 14:09, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu: Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever : acertando a expressão dada chegamos a sen(66-x) = 2sen18.cosx tomando 36-x =y ,teremos sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny] sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny usando que o Nehab lembrou , teremos (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny . Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ; logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí x= k180 +36 . Agradecendo ao Nehab , Abraços Carlos Victor Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Essa foi muito legal. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300 correção 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma comemoração Abraço a todos Hermann - Original Message - *From:* Carlos Victor victorcar...@globo.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu: Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - *1* = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo
Como ele é do terceiro grau, vai ter que cruzar o eixo dos x pelo menos uma vez. No ponto de máximo ele tangência o eixo dos x, não o cruza. Por isso tem uma raiz dupla no ponto de tangência. Em sábado, 3 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: Eu não entendi ´´esse polinomio deve ter uma raiz dupla´´.Pensei que o polinomio poderia ter uma raiz real e duas complexas,por exemplo.Obrigado pela atenção. -- Date: Fri, 2 Aug 2013 14:07:43 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu, de fato, não demonstrei nada... só quis justificar uma abordagem para desvendar o mistério da inequação que eu propus. Por isso que falei No rascunho. Para esse caso, como existe o máximo absoluto entre - 1 e + 1, a abordagem funcionou. Daí é só fazer a volta, com a inequação. Espero ter esclarecido de onde a ineq surgiu. Abs. Em 2 de agosto de 2013 12:16, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: A função h não poderia ter duas raízes complexas? -- Date: Fri, 2 Aug 2013 01:07:37 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = - 2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) = 2t . (1 - t^2) é positivo para 0 t 1. Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa função de terceiro grau deve tocar o eixo dos x e não ultrapassá-lo quando - 1 = t = + 1. Isso significa que esse polinômio deve ter uma raiz dupla. Sejam, portanto, k, k e alpha as raízes do polinómio. Podemos calculá-las usando as relações de Girard: i) k + k + alpha = 0 (o coeficiente de t^2 em h(t) é nulo) - alpha = - 2k ii) k.k + k.alpha + k.alpha = - 1 - k^2 - 4k^2 = - 1. Há dois valores de k mas, para termos M 0, devemos tomar k = sqrt(3)/3. Assim: ii) k.k.alpha = - M/2 - 3/9 . - 2 . sqrt(3)/3 = - M/2 - M = 4.sqrt(3)/9. Agora, vc pode colocar tudo isso em forma de inequação e deixar a solução mais elegante. Depois de estudar Cálculo, esse problema fica bem mais fácil de ser resolvido também. Flw. Em quinta-feira, 1 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu: Obrigado.Eu gostei.Por que escolher sqrt(3)/3 e a expressão (t - sqrt(3))^2 . (t + 2srt(3)/3)? Depois de feito agente entende,mas como vislumbrar um caminho para questões do tipo? -- Date: Wed, 31 Jul 2013 15:34:29 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Valor máximo From: mffmartine...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) = 2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 = t = + 1), devemos descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t. Sabemos que para t = - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 = 0 (- 2sqrt(3)/3 - 1) - (t - sqrt(3)/3)^2 . (t + 2sqrt(3)/3) = 0 - t^3 - t + 2.sqrt(3)/9 = 0 - -2.t^3 + 2t = 4.sqrt(3)/9. Portanto o máximo é 4.sqrt(3)/9, que ocorre quando t = cos(x) = sqrt(3)/3. Em 31 de julho de 2013 15:01, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determinar o valor máximo de sen(x)sen(2x) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de per -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] trigonometria
Oi, querido amigo! Isso é intriga! Em 1974 eu era uma criança... Enorme abraço... Se admirador de longa data, Nehab On 04/08/2013 09:32, Carlos Victor wrote: Olá grande Mestre Nehab, Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo : sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18= sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!) Abraços Carlos Victor Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com mailto:carlos.ne...@gmail.com escreveu: Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - *_4sen18cos36_***] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - *_1_* = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] trigonometria
Fala professor! Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1 =D Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco) O problema era o seguinte: Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os ângulos do triângulo. De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96 graus []'s João Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300 From: carlos.ne...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria Caramba, João, Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim: a) 66 = 36 + 30, então 36 é um angulo duplamente interessante pro problema. b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1. Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea. Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. Logo, 4sen18.cos36 = 1... c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito... Então, fica assim: tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66 tgx. cos36 = B/C onde B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e C = 2cos66 Desenvolvendo B, vem: B = sen30 + sen102 - 1 = B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né) B = 2sen36cos66 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36. Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180) Abraços Nehab On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote: tgx = tg66 - 2sen18/cos66 Como achar x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
