Re: [obm-l] soma da Eureka
Na linha seguinte:
* "{1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
> Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
>
> * "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
>
> Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
>
>> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>>
>> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
>> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
>> - k +1)] .
>>
>> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1)
>> = [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2
>> . sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
>> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
>> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>>
>> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
>> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>
> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
> - k +1)] .
>
> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
> [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
> sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>
> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] soma da Eureka
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2
+ k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)]
.
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
[1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] soma da Eureka
Sauda,c~oes,
Obrigado Marcos.
No problema 8, f(k) = 1/(k^4 + k^2 + 1).
Conheço uma forma fechada para g(k) = k/(k^4 + k^2 + 1).
Como f(k) <= g(k) e \sum g(k) < 1/2, então \sum f(k) < 1/2.
Alguém tem outra solução ?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 22:26:08 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)] =
a^x/(a^x + sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida: f(x) + f(1/x) = 1.
E o problema 5 na p. 38 ? f(x) = a^x/(a^x + sqrt(a)).
Deve ter uma solução usando os argumentos vistos nestas duas últimas soluções.
Alguma dica?
Luis
Date: Sun, 29 Dec 2013 18:20:29 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x + 2) +
2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37, existiria ?? uma forma fechada
para a soma
S(n) = a_1 + . + a_n para a_k = \frac{2}{4^k + 2}
Ou também, como fazer o problema proposto ?
Bom ano para todos.
Luis
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
