[obm-l] Número de cinco algarismos
Por gentileza, a questão abaixo caso alguém consiga a solução da mesma. 1) Quantos números de cinco algarismos são divisíveis por 3 e possuem 6 como um dos seus algarismos? a) 2 b) 17496 c) 12503 d) 18456 e) 12504 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Número natural de 100 algarismos.
Prezados, Segue uma questão que há uma semana não consegui uma solução convincente. Se alguém puder auxiliar, aguardo, por gentileza. 1) Seja N um número natural de 100 algarismos, não nulos, que é divisível pela soma dos seus algarismos. Um valor possível para a soma dos algarismos distintos de N é igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 17 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Número natural de 100 algarismos.
2015-03-18 9:00 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2015-03-18 8:18 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Prezados, Segue uma questão que há uma semana não consegui uma solução convincente. Se alguém puder auxiliar, aguardo, por gentileza. 1) Seja N um número natural de 100 algarismos, não nulos, que é divisível pela soma dos seus algarismos. Um valor possível para a soma dos algarismos distintos de N é igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 17 Uma idéia que eu tive, mas ainda não implementei: números são divisíveis por 2^n ou 5^n bastando olhar suas n últimas casas decimais. Então, tente fazer a soma dos 100 algarismos ser 128 / 256 / 512 ou 125 / 625. Espero que dê para achar um múltiplo de um destes caras com poucos (e pequenos) algarismos distintos... e depois botar um monte de 1. Com um computador, achei 2122112 = 128 * 16579. Daí, qualquer número, com o que você bem quiser na frente destes 7 dígitos, é divisível por 128. Se você quiser que a soma dos algarismos distintos seja 3, basta escolher o número certo de uns e dois para que a soma de todos os algarismos seja 128. Mais ainda, vários valores de somas possíveis de um número de algarismos contendo 1 e 2 são possíveis, ou seja 10 = 1 + 2 + 7 (bote um sete, e troque um monte dos 2 por 1. Isso pode tornar difícil a parte de somas muito grandes (tipo será que existe um número de 100 dígitos usando todos os 9 algarismos, e que seja divisível pela soma dos algarismos?) mas daí basta usar o 256. Estranha questão... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número natural de 100 algarismos.
2015-03-18 8:18 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Prezados, Segue uma questão que há uma semana não consegui uma solução convincente. Se alguém puder auxiliar, aguardo, por gentileza. 1) Seja N um número natural de 100 algarismos, não nulos, que é divisível pela soma dos seus algarismos. Um valor possível para a soma dos algarismos distintos de N é igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 17 Uma idéia que eu tive, mas ainda não implementei: números são divisíveis por 2^n ou 5^n bastando olhar suas n últimas casas decimais. Então, tente fazer a soma dos 100 algarismos ser 128 / 256 / 512 ou 125 / 625. Espero que dê para achar um múltiplo de um destes caras com poucos (e pequenos) algarismos distintos... e depois botar um monte de 1. Provar que as outras somas são impossíveis me parece bem mais difícil... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número natural de 100 algarismos.
Olá, Bernardo. Acredito que seu argumento não é generalizado. Contra exemplo: 2^=128 1.128 não é divisível por 128. Em 18 de março de 2015 09:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2015-03-18 8:18 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Prezados, Segue uma questão que há uma semana não consegui uma solução convincente. Se alguém puder auxiliar, aguardo, por gentileza. 1) Seja N um número natural de 100 algarismos, não nulos, que é divisível pela soma dos seus algarismos. Um valor possível para a soma dos algarismos distintos de N é igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 17 Uma idéia que eu tive, mas ainda não implementei: números são divisíveis por 2^n ou 5^n bastando olhar suas n últimas casas decimais. Então, tente fazer a soma dos 100 algarismos ser 128 / 256 / 512 ou 125 / 625. Espero que dê para achar um múltiplo de um destes caras com poucos (e pequenos) algarismos distintos... e depois botar um monte de 1. Provar que as outras somas são impossíveis me parece bem mais difícil... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número natural de 100 algarismos.
2015-03-18 9:19 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Olá, Bernardo. Acredito que seu argumento não é generalizado. Contra exemplo: 2^=128 1.128 não é divisível por 128. Não é isso. Eu quis dizer que se um número de SETE dígitos for divisível por 128, então qualquer coisa que você bote na frente continua divisível. Você só mostrou que qualquer número da forma abcd0001128 não é divisível por 128. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número de cinco algarismos
Ola' Roger, para que o numero seja divisivel por 3, a soma (em modulo 3) de todos os seus algarismos tem que dar zero. Na casa mais significativa nao podemos ter nem 0 e nem 6, de forma que temos 8 escolhas. Para as proximas 3 casas, temos 9 escolhas em cada uma. Caso a soma (em modulo 3) das 4 primeiras casas seja 0 , temos 3 opcoes para a ultima casa: 0,3,9 Caso a soma seja 1, tambem temos 3 opcoes para a ultima casa: 2,5,8 E caso a soma seja 2, novamente temos 3 opcoes para a ultima casa: 1,4,7 Assim, independentemente da escolha das 4 primeiras casas, existem sempre 3 escolhas para a casa menos significativa. Portanto, ha' 8*9*9*9*3 = 17496 formas de se construir o numero, e a resposta e' a letra b. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 8:19 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Por gentileza, a questão abaixo caso alguém consiga a solução da mesma. 1) Quantos números de cinco algarismos são divisíveis por 3 e possuem 6 como um dos seus algarismos? a) 2 b) 17496 c) 12503 d) 18456 e) 12504 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de cinco algarismos
Valeu demais fechou. Em 18/03/2015 19:15, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Oi Douglas e Roger, eu resolvi apenas a primeira parte da questao, que seria descobrir quantos numeros divisiveis por 3, de 5 algarismos, nao possuem o algarismo 6 em qualquer casa. Agora bastar vermos quantos numeros divisiveis por 3, de 5 algarismos existem, e entao fazermos a subtracao. Considerando a casa menos significativa como a primeira, temos 10 opcoes para a 1a. , 10 opcoes para a 2a. , 10 opcoes para a 3a. , e 10 opcoes para a 4a. Usando o mesmo raciocinio da minha mensagem anterior, vemos que para a 5a. casa (a mais significativa), independentemente do modulo da soma das 4 primeiras casas, sempre havera' 3 opcoes: se modulo=0, opcoes=[3,6,9] ; se modulo=1, opcoes=[2,5,8] ; se modulo=2, opcoes=[1,4,7] . Assim, o total de numeros divisiveis por 3 vale 10*10*10*10*3=3 , e a quantidade que estamos procurando vale 3-17496=12504. Portanto, a resposta correta e' letra e. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 18:16 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Não entendi muito bem a pergunta, e porque não pode entrar 6 no início? O 6 aparece somente uma vez? Em 18/03/2015 17:33, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Roger, para que o numero seja divisivel por 3, a soma (em modulo 3) de todos os seus algarismos tem que dar zero. Na casa mais significativa nao podemos ter nem 0 e nem 6, de forma que temos 8 escolhas. Para as proximas 3 casas, temos 9 escolhas em cada uma. Caso a soma (em modulo 3) das 4 primeiras casas seja 0 , temos 3 opcoes para a ultima casa: 0,3,9 Caso a soma seja 1, tambem temos 3 opcoes para a ultima casa: 2,5,8 E caso a soma seja 2, novamente temos 3 opcoes para a ultima casa: 1,4,7 Assim, independentemente da escolha das 4 primeiras casas, existem sempre 3 escolhas para a casa menos significativa. Portanto, ha' 8*9*9*9*3 = 17496 formas de se construir o numero, e a resposta e' a letra b. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 8:19 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Por gentileza, a questão abaixo caso alguém consiga a solução da mesma. 1) Quantos números de cinco algarismos são divisíveis por 3 e possuem 6 como um dos seus algarismos? a) 2 b) 17496 c) 12503 d) 18456 e) 12504 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de cinco algarismos
Sr,Rogério, muito boa a explicação. Obrigado pelos esclarecimentos. Essa questão é do livro do professor Antônio Luiz Santos (Gandhi), problemas Selecionados de Matemática. Essa é a questão 1331. No livro consta como resposta do do exercício a letra c) 12503. Ainda não localizei qual número devemos excluir para chegar na letra. Ou, então o gabarito está incorreto. De toda forma, obrigado. Em 18 de março de 2015 20:50, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Valeu demais fechou. Em 18/03/2015 19:15, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Oi Douglas e Roger, eu resolvi apenas a primeira parte da questao, que seria descobrir quantos numeros divisiveis por 3, de 5 algarismos, nao possuem o algarismo 6 em qualquer casa. Agora bastar vermos quantos numeros divisiveis por 3, de 5 algarismos existem, e entao fazermos a subtracao. Considerando a casa menos significativa como a primeira, temos 10 opcoes para a 1a. , 10 opcoes para a 2a. , 10 opcoes para a 3a. , e 10 opcoes para a 4a. Usando o mesmo raciocinio da minha mensagem anterior, vemos que para a 5a. casa (a mais significativa), independentemente do modulo da soma das 4 primeiras casas, sempre havera' 3 opcoes: se modulo=0, opcoes=[3,6,9] ; se modulo=1, opcoes=[2,5,8] ; se modulo=2, opcoes=[1,4,7] . Assim, o total de numeros divisiveis por 3 vale 10*10*10*10*3=3 , e a quantidade que estamos procurando vale 3-17496=12504. Portanto, a resposta correta e' letra e. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 18:16 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Não entendi muito bem a pergunta, e porque não pode entrar 6 no início? O 6 aparece somente uma vez? Em 18/03/2015 17:33, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Roger, para que o numero seja divisivel por 3, a soma (em modulo 3) de todos os seus algarismos tem que dar zero. Na casa mais significativa nao podemos ter nem 0 e nem 6, de forma que temos 8 escolhas. Para as proximas 3 casas, temos 9 escolhas em cada uma. Caso a soma (em modulo 3) das 4 primeiras casas seja 0 , temos 3 opcoes para a ultima casa: 0,3,9 Caso a soma seja 1, tambem temos 3 opcoes para a ultima casa: 2,5,8 E caso a soma seja 2, novamente temos 3 opcoes para a ultima casa: 1,4,7 Assim, independentemente da escolha das 4 primeiras casas, existem sempre 3 escolhas para a casa menos significativa. Portanto, ha' 8*9*9*9*3 = 17496 formas de se construir o numero, e a resposta e' a letra b. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 8:19 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Por gentileza, a questão abaixo caso alguém consiga a solução da mesma. 1) Quantos números de cinco algarismos são divisíveis por 3 e possuem 6 como um dos seus algarismos? a) 2 b) 17496 c) 12503 d) 18456 e) 12504 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de cinco algarismos
Oi Douglas e Roger, eu resolvi apenas a primeira parte da questao, que seria descobrir quantos numeros divisiveis por 3, de 5 algarismos, nao possuem o algarismo 6 em qualquer casa. Agora bastar vermos quantos numeros divisiveis por 3, de 5 algarismos existem, e entao fazermos a subtracao. Considerando a casa menos significativa como a primeira, temos 10 opcoes para a 1a. , 10 opcoes para a 2a. , 10 opcoes para a 3a. , e 10 opcoes para a 4a. Usando o mesmo raciocinio da minha mensagem anterior, vemos que para a 5a. casa (a mais significativa), independentemente do modulo da soma das 4 primeiras casas, sempre havera' 3 opcoes: se modulo=0, opcoes=[3,6,9] ; se modulo=1, opcoes=[2,5,8] ; se modulo=2, opcoes=[1,4,7] . Assim, o total de numeros divisiveis por 3 vale 10*10*10*10*3=3 , e a quantidade que estamos procurando vale 3-17496=12504. Portanto, a resposta correta e' letra e. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 18:16 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Não entendi muito bem a pergunta, e porque não pode entrar 6 no início? O 6 aparece somente uma vez? Em 18/03/2015 17:33, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Roger, para que o numero seja divisivel por 3, a soma (em modulo 3) de todos os seus algarismos tem que dar zero. Na casa mais significativa nao podemos ter nem 0 e nem 6, de forma que temos 8 escolhas. Para as proximas 3 casas, temos 9 escolhas em cada uma. Caso a soma (em modulo 3) das 4 primeiras casas seja 0 , temos 3 opcoes para a ultima casa: 0,3,9 Caso a soma seja 1, tambem temos 3 opcoes para a ultima casa: 2,5,8 E caso a soma seja 2, novamente temos 3 opcoes para a ultima casa: 1,4,7 Assim, independentemente da escolha das 4 primeiras casas, existem sempre 3 escolhas para a casa menos significativa. Portanto, ha' 8*9*9*9*3 = 17496 formas de se construir o numero, e a resposta e' a letra b. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 8:19 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Por gentileza, a questão abaixo caso alguém consiga a solução da mesma. 1) Quantos números de cinco algarismos são divisíveis por 3 e possuem 6 como um dos seus algarismos? a) 2 b) 17496 c) 12503 d) 18456 e) 12504 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de cinco algarismos
Não entendi muito bem a pergunta, e porque não pode entrar 6 no início? O 6 aparece somente uma vez? Em 18/03/2015 17:33, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Roger, para que o numero seja divisivel por 3, a soma (em modulo 3) de todos os seus algarismos tem que dar zero. Na casa mais significativa nao podemos ter nem 0 e nem 6, de forma que temos 8 escolhas. Para as proximas 3 casas, temos 9 escolhas em cada uma. Caso a soma (em modulo 3) das 4 primeiras casas seja 0 , temos 3 opcoes para a ultima casa: 0,3,9 Caso a soma seja 1, tambem temos 3 opcoes para a ultima casa: 2,5,8 E caso a soma seja 2, novamente temos 3 opcoes para a ultima casa: 1,4,7 Assim, independentemente da escolha das 4 primeiras casas, existem sempre 3 escolhas para a casa menos significativa. Portanto, ha' 8*9*9*9*3 = 17496 formas de se construir o numero, e a resposta e' a letra b. []'s Rogerio Ponce 2015-03-18 8:19 GMT-03:00 Roger roger@gmail.com: Por gentileza, a questão abaixo caso alguém consiga a solução da mesma. 1) Quantos números de cinco algarismos são divisíveis por 3 e possuem 6 como um dos seus algarismos? a) 2 b) 17496 c) 12503 d) 18456 e) 12504 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
