2015-03-22 3:37 GMT-03:00 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
Para quais valores do complexo z esta sequência converge? Se convergir para
um dado z, o limite tem que ser e^z?
Eu faria à la Euler, com a mesma demonstração que vale para os reais.
Expanda (1 + z/n)^n pela fórmula do binômio, fixando um índice k (que
depois vai para infinito) e majore | Soma_{j k} C(n,j) (z/n)^j | =
| Soma_{j k} C(n,j) (|z|/n)^j = erro(z,k). O erro não depende de $n
k$ (isso é importante, é uma convergência uniforme) e esse é o
pulo de gato do Euler). Uma forma de fazer isso é pedir que os
termos sejam dominados por uma PG de razão r, o que dá a desigualdade
C(n,j+1) * (|z|/n)^(j+1) = r * C(n,j) * (|z|/n)^j para todo j k =
(n-j) * (|z|/n) = r * j para todo j k =
|z| = n *r * j /(n-j) para todo j k.
Basta ter |z| = r*k para isso ser verdade, já que n/(n-j) 1 (mas
pode ser bem perto, logo a estimativa não é ruim quando fizermos
n-infinito)
E daí temos que a norma do resto é majorada pela soma da PG:
C(n,k+1) * (z/n)^(k+1) / (1 - r) = z^(k+1) / (k+1)! / (1 - r) (usei
que C(n,k+1) = n^(k+1) / (k+1)!)
que não depende de n, conforme anunciado.
Agora é fácil: faça n - infinito, os termos iniciais (j = k) vão
convergir para a série truncada de e^z, e têm um erro que só depende
de k e z. Enfim, veja que erro(z,k) - 0 quando z está fixo (digamos
|z| R) e k - infinito.
Obs: combinando esta técnica do Euler com as desigualdades de Cauchy e
um pouco mais de análise complexa, é possível mostrar a seguinte
proposição (ainda não terminei os detalhes, vou tentar enviar em
breve):
Seja f_n(z) uma seqüência de funções holomorfas definidas num domínio
(aberto conexo) Omega, limitadas uniformemente por M neste Omega. Seja
K um compacto contido em Omega, Z um subconjunto de K com pelo menos
um ponto de acumulação. Suponha que f_n(z) - 0 para todo z em Z.
Então f_n - 0 em K.
Muito legal!!
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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