[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Envio espúrio, digitando o resto.

Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Podemos generalizar e mostrar que:
>
> 1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
> (p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.
>
> Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
> Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.
>
>
>
>
>
>
>
> Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conicas

[Pedro José]

Bom dia!

Douglas,
parece-me que a questão ficou mal formulada, abscissas dos vértices, das
interseções com o eixo OX, qual a definição de abscissa de uma cônica?

Saudações,
PJMS

Em 29 de outubro de 2015 23:01, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda no seguinte problema:
>
> PROBLEMA: Encontrar a abscissa da parábola de equação
>  x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0.
>
> OBS: Essa questão caiu na prova do ITA acho que de 2012, e vi uma solução
> que envolvia limites do qual não compreendi muito bem.
> Sei portanto como usar a rotação de eixos e também através de
> diagonalização. Mas gostaria de saber se existe outro modo de chegar a tal
> abscissa.
>
> Desde já obrigado.
> Forte abraço do Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Podemos generalizar e mostrar que:

1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
(p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.

Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.







Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101   
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Podemos generalizar e mostrar que:

1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k + (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se (p-1) não
divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.

Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.
Se (p-1) não divide k.

Temos que existe uma raiz primitiva g mod p.

Como a raiz primitiva módulo m é uma geratriz de (Z/Zm*) = {g^1, g^2,g^3,
..., g^(Ф(m) -1), g^Ф(m)}
Como p é primo, Ф(p) = p-1 ==> (Z/Zp)* = {1, 2, 3, ..., p-2, p-1} = {g^1,
g^2,g^3, ..., g^(Ф(p) -1), g^Ф(p)}
Nota (Z/Zm*) é o conjunto das classes de congruência mod m, onde os
elementos são coprimos com m.
A notação correta deveria ter uma barrinha em cima de 1, 2, etc
_
1 = { ... 1-2m, 1-m, 1, 1+m, 1+2m...}
Se p é primo p admite raiz primitiva, então:
Existe g tal que {1, 2, 3, ..., p-2, p-1} = {g^1, g^2,g^3, ..., g^(Ф(p) -1),
g^Ф(p)}
1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k + (p-1)^k ≡ g^k + g^(2k) + g^(3k) +...+
g^((p-3)k) + g^((p-2)k) + g^((p-1)k) ≡ S mod p (i)
Multiplicando-se por g^k ambos os lados:
g^k +g^(2k) + g^(3k) +...+ g^((p-2)k) + g^((p-1)k) ≡ g^k.S mod p
Por (i) temos que g^k.S ≡ S mod p ==> (g^k-1)S ≡ 0 mod p
Então S ≡ 0 mod p ou g^k ≡ 1 mod p
Como g é raiz primitiva e (p-1) não divide k acarreta que g^k ǂ 1 mod p
Logo S ≡ 0 mod p ==> S divide p.

100 não divide 10 e 101 é primo, logo a soma divide 101, para o exemplo
solicitado.

Mais detalhes e demosntrações:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf e definição de raiz
primitiva.

Saudações,
PJMS





Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Envio espúrio, digitando o resto.
>
> Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Podemos generalizar e mostrar que:
>>
>> 1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
>> (p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.
>>
>> Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡
>> 1. Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a
>> -1.
>>
>>
>>
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>>
>>
>> Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conicas

[Pacini Bores]

 

A questão pediu a menor abscisa da parábola ? 

Caso seja, temos y=-(x+2)+_ sqrt(6x+3); donde x >= -1/2. 

Pacini 

Em 29/10/2015 23:01, Douglas Oliveira de Lima escreveu: 

> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda no seguinte problema: 
> 
> PROBLEMA: Encontrar a abscissa da parábola de equação 
> x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0. 
> 
> OBS: Essa questão caiu na prova do ITA acho que de 2012, e vi uma solução que 
> envolvia limites do qual não compreendi muito bem. 
> Sei portanto como usar a rotação de eixos e também através de diagonalização. 
> Mas gostaria de saber se existe outro modo de chegar a tal abscissa. 
> 
> Desde já obrigado. 
> Forte abraço do Douglas Oliveira. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
(x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Geometria Analítica em 3 dimensões

[Israel Meireles Chrisostomo]

Quer dizer acho que essa não é a equação da reta, mas essa fórmula vale se
eu quiser achar o comprimento da reta em função de suas coordenadas, certo?

Em 30 de outubro de 2015 16:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Sávio Ribas]

Mas isso eh uma esfera de raio r (assumindo que x_1, y_1 e z_1 são
variáveis). Eh soh uma aplicação de Pitagoras...

Em 30 de outubro de 2015 14:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Rígille Scherrer Borges Menezes]

Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
desigualdade triangular.

Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com
> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Rígille Scherrer Borges Menezes]

Hmmm, me confundi. Mas a equação de um segmento de reta com certeza é:
d(a, x) + d(x, b) = d(a, b)
Onde x é a variável e d(x, y) é a distância entre x e y.

Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Rígille Scherrer Borges Menezes <
rigillesbmene...@gmail.com> escreveu:

> Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
> desigualdade triangular.
>
> Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
>> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

[Sávio Ribas]

Acho que esse livro pode te ajudar:
https://www.dropbox.com/s/jj3xq0hjv2z39zp/gaalt0.pdf

Em 30 de outubro de 2015 15:13, Rígille Scherrer Borges Menezes <
rigillesbmene...@gmail.com> escreveu:

> Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
> desigualdade triangular.
>
> Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
>> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.