[obm-l] Combinatória

[Vanderlei Nemitz]

Gostaria de uma ajuda para o seguinte problema.
A resposta é 1990
Obrigado!


Em um senado, há 30 senadores. Para cada par de senadores, eles podem ser
amigos ou inimigos. Cada senador tem 6 inimigos. Considere comissões
formadas por 3 senadores. Determine o número total de comissões, cujos
membros são todos amigos uns dos outros ou todos inimigos uns dos outros.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Demonstração a ser corrigida pelos amigos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá amigos,  estou com algumas dúvidas quanto a correção da
demonstração.Minha dúvida é exatamente quando eu provei que ou
F_1(alpha,beta,gamma)>=1 ou G_1(alpha,beta,gamma)>=1, isto implicaria que
ambas não podem ser simultaneamente menores do que 1, em outras palavras
quando uma é maior ou igual a 1 a outra pode ser menor, e isto me parece um
problema a ser resolvido.Eu realmente estou confuso com isso, o que vcs
podem me dizer?As vezes penso que provei que a desigualdade vale para um
conjunto infinito de valores, mas não para todos os valores em que eu
estava empenhado a demonstrar, isto é, que a desigualdade realmente vale
para qualquer triângulo acutângulo.


http://media.wix.com/ugd/3eea37_896e5b212a4842a9876ef1240e730422.pdf

Espero a sinceridade de vcs sobre a questão, a demonstração é pequena.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 2016 figurinhas e o número de retângulos de dimensões diferentes

[Marcelo Gomes]

Olá professor Leandro, bom dia.

Muito obrigado pelo cuidado nas explicações e por suas preciosas
orientações. Uma explicação como a que o senhor deu, é como acender uma
lâmpada em local escuro!

Muito obrigado!

Abraços, Marcelo.


Em 5 de junho de 2016 23:38, Leandro Martins 
escreveu:

> Boa tarde a todos!
>
> Grande Marcelo! Igualmente grato eu me sinto, pelos questionamentos.
>
> Em tua última tréplica, ficou claro pra mim que o retângulo 2016x1 foi
> preservado. Dele, os retângulos considerados são construções parciais.
>
> De toda forma, por serem parciais, não utilizam integralmente as 2016
> figurinhas. São 2016 figurinhas entre 63 triângulos.
>
> Teu raciocínio foi interessante: ao passo da existência de uma P.A. de
> a[1] = r = 1, me inspirei em encontrar outra série que fosse uma partição
> de 2016: aquela obtida da P. G. de a[1] = 32 e q = 2. Existem outras
> partições arbitrárias de 2016, como podes constatar. Mas descaracterizam o
> enunciado.
>
> Este problema, na verdade, tem como temática a Teoria dos Números. A
> motivação na Geometria o torna ainda mais desafiador.
>
> Abraço!
>
> Leandro
> Olá professor Leandro, muito obrigado mais uma vez, por seus preciosos
> comentários e explicações!
>
> Desta forma como o senhor expressou: "Os retângulos formados por Clarinha
> possuem a mesma área, por utilizarem todas as figurinhas", consegui
> compreender...e desta forma concluí que era isto que o enunciado tentou
> dizer.
>
> A questão dos "buracos", foi que eu não entendi. Na minha cabeça, não há
> buracos entre os retângulos, todos os 2016, estão postos lado a lado, como
> se fossem azulejos na parede, em uma grande e única linha.
>
> Abração e muito obrigado pelas ajudas!
>
> Marcelo.
>
>
>
> Em 30 de maio de 2016 18:26, Leandro Martins 
> escreveu:
>
>> Boa tarde, pessoal!
>>
>> Caro prof. Marcelo, a soma dos termos da P. A. dada se encaixa como uma
>> luva! Entretanto, os retângulos formados estariam com buracos entre si,
>> contrariando o enunciado.
>>
>> Sinônimo de figurinhas arrumadas sem sobreposição ou buracos: figurinhas
>> justapostas. Assim já vi em outro enunciado.
>>
>> Em tempo: na solução que enviei, onde se lê: "Os retângulos formados por
>> Clarinha possuem a mesma área, por serem todos iguais", deve ser
>> substituído por: "Os retângulos formados por Clarinha possuem a mesma área,
>> por utilizarem todas as figurinhas."
>>
>> Grande abraço!
>>
>> Leandro
>> Em 30/05/2016 07:32, "Marcelo Gomes"  escreveu:
>>
>>> Olá a todos, bom dia.
>>>
>>> Caro professor Leandro, muito obrigado pela ajuda! Não havia pensado
>>> deste jeito. Obrigado por esclarecer.
>>>
>>> Em uma abordagem por Soma da PA, eu fiquei achando, que também cumpri as
>>> exigências do enunciado da questão:
>>>
>>> 1- Em meu pensamento, pus todas as 2016 figurinhas lado a lado em uma
>>> grande linha (1x2016=2016 u.a. para este retângulo)
>>>
>>> 2- Usei todas as figurinhas: 1º ret = 1 u.a. / 2º ret = 2 u.a. / 3º ret
>>> = 3 u.a. ...63º ret = 63 u.a. (somando-se as parcelas temos 63 retângulos
>>> de dimensões diferentes e 2016 figurinhas utilizadas).
>>>
>>> Estaria errado este pensamento que tive, em razão do enunciado
>>> apresentado ?
>>>
>>> Abraços e muito obrigado pela ajuda e pelas explicações.
>>>
>>> Marcelo.
>>>
>>>
>>> Em 29 de maio de 2016 22:56, Leandro Martins 
>>> escreveu:
>>>
 Caros, boa noite!

 Os retângulos formados por Clarinha possuem a mesma área, por serem
 todos iguais. Cada figurinha (quadrada) tem 1 u.a. (unidade de área).
 Utilizando todas as figurinhas, sabemos que o retângulo formado tem 2016
 u.a.

 O problema equivale a saber quantas são as multiplicações entre dois
 fatores (respectivamente, a base e a altura do retângulo formado) que
 resultam em 2016.

 Temos que 2016 = 2^5.3^2.7, procedendo sua fatoração em primos. Daí
 calculamos que 2016 possui (5+1). (2+1). (1+1) = 36 divisores. Obtemos 2016
 pelo produto entre o divisor imediatamente menor e o divisor imediatamente
 maior (1x2016, 2x1008, ...) de 18 maneiras diferentes. Logo, são 18
 retângulos de dimensões diferentes formados com todas as figurinhas.

 Abraço!

 Leandro
 Em 28/05/2016 14:06, "Marcelo Gomes" 
 escreveu:

> Olá a todos, boa tarde.
>
> Peço, o auxílio, de quem dispuser de um tempinho, para explicar o
> porquê do gabarito desta questão ser 18.
>
> "Clarinha arruma 2016 figurinhas iguais, colocando-as lado a lado,
> formando retângulos sem superposições ou buracos. O número de retângulos 
> de
> dimensões diferentes formados usando todas as figurinhas é: "
>
> (A) 14.
>
> (B) 18.
>
> (C) 21.
>
> (D) 24.
>
>(E) 35.
> Não consegui montar um cálculo que chegasse neste valor. Tentei por
> soma de PA,