[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sólido de Revolução

[Carlos Gomes]

Você está certo, mas o enunciado precisaria dizer...o triângulo cujos
vértices são esses pontos...isso não está claro no enunciado...um enunciado
precisa ser claro!

Cgmes
Em 18 de jun de 2016 20:38, "Alexandre Antunes" <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Boa noite,
>
> Apesar do enunciado estranho, parece que ele "gera" um triângulo sim!
> Tentem fazer o esboço do gráfico e vejam se eu errei algo!
> Além disso, a resposta desse volume é 4.Pi ... Vejam o meu raciocínio:
>
> 1) de f(x) = sqrt(4 - x^2) de [-2,2] em [0,2], temos:
> y = sqrt(4-x^2)  ==>  y^2 = 4 - x^2  ==> x^2 +y^2 = 4 (circunferência
> de raio igual a 2)
> no Domínio: [-2,2] e Imagem: [0,2], que nos dá a parte da
> circunferência acima do eixo x;
>
> 2) da informação "|x| = 1", temos as retas x = 1 e x = -1
> A interseção dessas retas com o gráfico definido em (1), nos dá os
> pontos: (-1, sqrt(3)) e (1, sqrt(3));
>
> 3) da informação "Considere a origem e os pontos (x,y) do gráfico da
> função tais que |x| = 1", temos os três pontos que "geram" o triângulo: (0,
> 0), (-1, sqrt(3)) e (1, sqrt(3)).
>
> 4) Agora, usando a nossa "imaginação", ao rotacionar esse triângulo em
> torno "dos eixo das abscissas", temos um sólido de revolução!!!
>
> 5) Para calcular esse volume, podemos pensar esse sólido como um cilindro
> "menos" dois cones (um de cada lado), dessa forma
>
> Vsol_rev = Vcil - 2.Vcone = Pi.[sqrt(3)]^2.(1) - 2. {Pi.[sqrt(3)]^2 .
> (1)}/3 = 6.Pi - 2.Pi = 4.Pi
>
> Obs: Peço desculpas em eventuais erros na digitação dos cálculos, mas os
> colegas entendem como é difícil fazer isso por aqui!!!
>
> Fico no aguardo dos comentários.
>
>
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Prof. Msc. Alexandre Antunes
> www alexandre antunes com br
>
> Em 17 de junho de 2016 23:39, Carlos Gomes  escreveu:
>
>> Daniel primeiro não há triângulo algum e se for o sólido natural q tem q
>> ser o volume seria 4pi/3.
>> Em 17 de jun de 2016 23:21, "Daniel Rocha" 
>> escreveu:
>>
>>> Alguém, por favor, poderia solucionar a questão abaixo:
>>>
>>> Dada a função real definida por f(x) = sqrt(4 - x^2) de [-2,2] em [0,2].
>>> Considere a origem e os pontos (x,y) do gráfico da função tais que |x| = 1.
>>> A rotação do triângulo assim obtido, em torno dos eixo das abscissas, gera
>>> um sólido de volume:
>>>
>>> Gabarito: 4Pi
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sólido de Revolução

[Alexandre Antunes]

Boa noite,

Apesar do enunciado estranho, parece que ele "gera" um triângulo sim!
Tentem fazer o esboço do gráfico e vejam se eu errei algo!
Além disso, a resposta desse volume é 4.Pi ... Vejam o meu raciocínio:

1) de f(x) = sqrt(4 - x^2) de [-2,2] em [0,2], temos:
y = sqrt(4-x^2)  ==>  y^2 = 4 - x^2  ==> x^2 +y^2 = 4 (circunferência
de raio igual a 2)
no Domínio: [-2,2] e Imagem: [0,2], que nos dá a parte da
circunferência acima do eixo x;

2) da informação "|x| = 1", temos as retas x = 1 e x = -1
A interseção dessas retas com o gráfico definido em (1), nos dá os
pontos: (-1, sqrt(3)) e (1, sqrt(3));

3) da informação "Considere a origem e os pontos (x,y) do gráfico da função
tais que |x| = 1", temos os três pontos que "geram" o triângulo: (0, 0),
(-1, sqrt(3)) e (1, sqrt(3)).

4) Agora, usando a nossa "imaginação", ao rotacionar esse triângulo em
torno "dos eixo das abscissas", temos um sólido de revolução!!!

5) Para calcular esse volume, podemos pensar esse sólido como um cilindro
"menos" dois cones (um de cada lado), dessa forma

Vsol_rev = Vcil - 2.Vcone = Pi.[sqrt(3)]^2.(1) - 2. {Pi.[sqrt(3)]^2 .
(1)}/3 = 6.Pi - 2.Pi = 4.Pi

Obs: Peço desculpas em eventuais erros na digitação dos cálculos, mas os
colegas entendem como é difícil fazer isso por aqui!!!

Fico no aguardo dos comentários.





Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br

Em 17 de junho de 2016 23:39, Carlos Gomes  escreveu:

> Daniel primeiro não há triângulo algum e se for o sólido natural q tem q
> ser o volume seria 4pi/3.
> Em 17 de jun de 2016 23:21, "Daniel Rocha" 
> escreveu:
>
>> Alguém, por favor, poderia solucionar a questão abaixo:
>>
>> Dada a função real definida por f(x) = sqrt(4 - x^2) de [-2,2] em [0,2].
>> Considere a origem e os pontos (x,y) do gráfico da função tais que |x| = 1.
>> A rotação do triângulo assim obtido, em torno dos eixo das abscissas, gera
>> um sólido de volume:
>>
>> Gabarito: 4Pi
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sólido de Revolução

[José Valdemir Vasconcelos dos Santos]

Eu não sou o Carlos¤


 Mensagem original 
De : Daniel Rocha 
Data: 18/06/2016 18h11 (GMT-03:00)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sólido de Revolução


Olá Carlos,

Esse enunciado foi mais um enunciado de vestibular estranho com o qual eu me 
deparei. Eu também não sei porque ele mencionou um triângulo.

Muito Obrigado por responder, Carlos !!!


Em 17 de junho de 2016 23:39, Carlos Gomes 
> escreveu:

Daniel primeiro não há triângulo algum e se for o sólido natural q tem q ser o 
volume seria 4pi/3.

Em 17 de jun de 2016 23:21, "Daniel Rocha" 
> escreveu:
Alguém, por favor, poderia solucionar a questão abaixo:

Dada a função real definida por f(x) = sqrt(4 - x^2) de [-2,2] em [0,2]. 
Considere a origem e os pontos (x,y) do gráfico da função tais que |x| = 1. A 
rotação do triângulo assim obtido, em torno dos eixo das abscissas, gera um 
sólido de volume:

Gabarito: 4Pi

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sólido de Revolução

[Daniel Rocha]

Olá Carlos,

Esse enunciado foi mais um enunciado de vestibular estranho com o qual eu
me deparei. Eu também não sei porque ele mencionou um triângulo.

Muito Obrigado por responder, Carlos !!!


Em 17 de junho de 2016 23:39, Carlos Gomes  escreveu:

> Daniel primeiro não há triângulo algum e se for o sólido natural q tem q
> ser o volume seria 4pi/3.
> Em 17 de jun de 2016 23:21, "Daniel Rocha" 
> escreveu:
>
>> Alguém, por favor, poderia solucionar a questão abaixo:
>>
>> Dada a função real definida por f(x) = sqrt(4 - x^2) de [-2,2] em [0,2].
>> Considere a origem e os pontos (x,y) do gráfico da função tais que |x| = 1.
>> A rotação do triângulo assim obtido, em torno dos eixo das abscissas, gera
>> um sólido de volume:
>>
>> Gabarito: 4Pi
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.