Re: [obm-l] Desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Muitissimo obrigado Carlos , era isso mesmo, pois nos livros eles realmente
usam para provar a convexidade.
Em 25 de jun de 2016 23:46, "Carlos Gomes"  escreveu:

> Olá Douglas,
>
> Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
> convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
> f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.
>
> No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
> (x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E
> [0,1]  se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].
>
> Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E
> [x,y], mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc
> faz assim:
>
> Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo
> z=ty+(1-t)x, com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que
>
> f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
> f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]
>
> multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
> membro, segue que
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)
>
> onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
> e f '' são >=0.
>
> Assim,
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)
>
> ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].
>
> Abraço, Cgomes.
>
>
>
>
> Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>>
>> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>>
>> Obs: Não usar geometria.
>>
>> Agradeço a ajuda.
>>
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade.

[Carlos Gomes]

Olá Douglas,

Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.

No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
(x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]
se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].

Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E [x,y],
mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc faz
assim:

Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo z=ty+(1-t)x,
com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que

f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]

multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
membro, segue que

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)

onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
e f '' são >=0.

Assim,

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)

ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].

Abraço, Cgomes.




Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>
> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>
> Obs: Não usar geometria.
>
> Agradeço a ajuda.
>
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:

Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.

Obs: Não usar geometria.

Agradeço a ajuda.

Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.