[obm-l] Re: [obm-l] {Disarmed} Sugestão de estudo: Algebra Linear

[Max Alexandre]

Pedro, indico-te o livro "Putnan and Beyond" do Andreescu e Gelca. Ele é
baseado na competição Putnam Competicion - competição de matemática do
Estados Unidos no nível de graduação. Nele você encontrará questões de
varias áreas. Tenho exemplar dele em PDF e, se você quiser, posse te enviar
por email.

Em 1 de agosto de 2017 20:30, Pedro Soares 
escreveu:

> [image: Web Bug from
> https://mailtrack.io/trace/mail/d3fc743456a8c748eafd75f8c6fd77aec43a.png?u=1954326]Boa
> noite, amigos. Alguém poderia me indicar uma boa fonte de questões de
> algebra linear para a OBMU? Já tenho boas fontes de teoria, mas procuro
> exercícios mais parecidos com os da olimpiada e desafiadores para me
> preparar para a OBM. Valeu!
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Uma desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Boa noite amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Boa noite amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] {Disarmed} Sugestão de estudo: Algebra Linear

[Pedro Soares]

Boa noite, amigos. Alguém poderia me indicar uma boa fonte de questões de
algebra linear para a OBMU? Já tenho boas fontes de teoria, mas procuro
exercícios mais parecidos com os da olimpiada e desafiadores para me
preparar para a OBM. Valeu!

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

[Pedro Cardoso]

6 pessoas:
Imaginando grafos, vou chamar um trio de pessoas de um triangulo.
1. Note que em um determinado grupo que satisfaz uma das condições, se todas as 
relações entre as pessoas se “inverterem” (ou seja, pessoas que se conhecem 
passam a não se conhecer e vice versa), agora o grupo passa a satisfazer a 
outra condição, afinal um “triângulo” em que 3 pessoas se conhecem vira um em 
que 3 pessoas não se conhecem

2. Se as condições não são satisfeitas e a pessoa A conhece B, C, e D, no 
triangulo ABC, AB se conhecem, e AC se conhecem, então BC não podem se 
conhecer, analogamente, CD, e BD também não podem, mas então existiria o 
triangulo BCD, em que ninguém se conhece, satisfazendo uma condição, logo:
Se uma pessoa conhece 3 outras, a condição obrigatoriamente é satisfeita

3. Consideremos um grupo de 6 pessoas, A,B,C,D,E e F, Agora, vamos analisar a 
relação da pessoa A com todas as outras, uma relação só pode ser Conheçe, ou 
Não conhece, que representarei com C e N,  A relação de A com BCDE, 
respectivamente, pode ter 2 C e 2 N (se não for isso, a condição já estaria 
satisfeita apenas analisando essas 4 relações), mas a relação de A com a pessoa 
F precisa obrigatoriamente ser C ou N, fazendo com que A conheça 3 outras 
pessoas, ou não conheça 3 outras pessoas (no segundo caso, basta “inverter” 
todas as relações e o lema no segundo ponto se aplica), assim, em um grupo com 
6 pessoas, precisa existir alguém que conhece outras 3 pessoas simultaneamente, 
então, aplicando o lema no segundo ponto, precisa existir um triangulo de 
pessoas que não se conhece entre si (ou ao contrario, como foi discutido no 
primeiro ponto).

Finalmente
4. Existem grupos de 5 pessoas em que as condições não se satisfazem:
para isso, basta mostrar um exemplo, considere o grupo de pessoas A,B,C,D e E e 
suponha que todas as arestas no pentágono ABCDE sejam relações “Conhece” e que 
todas as arestas no pentágono ACEBD sejam relações “Não conhece”, aqui as 
condições não são satisfeitas (oara ver isso mais facilmente, basta imaginar 
ABCDE como um pentágono regular e ACEBD como a estrela que se forma dentro dele)

Um Abraço,
Pedro Cardoso 


De: Pedro Chaves
Enviado:terça-feira, 1 de agosto de 2017 17:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

Caros Colegas,
 
 Solicito ajuda para a questão abaixo. 
Abraços do Pedro Chaves. 

--- Amigos comuns ---
Helena é uma perfeita anfitriã. Quando organiza uma festa, se assegura de que 
ao menos três pessoas se conheçam entre si. 
Ou, se isso não for possível, que ao menos haja três pessoas que não se 
conheçam (para assim poder apresentá-las).
Qual é o menor número de pessoas que Helena precisa convidar, para assegurar-se 
de que se dê alguma dessas duas condições?
--xxx

-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

[Pedro Chaves]

Caros Colegas,

 Solicito ajuda para a questão abaixo.
Abraços do Pedro Chaves.

--- Amigos comuns ---
Helena é uma perfeita anfitriã. Quando organiza uma festa, se assegura de que 
ao menos três pessoas se conheçam entre si.
Ou, se isso não for possível, que ao menos haja três pessoas que não se 
conheçam (para assim poder apresentá-las).
Qual é o menor número de pessoas que Helena precisa convidar, para assegurar-se 
de que se dê alguma dessas duas condições?
--xxx

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l]Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de teoria numérica

[Pedro Cardoso]

Realmente. Se isso serve de desculpa eu escrevi isso assim que acordei.
O que eu quis dizer é que não existem múltiplos de 2017 que terminem em 0 e 
que, ao serem divididos por 10, deixam de ser múltiplos de 2017. Para isso 
existir, 2017 teria que ter um número de fatores 2 diferente do número de 
fatores 5, mostrar porque isso não é difícil: supondo que k tem x fatores 2 e y 
fatores 5 se x>y temos que 5k/10 tem x-1 fatores 2 e y fatores 5, e portanto, 
não é divisível por k, para x escreveu:
>
> Obrigado! Era exatamente isso que a questão anterior sugeria, usar o 
> princípio da casa dos pombos.
> Uma coisa que percebi na sua dsmonstração é que o número encontrado 
> terminaria em 0s, mas como nenhum multiplo de 2017 também é multiplo de 10 
> (2017 é primo) então também existe um multiplo de 2017 com apenas 1s!

A conclusão está certa (existe um múltiplo de 2017 só com 1s), mas a
justificativa está errada: 20170 é múltiplo de 2017 e de 10.  Tem a
ver com primalidade, mas não é bem o que você escreveu.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur




-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de teoria numérica

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Em 01/08/2017 08:14, "Pedro Cardoso"  escreveu:
>
> Obrigado! Era exatamente isso que a questão anterior sugeria, usar o 
> princípio da casa dos pombos.
> Uma coisa que percebi na sua dsmonstração é que o número encontrado 
> terminaria em 0s, mas como nenhum multiplo de 2017 também é multiplo de 10 
> (2017 é primo) então também existe um multiplo de 2017 com apenas 1s!

A conclusão está certa (existe um múltiplo de 2017 só com 1s), mas a
justificativa está errada: 20170 é múltiplo de 2017 e de 10.  Tem a
ver com primalidade, mas não é bem o que você escreveu.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

Enviado do meu iPad
-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de teoria numérica

[Pedro Cardoso]

Obrigado! Era exatamente isso que a questão anterior sugeria, usar o
princípio da casa dos pombos.
Uma coisa que percebi na sua dsmonstração é que o número encontrado
terminaria em 0s, mas como nenhum multiplo de 2017 também é multiplo de 10
(2017 é primo) então também existe um multiplo de 2017 com apenas 1s!

Obrigado.
Pedro Cardoso

Em 31 de jul de 2017 23:31, "Adilson Francisco da Silva" <
adilson...@gmail.com> escreveu:

> Salve!
>
> Construa uma sequência com 2018 números naturais da seguinte forma:
> 1
> 11
> 111
> 
> .
> .
> .
> 111...1 (2018 dígitos 1).
>
> Pelo princípio da casa dos pombos existe ao menos dois desses números que
> deixam o mesmo resto na divisão por 2017.
>
> Use o fato de que se dois números deixar o mesmo resto na divisão por um
> certo número d, então a diferença entre eles é divisível por d.
>
> Assim pegue os dois termos da sequência que deixa o mesmo resto é faça
>
> 11...111 - 11...1 = 111...100...0
>
> Que é divisível por 2017.
>
> Abraços
>
>
> Em 31 de jul de 2017 10:38 PM, "Pedro Cardoso" 
> escreveu:
>
> Segue uma questão de teoria numérica da Olimpíada SESI de Matemática (AM):
>
> Mostre que existe um múltiplo de 2017 formado apenas pelos dígitos 0 e 1
> (em base 10).
>
>
>
> Na olimpíada, a questão anterior sugere uma maneira de resolver, porém,
> estou interessado em outras demonstrações também.
>
> Se ninguém conseguir achar uma prova, mando a outra questão mais tarde.
>
> Att.
> Pedro Cardoso
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.