Thank you 😊
Em sex, 17 de mai de 2019 19:47, Pedro José escreveu:
> Boa noite!
> Corrigi de orelhada, devido a paridade e a solução (21,23), aue
> encontrara. Quando dispor de um tempo, tentarei compreender. Mas pelo visto
> é mais fácil apontar que existe uma infinidade de soluções, do que achá-las
> propriamente. Não se gera uma fórmula para as soluções. Se compreendi, pelo
> menos, um pouco da explicação.
>
> Grato,
> PJMS
>
> Em sex, 17 de mai de 2019 19:01, Ralph Teixeira escreveu:
>
>> Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia
>> ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido
>> diretamente das solucoes positivas trocando sinais.
>>
>> Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios
>> valores de n.
>>
>> Por exemplo, para n=2, temos:
>> (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30)
>> Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de
>> novo!
>> Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x:
>> y=6a+p=505 e x=y-a=461
>> (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais
>> de x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas,
>> as outras vem por tais trocas de sinal.)
>>
>> Para n=3:
>> (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a
>> y=6a+p=11087 e x=y-a=10121
>>
>> Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x
>> e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes!
>>
>> (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes
>> serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar)
>>
>> As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia
>> ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre
>> existem)?
>>
>> ---///---
>> (A) POR QUE gera solucoes?
>>
>> Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito.
>> Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y,
>> mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se
>> p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao
>> inteiros determinados pela formula
>> (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m).
>>
>> Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1.
>>
>> Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n .
>> (p0-a0.raiz(m))^n =1.
>>
>> Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa
>> definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado
>> perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an
>> (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso).
>>
>> Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1
>> tambem!
>>
>> ---///---
>>
>> Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar
>> (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as
>> outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao
>> "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para
>> mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito
>> comprdo... :D
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José wrote:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1,
>>> com a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares?
>>> As soluções que achei:
>>> (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0
>>> (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88.
>>>
>>> Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1.
>>>
>>> Se fosse:
>>> y=6a+p
>>> x=5a+p
>>> (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23)
>>>
>>> Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da
>>> equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>>
>>> Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira
>>> escreveu:
>>>
Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0.
Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o
discriminante tem que ser quadrado perfeito:
D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já
coloquei o 4)
30a^2+1=p^2
p^2-30a^2=1
Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem
além das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo:
https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf
Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2)
neste caso) e gerar as outras olhando para
(11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um
possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a).
Enfim, encontrados p e a, teremos:
y=6a+-2p
x=5a+-2p
Ou seja, creio haver infinitas soluções!
Abraço, Ralph.
On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada
