[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ângulos em um triângulo

[Vinícius Raimundo]

Sejam os ângulos:
MBQ=x, QBN=y, CAB=a, BCA=c

Lei dos senos triângulos ABQ e CQB, tiramos que:
sen(20+x).sen(c)=sen(20+y).sen(a)

Aplicando teorema da bicetriz interna generalizado no triângulo MBN:
BM.sen(x)=BN.sen(y)

Lei dos senos em ABM e CBN, temos:
BM.sen(c)=BN.sen(a)

Logo:
sen(x).sen(a)=sen(y).sen(c)

Dessa relação e da primeira concluímos que:
sen(x+20).sen(x)=sen(y+20).sen(y)

Do que se obtém que x=y e por consequência que BQ é mediana e bicetriz
interna do triângulo MBN, logo BQC=90.

Em qui, 13 de fev de 2020 às 23:15, Pedro Cardoso 
escreveu:

> Deve haver um jeito mais fácil, mas foi o que eu pensei agora
>
> Construa os circumcírculos de ABM e NBC. Pela lei dos senos, eles têm o
> mesmo raio.
> Seja X o centro do circuncírculo de ABM, e Y o de NBC.
> B está na intersersão dos circumcírculos, então B está na mediatriz de XY.
> AXM, NYC e XBY são isósceles.
> ABC e MBN são isósceles
> O pé da altura de B em relação a MN coincide com Q.
> BQC=90°
>
> Em qui, 13 de fev de 2020 22:42, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Usei várias leis dos senos, obtive coisas legais, mas não o ângulo
>> pedido. Alguém conhece algo interessante?
>>
>>
>>
>> Muito obrigado!
>>
>>
>>
>> *Em um triângulo ABC, os pontos consecutivos M, Q, N do lado AC são tais
>> que AM = NC. Se Q é ponto médio de MN e os ângulos NBC e ABM medem 20º,
>> calcule a medida do ângulo BQC.*
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l]

[qedtexte]

Sauda,c~oes, 
 
Construir o triângulo (sinteticamente, sem (muita) álgebra) 
com os dados acima. k é um número real (construtível) 
conhecido. 
 
 Não sei se pode servir como aquecimento mas o problema 
 me parece mais fácil. 
 
Fonte: Il Problema Geometrico Dal compasso al Cabri. 
Italo D'Ignazio e Ercole Supra. 
 
O segundo aparece no Petersen também. 
 
Os problemas  e  são casos 
particulares com k=1. 
 
Abraços, 
Luís 
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l]

[Luís Lopes]

Minhas mensagens não estão chegando. Tento mais uma vez.

Sauda,c~oes,

Construir o triângulo (sinteticamente, sem (muita) álgebra)
com os dados acima. k é um número real (construtível) conhecido.

 Não sei se pode servir como aquecimento mas o problema
 me parece mais fácil.

Fonte: Il Problema Geometrico Dal compasso al Cabri.
Italo D'Ignazio e Ercole Supra.

O segundo aparece no Petersen também.

Os problemas  e  são casos particulares com k=1.

Abraços,
Luís


-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.